还剩15页未读，
继续阅读
所属成套资源：全套2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案
成套系列资料，整套一键下载
2023-2024学年浙江省嘉兴市第五高级中学高二上学期期中数学试题含答案
展开
这是一份2023-2024学年浙江省嘉兴市第五高级中学高二上学期期中数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）.
A．60°B．30°C．135°D．120°
【答案】A
【分析】把直线方程化简为斜截式，根据倾斜角的定义，可得答案.
【详解】把直线方程化简为斜截式，得到，设倾斜角为，得到，根据倾斜角的定义，可得
故选：A
2．已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是（ ）
A．相离B．外切C．相交D．内切
【答案】D
【分析】求出圆心、半径，再计算出圆心距，即可判断.
【详解】圆：的圆心为，半径，
圆：的圆心为，半径，
因为，
所以两圆相内切.
故选：D
3．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数m等于（ ）
A．2B．8C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得，，则，进而由椭圆的离心率公式，解得的值.
【详解】由题意，得，，则，
所以椭圆的离心率，解得m=8.
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，注意由椭圆的焦点位置，分析椭圆的方程的形式，属于基础题.
4．万众瞩目的北京冬奥会于2022年2月4日正式开幕，是继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（ ）cm
A．30B．20C．10D．
【答案】B
【分析】扁平程度相同的椭圆，即离心率相等，计算得到答案.
【详解】扁平程度相同的椭圆，即离心率相等，
大椭圆，，，离心率为；
小椭圆，离心率，解得，故长轴长为.
故选：B
5．经过向圆作切线，切线方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【分析】根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案.
【详解】（1）当切线的斜率不存在时，直线是圆的切线；
（2）当切线斜率存在时，设切线方程为，
由到切线距离为得，
此时切线方程为即.
故选：C
6．设过点的直线与圆相交于，两点，则经过中点与圆心的直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆的方程求出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离为半径求出与圆相切的直线斜率，如图，结合过AB中点与圆心的连线必垂直于弦AB可得，即可求解.
【详解】由圆，知圆心，半径，
设过点且与圆相切的直线方程为，即，
则点到切线的距离为，
解得或，所以，
因为过AB中点与圆心的连线必垂直于弦AB，
所以，得.
故选：B.
7．已知椭圆为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意确定，进而可得，即可求椭圆的离心率.
【详解】
如图，不妨设，
因为点在椭圆上，所以，解得，
所以，
又因为为等腰直角三角形，所以,
即，即，所以，
解得或（舍），
故选:B.
8．双曲线，点A，B均在E上，若四边形为平行四边形，且直线OC，AB的斜率之积为3，则双曲线E的渐近线的倾斜角为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【分析】利用点差法，结合双曲线渐近线方程、平行四边形的性质、中点坐标公式进行求解即可.
【详解】设，显然线段的中点坐标为，
因为四边形为平行四边形，
所以线段的中点坐标和线段的中点坐标相同，即为，
因此点坐标为，
因为直线OC，AB的斜率之积为3，
所以，
因为点A，B均在E上，
所以，
两式相减得：，
所以两条渐近线方程的倾斜角为或，
故选：B
【点睛】关键点睛：本题的关键是应用点差法和平行四边形的性质.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若直线与直线垂直，则实数的值是
B．直线恒过定点
C．直线在轴上的截距为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【答案】BC
【分析】利用两直线垂直求出实数的值，可判断A选项；求出直线所过定点的坐标，可判断B选项；利用截距的定义可判断C选项；求出经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程，可判断D选项.
【详解】对于A选项，若直线与直线垂直，
则，解得或，A错；
对于B选项，直线方程可变形为，
由解得，所以，直线恒过定点，B对；
对于C选项，直线在轴上的截距为，C对；
对于D选项，若直线经过原点，则该直线的斜率为，
此时，直线的方程为，
若直线不经过原点，可设所求直线的方程为，
则，解得，此时，直线的方程为.
综上所述，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，D错.
故选：BC.
10．设双曲线：的焦点为，，若点在双曲线上，则（ ）
A．双曲线的离心率为2B．双曲线的渐近线方程为
C．D．
【答案】BC
【分析】根据给定条件，求出b，并求出双曲线实半轴长、半焦距，再逐项计算判断作答.
【详解】依题意，，解得，双曲线：的实半轴长，半焦距，
双曲线的离心率，A不正确；
双曲线的渐近线方程为，B正确；
，C正确；
，，则，
有，D不正确.
故选：BC
11．对于曲线C：，下面四个说法正确的是（ ）
A．曲线C可能是圆
B．“”是“曲线C是椭圆”的充要条件
C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件
D．“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”是“”的充要条件
【答案】ACD
【分析】根据曲线的形状求出参数的取值范围，可判断A选项；利用集合的包含关系可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，若曲线为圆，则，解得，故选项A正确；
对于B选项，若曲线为椭圆，则，解得且，
因为或，
所以，“”是“曲线是椭圆”的必要不充分条件，故选项B错误；
对于C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，
又因为，
所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件，故选项C正确；
对于D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，
所以，“曲线是焦点在轴上的双曲线”是“”的充要条件，故选项D正确.
故选：ACD.
12．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，为椭圆上异于，的一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A．
B．
C．轴，且
D．四边形的内切圆过焦点，
【答案】ABD
【分析】设，计算，又根据点在椭圆上，，两者联立求出离心率可判断A；由勾股定理以及离心率公式可判断B；根据结合斜率公式可判断C；由四边形的内切圆的半径为可得，求出离心率可判断D．
【详解】，
，，，，，，
对于A：设，则，，所以，
又因为为椭圆上一点，故，所以，
代入中整理可得，，所以，所以，故A正确；
对于B：，，
所以，整理得，即，
解得（舍去）或，满足题意，故B正确；
对于C：轴，且，，，即，解得，
又，所以，不满足题意，故C错误；
对于D：四边形的内切圆过焦点，，即四边形的内切圆的半径为，则到的距离为，
在直角中，，，，
，解得（舍去）或，，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
13．若经过点和的直线与斜率为-4的直线互相平行，则m的值是 ．
【答案】/
【分析】先求直线的斜率，根据平行关系列方程即可求.
【详解】由题意，
又因为直线l与斜率为-4的直线互相平行，
所以，解得，
故答案为：.
14．与圆同圆心且过点的圆的方程是 ．
【答案】
【分析】先求出同心圆的圆心，在利用两点间的距离公式的应用求出所求圆的半径，由此即可求出结果．
【详解】圆，即
所以所求圆的圆心坐标为，半径为
所以圆的方程为．
故答案为：．
15．已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则 ．
【答案】13
【分析】根据抛物线方程求出其准线方程，再结合抛物线定义求解作答.
【详解】抛物线C：的准线方程为，设，，
由抛物线定义得：，，因AB的中点的纵坐标为5，则有，
所以．
故答案为：13
四、双空题
16．已知实数、、、满足：，，，设，，则 ，的最大值为 .
【答案】 1 /
【分析】作出圆与直线，可得，都在圆上，利用两点间的距离公式求得，可得，取、的中点，过作，垂足为，把转化为，求出，再求出到直线的距离，则答案可求．
【详解】作出圆，与直线，
由题意，，都在圆上，
∴且，又由，
∴；
∴,即为正三角形，
∴，
表示和到直线的距离和，
由图可知，只有当、都在直线的左侧，距离之和才会取得最大值．
取、的中点，过作，垂足为，则，
因为为等边三角形，为的中点，，
则在圆上运动，
故到直线距离的最大值为圆心到直线的距离+半径，
的最大值为．
故答案为：1；.
.
【点睛】本题解决的关键是利用所求与已知式子的几何意义，将问题转化为圆心到直线的距离问题
五、解答题
17．已知的顶点为，，．
(1)求过且平行于直线的直线的方程；
(2)求边上的高所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平行求出斜率，结合点斜式方程即可解题；
（1）根据垂直求出斜率，结合点斜式方程即可解题.
【详解】（1），所以直线AB的斜率为－1，
所以过C且平行于直线AB的直线的斜率也为-1，
所以其直线方程为，化简得．
（2）因为直线AB的斜率为－1，
所以直线CD的斜率为1，又经过点，
所以直线CD的方程为，化简得．
18．在①圆经过，②圆心在直线上，③圆截轴所得弦长为8且圆心的坐标为整数；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解.
已知圆经过点，且______；
（1）求圆的方程；
（2）已知直线经过点，直线与圆相交所得的弦长为8，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）设圆的方程为，根据待定系数法求解圆的方程即可；
（2）设圆心到直线的距离为，则由（1）得，易知直线的斜率存在，故设其方程为，进而结合点到直线的距离公式解方程得，，故直线的方程为或
【详解】解：选条件①，
（1）设圆的方程为，
依题意有，
解得，，，
所以圆的方程为，
即圆的标准方程为：.
（2）设圆心到直线的距离为，
则弦长，
当直线的斜率不存在时，，所以直线的斜率存在，
设其方程为，即，
，解得，，
所以所求直线的方程为或.
选条件②，
（1）设圆的方程为，
因为圆经过点，，且圆心在直线上
依题意有，
解得，，，
所以圆的方程为.
（2）设圆心到直线的距离为，
则弦长，
当直线的斜率不存在时，，所以直线的斜率存在，
设其方程为，即，
，解得，，
所以所求直线的方程为或.
选条件③，
设圆的方程为，
由圆经过点，，故，
又因为圆截轴所得弦长为8，
故方程的两个实数根的差的绝对值为.
所以，即
解方程组，
得，，或，，，
由于圆心的坐标为整数，
故圆的方程为
（2）设圆心到直线的距离为，
则弦长，
当直线的斜率不存在时，，所以直线的斜率存在，
设其方程为，即，
，解得，，
所以所求直线的方程为或.
【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程，圆的弦长问题，考查运算求解能力.本题解题的关键在于利用弦长，半径与圆心到直线的距离之间的关系求解.此外，本题的解题过程中，还容易出现忽视直线斜率不存在的讨论而导致解题不严谨的问题出现，需要格外注意.
19．已知椭圆与双曲线具有共同的焦点、，点在椭圆上，，____________①椭圆过点，②椭圆的短轴长为，③椭圆离心率为，（①②③中选择一个）
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的面积．
【答案】(1)条件选择见解析，椭圆方程为
(2)
【分析】（1）由已知可得，选①：可求得的值，进而可求得的值，即可确定椭圆的标准方程；
选②：求出的值，可求得的值，即可确定椭圆的标准方程；
选③：根据离心率可求得的值，进而可求得的值，即可确定椭圆的标准方程；
（2）利用椭圆定义结合勾股定理可求得，再利用三角形的面积公式即可得解.
【详解】（1）解：设椭圆方程.
因为椭圆与双曲线具有共同的焦点，则.
选①：由已知可得，则，椭圆方程为；
选②：由已知可得，则，椭圆方程为；
选③得，则，椭圆方程为.
（2）解：由椭圆定义知①，
又，②，
由①可得，解得，
因此，.
20．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B离地面5m，点B到管柱OA所在直线的距离为4m，且水流落在地面上以O为圆心，以9m为半径的圆上，求管柱OA的高度.
【答案】
【分析】建立直角坐标系，利用待定系数法和代入法进行求解即可.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线的方程为，
把点代入方程中，得，
所以抛物线方程为
把代入方程中，得，
所以，
所以管柱OA的高度为.
21．已知双曲线的两条渐近线分别为，.
(1)求双曲线的离心率；
(2)为坐标原点，过双曲线上一点作直线分别交直线，于，两点（，分别在第一、第四象限），且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据渐近线方程可得，再通过离心率公式求得离心率；
（2）根据双曲线过点可得双曲线方程，由已知可设点，，再由，可得，，进而可得，设直线的倾斜角为，则，即可得，即可得的面积.
【详解】（1）因为双曲线的渐近线分别为，，
所以，，
所以双曲线的离心率为；
（2）由（1）得，
则可设双曲线，
因为在双曲线上，
所以，则双曲线的方程为，
又点，分别在与上，
设，，
因为，
所以，
则，，
又，同理得，
设的倾斜角为，且，则，
所以.
【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.
22．已知C为圆的圆心，P是圆C上的动点，点，若线段MP的中垂线与CP相交于Q点．
(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹N的方程；
(2)过点的直线l与点Q的轨迹N分别相交于A，B两点，且与圆O：相交于E，F两点，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由线段的垂直平分线，得到，结合椭圆的定义，即可求解；
（2）①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，分别求得；②若直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，结合弦长公式，求得和，进而求得的值.
【详解】（1）解：由线段的垂直平分线，可得，
所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为，长轴长为的椭圆，
所以，，则，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）解：由（1）可知，椭圆的右焦点为，
①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，
则，，，，
所以，，．
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
联立方程组，整理得，
则，，
所以，
因为圆心到直线l的距离，
所以，
所以，
因为，所以，
综上可得，．
一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）.
A．60°B．30°C．135°D．120°
【答案】A
【分析】把直线方程化简为斜截式，根据倾斜角的定义，可得答案.
【详解】把直线方程化简为斜截式，得到，设倾斜角为，得到，根据倾斜角的定义，可得
故选：A
2．已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是（ ）
A．相离B．外切C．相交D．内切
【答案】D
【分析】求出圆心、半径，再计算出圆心距，即可判断.
【详解】圆：的圆心为，半径，
圆：的圆心为，半径，
因为，
所以两圆相内切.
故选：D
3．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数m等于（ ）
A．2B．8C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得，，则，进而由椭圆的离心率公式，解得的值.
【详解】由题意，得，，则，
所以椭圆的离心率，解得m=8.
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，注意由椭圆的焦点位置，分析椭圆的方程的形式，属于基础题.
4．万众瞩目的北京冬奥会于2022年2月4日正式开幕，是继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（ ）cm
A．30B．20C．10D．
【答案】B
【分析】扁平程度相同的椭圆，即离心率相等，计算得到答案.
【详解】扁平程度相同的椭圆，即离心率相等，
大椭圆，，，离心率为；
小椭圆，离心率，解得，故长轴长为.
故选：B
5．经过向圆作切线，切线方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【分析】根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案.
【详解】（1）当切线的斜率不存在时，直线是圆的切线；
（2）当切线斜率存在时，设切线方程为，
由到切线距离为得，
此时切线方程为即.
故选：C
6．设过点的直线与圆相交于，两点，则经过中点与圆心的直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆的方程求出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离为半径求出与圆相切的直线斜率，如图，结合过AB中点与圆心的连线必垂直于弦AB可得，即可求解.
【详解】由圆，知圆心，半径，
设过点且与圆相切的直线方程为，即，
则点到切线的距离为，
解得或，所以，
因为过AB中点与圆心的连线必垂直于弦AB，
所以，得.
故选：B.
7．已知椭圆为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意确定，进而可得，即可求椭圆的离心率.
【详解】
如图，不妨设，
因为点在椭圆上，所以，解得，
所以，
又因为为等腰直角三角形，所以,
即，即，所以，
解得或（舍），
故选:B.
8．双曲线，点A，B均在E上，若四边形为平行四边形，且直线OC，AB的斜率之积为3，则双曲线E的渐近线的倾斜角为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【分析】利用点差法，结合双曲线渐近线方程、平行四边形的性质、中点坐标公式进行求解即可.
【详解】设，显然线段的中点坐标为，
因为四边形为平行四边形，
所以线段的中点坐标和线段的中点坐标相同，即为，
因此点坐标为，
因为直线OC，AB的斜率之积为3，
所以，
因为点A，B均在E上，
所以，
两式相减得：，
所以两条渐近线方程的倾斜角为或，
故选：B
【点睛】关键点睛：本题的关键是应用点差法和平行四边形的性质.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若直线与直线垂直，则实数的值是
B．直线恒过定点
C．直线在轴上的截距为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【答案】BC
【分析】利用两直线垂直求出实数的值，可判断A选项；求出直线所过定点的坐标，可判断B选项；利用截距的定义可判断C选项；求出经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程，可判断D选项.
【详解】对于A选项，若直线与直线垂直，
则，解得或，A错；
对于B选项，直线方程可变形为，
由解得，所以，直线恒过定点，B对；
对于C选项，直线在轴上的截距为，C对；
对于D选项，若直线经过原点，则该直线的斜率为，
此时，直线的方程为，
若直线不经过原点，可设所求直线的方程为，
则，解得，此时，直线的方程为.
综上所述，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，D错.
故选：BC.
10．设双曲线：的焦点为，，若点在双曲线上，则（ ）
A．双曲线的离心率为2B．双曲线的渐近线方程为
C．D．
【答案】BC
【分析】根据给定条件，求出b，并求出双曲线实半轴长、半焦距，再逐项计算判断作答.
【详解】依题意，，解得，双曲线：的实半轴长，半焦距，
双曲线的离心率，A不正确；
双曲线的渐近线方程为，B正确；
，C正确；
，，则，
有，D不正确.
故选：BC
11．对于曲线C：，下面四个说法正确的是（ ）
A．曲线C可能是圆
B．“”是“曲线C是椭圆”的充要条件
C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件
D．“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”是“”的充要条件
【答案】ACD
【分析】根据曲线的形状求出参数的取值范围，可判断A选项；利用集合的包含关系可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，若曲线为圆，则，解得，故选项A正确；
对于B选项，若曲线为椭圆，则，解得且，
因为或，
所以，“”是“曲线是椭圆”的必要不充分条件，故选项B错误；
对于C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，
又因为，
所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件，故选项C正确；
对于D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，
所以，“曲线是焦点在轴上的双曲线”是“”的充要条件，故选项D正确.
故选：ACD.
12．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，为椭圆上异于，的一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A．
B．
C．轴，且
D．四边形的内切圆过焦点，
【答案】ABD
【分析】设，计算，又根据点在椭圆上，，两者联立求出离心率可判断A；由勾股定理以及离心率公式可判断B；根据结合斜率公式可判断C；由四边形的内切圆的半径为可得，求出离心率可判断D．
【详解】，
，，，，，，
对于A：设，则，，所以，
又因为为椭圆上一点，故，所以，
代入中整理可得，，所以，所以，故A正确；
对于B：，，
所以，整理得，即，
解得（舍去）或，满足题意，故B正确；
对于C：轴，且，，，即，解得，
又，所以，不满足题意，故C错误；
对于D：四边形的内切圆过焦点，，即四边形的内切圆的半径为，则到的距离为，
在直角中，，，，
，解得（舍去）或，，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
13．若经过点和的直线与斜率为-4的直线互相平行，则m的值是 ．
【答案】/
【分析】先求直线的斜率，根据平行关系列方程即可求.
【详解】由题意，
又因为直线l与斜率为-4的直线互相平行，
所以，解得，
故答案为：.
14．与圆同圆心且过点的圆的方程是 ．
【答案】
【分析】先求出同心圆的圆心，在利用两点间的距离公式的应用求出所求圆的半径，由此即可求出结果．
【详解】圆，即
所以所求圆的圆心坐标为，半径为
所以圆的方程为．
故答案为：．
15．已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则 ．
【答案】13
【分析】根据抛物线方程求出其准线方程，再结合抛物线定义求解作答.
【详解】抛物线C：的准线方程为，设，，
由抛物线定义得：，，因AB的中点的纵坐标为5，则有，
所以．
故答案为：13
四、双空题
16．已知实数、、、满足：，，，设，，则 ，的最大值为 .
【答案】 1 /
【分析】作出圆与直线，可得，都在圆上，利用两点间的距离公式求得，可得，取、的中点，过作，垂足为，把转化为，求出，再求出到直线的距离，则答案可求．
【详解】作出圆，与直线，
由题意，，都在圆上，
∴且，又由，
∴；
∴,即为正三角形，
∴，
表示和到直线的距离和，
由图可知，只有当、都在直线的左侧，距离之和才会取得最大值．
取、的中点，过作，垂足为，则，
因为为等边三角形，为的中点，，
则在圆上运动，
故到直线距离的最大值为圆心到直线的距离+半径，
的最大值为．
故答案为：1；.
.
【点睛】本题解决的关键是利用所求与已知式子的几何意义，将问题转化为圆心到直线的距离问题
五、解答题
17．已知的顶点为，，．
(1)求过且平行于直线的直线的方程；
(2)求边上的高所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平行求出斜率，结合点斜式方程即可解题；
（1）根据垂直求出斜率，结合点斜式方程即可解题.
【详解】（1），所以直线AB的斜率为－1，
所以过C且平行于直线AB的直线的斜率也为-1，
所以其直线方程为，化简得．
（2）因为直线AB的斜率为－1，
所以直线CD的斜率为1，又经过点，
所以直线CD的方程为，化简得．
18．在①圆经过，②圆心在直线上，③圆截轴所得弦长为8且圆心的坐标为整数；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解.
已知圆经过点，且______；
（1）求圆的方程；
（2）已知直线经过点，直线与圆相交所得的弦长为8，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）设圆的方程为，根据待定系数法求解圆的方程即可；
（2）设圆心到直线的距离为，则由（1）得，易知直线的斜率存在，故设其方程为，进而结合点到直线的距离公式解方程得，，故直线的方程为或
【详解】解：选条件①，
（1）设圆的方程为，
依题意有，
解得，，，
所以圆的方程为，
即圆的标准方程为：.
（2）设圆心到直线的距离为，
则弦长，
当直线的斜率不存在时，，所以直线的斜率存在，
设其方程为，即，
，解得，，
所以所求直线的方程为或.
选条件②，
（1）设圆的方程为，
因为圆经过点，，且圆心在直线上
依题意有，
解得，，，
所以圆的方程为.
（2）设圆心到直线的距离为，
则弦长，
当直线的斜率不存在时，，所以直线的斜率存在，
设其方程为，即，
，解得，，
所以所求直线的方程为或.
选条件③，
设圆的方程为，
由圆经过点，，故，
又因为圆截轴所得弦长为8，
故方程的两个实数根的差的绝对值为.
所以，即
解方程组，
得，，或，，，
由于圆心的坐标为整数，
故圆的方程为
（2）设圆心到直线的距离为，
则弦长，
当直线的斜率不存在时，，所以直线的斜率存在，
设其方程为，即，
，解得，，
所以所求直线的方程为或.
【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程，圆的弦长问题，考查运算求解能力.本题解题的关键在于利用弦长，半径与圆心到直线的距离之间的关系求解.此外，本题的解题过程中，还容易出现忽视直线斜率不存在的讨论而导致解题不严谨的问题出现，需要格外注意.
19．已知椭圆与双曲线具有共同的焦点、，点在椭圆上，，____________①椭圆过点，②椭圆的短轴长为，③椭圆离心率为，（①②③中选择一个）
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的面积．
【答案】(1)条件选择见解析，椭圆方程为
(2)
【分析】（1）由已知可得，选①：可求得的值，进而可求得的值，即可确定椭圆的标准方程；
选②：求出的值，可求得的值，即可确定椭圆的标准方程；
选③：根据离心率可求得的值，进而可求得的值，即可确定椭圆的标准方程；
（2）利用椭圆定义结合勾股定理可求得，再利用三角形的面积公式即可得解.
【详解】（1）解：设椭圆方程.
因为椭圆与双曲线具有共同的焦点，则.
选①：由已知可得，则，椭圆方程为；
选②：由已知可得，则，椭圆方程为；
选③得，则，椭圆方程为.
（2）解：由椭圆定义知①，
又，②，
由①可得，解得，
因此，.
20．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B离地面5m，点B到管柱OA所在直线的距离为4m，且水流落在地面上以O为圆心，以9m为半径的圆上，求管柱OA的高度.
【答案】
【分析】建立直角坐标系，利用待定系数法和代入法进行求解即可.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线的方程为，
把点代入方程中，得，
所以抛物线方程为
把代入方程中，得，
所以，
所以管柱OA的高度为.
21．已知双曲线的两条渐近线分别为，.
(1)求双曲线的离心率；
(2)为坐标原点，过双曲线上一点作直线分别交直线，于，两点（，分别在第一、第四象限），且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据渐近线方程可得，再通过离心率公式求得离心率；
（2）根据双曲线过点可得双曲线方程，由已知可设点，，再由，可得，，进而可得，设直线的倾斜角为，则，即可得，即可得的面积.
【详解】（1）因为双曲线的渐近线分别为，，
所以，，
所以双曲线的离心率为；
（2）由（1）得，
则可设双曲线，
因为在双曲线上，
所以，则双曲线的方程为，
又点，分别在与上，
设，，
因为，
所以，
则，，
又，同理得，
设的倾斜角为，且，则，
所以.
【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.
22．已知C为圆的圆心，P是圆C上的动点，点，若线段MP的中垂线与CP相交于Q点．
(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹N的方程；
(2)过点的直线l与点Q的轨迹N分别相交于A，B两点，且与圆O：相交于E，F两点，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由线段的垂直平分线，得到，结合椭圆的定义，即可求解；
（2）①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，分别求得；②若直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，结合弦长公式，求得和，进而求得的值.
【详解】（1）解：由线段的垂直平分线，可得，
所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为，长轴长为的椭圆，
所以，，则，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）解：由（1）可知，椭圆的右焦点为，
①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，
则，，，，
所以，，．
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
联立方程组，整理得，
则，，
所以，
因为圆心到直线l的距离，
所以，
所以，
因为，所以，
综上可得，．
相关试卷
2023-2024学年浙江省嘉兴市南湖区秀水高级中学高二上学期期中数学试题含答案： 这是一份2023-2024学年浙江省嘉兴市南湖区秀水高级中学高二上学期期中数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年浙江省嘉兴市海盐高级中学八校联盟高一上学期期中联考数学试题含答案： 这是一份2023-2024学年浙江省嘉兴市海盐高级中学八校联盟高一上学期期中联考数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，设，，，则，，的大小关系为，函数的零点所在区间为，下面各组函数中是同一函数的是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省嘉兴市嘉兴市第五高级中学高一上学期期中数学试题含答案： 这是一份2022-2023学年浙江省嘉兴市嘉兴市第五高级中学高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
