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    最新中考数学总复习真题探究与变式训练(讲义) 专题01 实数(含二次根式)(8大考点)

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    最新中考数学总复习真题探究与变式训练(讲义) 专题01 实数(含二次根式)(8大考点)

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    这是一份最新中考数学总复习真题探究与变式训练(讲义) 专题01 实数(含二次根式)(8大考点),文件包含专题01实数含二次根式8大考点原卷版docx、专题01实数含二次根式8大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共91页, 欢迎下载使用。
    一、复习方法
    1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
    3.拓宽思维的广度,培养多角度、多维度思考问题的习惯。
    二、复习难点
    1.专题的选择要准,安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
    3.在复习的过程中要兼顾基础,在此基础上适当增加变式和难度,提高能力。
    第一部分 数与式
    专题01 实数(含二次根式)(8大考点)
    核心考点一 实数的分类
    例1 (2022·贵州铜仁·中考真题)在实数,,,中,有理数是( )
    A.B.C.D.
    例2 (2022·山东日照·中考真题)在实数,x0(x≠0),cs30°,中,有理数的个数是( )
    A.1个B.2个C.3个D.4个
    例3 (2022·湖南湘潭·中考真题)四个数-1,0,,中,为无理数的是_________.
    实数的概念与分类
    1.实数的概念:有理数和无理数统称为实数。
    2.有理数:有限小数或无限循环小数叫做有理数。
    3.无理数:无限不循环小数叫做无理数。
    在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一实质,归纳起来有四类:
    (1)开方开不尽的数,如等;
    (2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如+8等;
    (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;
    (4)某些三角函数,如sin60等。
    【变式1】(2022·广西桂林·一模)实数,,2,-6中,为负整数的是( )
    A.B.C.2D.- 6
    【变式2】(2022·湖北襄阳·一模)下列说法中正确的是( )
    A.和数轴上一一对应的数是有理数B.数轴上的点可以表示所有的实数
    C.带根号的数都是无理数D.不带根号的数都是有理数
    【变式3】(2022·湖南·宁远县教研室模拟预测)在实数,,,中有理数有_________个.
    【变式4】(2022·山东青岛·二模)下列实数中:①,②,③,④,⑤,其中是无理数的有__________(填序号) .
    【变式5】(2022·浙江·宁波市镇海区骆驼中学)把下列各数填在相应的表示集合的大括号内:
    ,,,,,,1.7,,0,1.1010010001…(两个1之间依次多个0).
    有理数:{ …}
    无理数:{ …}
    实数:{ …}
    核心考点二 相反数、倒数、绝对值
    例1 (2022·内蒙古包头·中考真题)若a,b互为相反数,c的倒数是4,则的值为( )
    A.B.C.D.16
    例2 (2022·湖北宜昌·中考真题)下列说法正确的个数是( )
    ①-2022的相反数是2022;②-2022的绝对值是2022;③的倒数是2022.
    A.3B.2C.1D.0
    例3 (2022·西藏·中考真题)已知,都是实数,若,则_____.
    相反数、绝对值和倒数的概念
    1.相反数:
    (1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;
    (2)相反数的和为0  a+b=0  a、b互为相反数.
    2.绝对值:
    (1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;
    (2) 绝对值可表示为:或 ;绝对值的问题经常分类讨论;
    (3)若|a|=|b|,则a=b或a=-b;(几何意义)
    (4)|ab|=|a|·|b|;||=(b≠0);
    (5)|a|=|a|=a;
    (6)|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|
    【拓展】 |a|≥0 b≥0
    (1)若(x-a)+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0;
    (2)若|x-a|+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0;
    (3)若|x-a|+|x-b|=0,则x-a=0且x-b=0。
    【绝对值问题总结】
    (1)利用绝对值的定义及性质解决的问题
    (2)简单的绝对值方程问题
    (3)化简绝对值式,分类讨论(零点分段法)问题
    (4) 绝对值几何意义的使用问题
    3.互为倒数:乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;若 a≠0,那么的倒数是;
    若ab=1 a、b互为倒数;若ab=-1 a、b互为负倒数.
    【变式1】(2022·广东·深圳市南山外国语学校三模)已知、互为相反数,、互为倒数,则代数式的值为( )
    A.B.C.D.
    【变式2】(2022·河南商丘·三模)如图是一个正方体的表面展开图,已知正方体的每一个面上都有一个实数,且相对面上的两个实数互为相反数,那么代数式的值等于( )
    A.B.C.1D.4
    【变式3】(2022·河北唐山·二模)已知a,b互为相反数,则代数式的值为_____.
    若,则b=____________.
    【变式4】(2022·河北邯郸·二模)已知.
    (1)________;
    (2)的相反数与的倒数的和为________.
    【变式5】(2022·浙江·舟山市第一初级中学一模)阅读下面的例题,
    范例:解方程 ,
    解:(1)当 时,原方程化为,解得:,(不合题意,舍去).
    (2)当x<0时,原方程化为,解得:,(不合题意,舍去).
    ∴原方程的根是,,
    请参照例题解方程
    核心考点三 数轴
    例1 (2022·江苏镇江·中考真题)如图,数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧,点A、B对应的实数分别是a、b,下列结论一定成立的是( )
    A.B.C.D.
    例2 (2022·宁夏·中考真题)已知实数,在数轴上的位置如图所示,则的值是( )
    A.B.C.D.
    例3 (2022·江苏常州·中考真题)如图,数轴上的点、分别表示实数、,则______.(填“>”、“=”或“”“=”或“0)。反之,
    分母有理化
    1.最简二次根式:必须同时满足下列条件:
    ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式;
    ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。
    2.同类二次根式:二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。
    3.分母有理化:分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式,将分母中的根号去掉的过程,混合运算中进行二次根式的除法运算,一般都是通过分母有理化而进行的。
    4.分母有理化的方法:分子分母同乘以分母的有理化因式。
    5.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,则说这两个代数式互为有理化因式。
    6.找有理化因式的方法:
    (1)分母为单项式时,分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。如:① 的有理化因式为 ,② 的有理化因式为 。
    (2)分母为多项式时,分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。即的有理化因式为 , 的有理化因式为 ,的有理化因式为
    【变式1】(2022·广东·佛山市南海外国语学校三模)如图,把一张矩形纸片按如图所示方法进行两次折叠后,恰好是等腰直角三角形,若,则的长度为( )
    A.B.C.D.
    【变式2】(2022·重庆·西南大学附中三模)某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现:有时候两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,例如,,,.通过查阅相关资料发现,这样的两个代数式互为有理化因式.小组成员利用有理化因式,分别得到了一个结论:
    甲:;
    乙:设有理数a,b满足:,则;
    丙:;
    丁:已知,则;
    戊:.
    以上结论正确的有( )
    A.甲丙丁B.甲丙戊C.甲乙戊D.乙丙丁
    【变式3】(2022·山东济南·二模)如果2、5、m是某三角形三边的长,则等于_____.
    【变式4】(2022·甘肃·嘉峪关市明珠学校一模)对于任意两个不相等的数,定义一种新运算“”如下:如:,那么________.
    【变式5】(2022·广东·东莞市万江第三中学三模)阅读理解
    对于任意正实数,,,,,只有当时,等号成立.
    结论:在均为正实数中,若为定值,则只有当时,有最小值.
    根据上述内容,回答下列问题:
    (1)若,只有当______时,有最小值______.
    (2)探索应用
    如图,已知,,为双曲线上的任意一点,过点作轴于点,轴于点求四边形面积的最小值,并说明此时四边形的形状.
    (3)实践应用
    建筑一个容积为,深为的长方体蓄水池,池壁每平方米造价为元,池底每平方米造价为元,如何设计池底的长、宽,使总造价最低?
    核心考点八 实数的运算
    例1 (2022·贵州安顺·中考真题)估计的值应在( )
    A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间
    例2 (2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题)对于实数,定义新运算:,若关于的方程有两个不相等的实数根,则的取值范围( )
    A.B.C.且D.且
    例3 (2022·湖北荆州·中考真题)若的整数部分为a,小数部分为b,则代数式的值是______.
    1.加法的运算律:
    (1)加法的交换律:a+b=b+a ;
    (2)加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
    2.减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).
    3.乘法法则:
    (1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘;
    (2)任何数同零相乘都得零;
    (3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定.
    4.乘法的运算律:
    (1)乘法的交换律:ab=ba;(2)乘法的结合律:(ab)c=a(bc);
    (3)乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac .
    5.除法法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意:零不能做除数,.
    6.乘方的法则:
    (1)正数的任何次幂都是正数;
    (2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;
    注意:当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n ,
    当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .
    混合运算法则:先乘方,后乘除,最后加减.
    8.二次根式的加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再将同类二次根式分别合并。
    一般地,二次根式的加减法可分以下三个步骤进行:
    (1)将每一个二次根式都化简成最简二次根式
    (2)判断哪些二次根式是同类二次根式,把同类二次根式结合成一组
    (3)合并同类二次根式
    9. 二次根式的乘法
    两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变,即
    (a≥0,b≥0)。
    两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变,即
    (a≥0,b>0)。
    10.常见类型
    常见类型一:.
    常见类型二:.
    【变式1】(2022·河北唐山·二模)如表,这是嘉琪同学的小测试卷,他应该得到的分数是( )
    A.40B.60C.80D.100
    【变式2】(2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室三模)若干个数,第一个数记为,规定运算:,,,,…,按上述方法计算:当时,的值等于( )
    A.B.C.D.3
    【变式3】(2022·广东·深圳市宝安中学(集团)三模)取整函数就是f(x)=[x],也被称为高斯函数,记号[x]表示不大于x的最大整数,例如:[2.3]=2,[﹣4.7]=﹣5,若S=1+,则[S]=______.
    【变式4】(2022·湖北·孝感市孝南区教学研究室模拟预测)对于实数,规定,例如,设,则S的值为_________.
    【变式5】(2022·重庆市第三十七中学校二模)若一个四位数m的前两位数字相同且各位数字均不为0,则称这个数为“巴渝数”;若把这个数的个位数字放到前三位数字组成的数的前面组成一个新的四位数,则称这个新的四位数为“桥梁数”;记一个“巴渝数”m与它的“桥梁数”的差为,例如,5536前两位数字相同,所以5536为“巴渝数”;则6553就为它的“桥梁数”, .
    (1) , .
    (2)若一个千位数字为2的“巴渝数”m能被6整除,它的“桥梁数”能被2整除,请求出满足条件的的最大值.
    【新题速递】
    1.(2022·陕西渭南·七年级期中)数轴上某一个点表示的数为a,若将这个点先向右移动4个单位,再向左移动5个单位,此时这个点表示的数为,则a的值为( )
    A.B.C.1D.2
    2.(2022·江苏盐城·九年级期中)设,,其中a为实数,则M与N的大小关系是( )
    A.B.C.D.
    3.(2022·河北石家庄·八年级期中)实数在数轴上的大致位置是( )
    A.点AB.点BC.点CD.点D
    4.(2022·广东·丰顺县茶背中学九年级阶段练习)如图,边长为 的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为 、 ,则 的值为( )
    A.16B.17C.18D.19
    5.(2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习)对于实数a、b,定义一种运算:.给出三个推断:①;②;③,其中正确的推断个数是( )
    A.0B.1C.2D.3
    6.(2022·重庆万州·九年级阶段练习)观察下面分母有理化的过程:,从计算过程中体会方法,并利用这一方法计算:的值是( )
    A.B.C.2021D.2022
    7.(2022·重庆市南开两江中学校八年级期中)实数a,b在数轴上的对应点如图所示,化简:____________.
    8.(2022·广东·丰顺县茶背中学九年级阶段练习)设是两个整数,若定义一种运算“”:,则方程的实数根是___________.
    9.(2022·浙江·翠苑中学九年级阶段练习)若函数,则当自变量取1,2,…,15,16,17这17个自然数时,函数值的和为 __.
    10.(2022·上海·上外附中八年级阶段练习)的整数部分为,小数部分为,则___________.
    11.(2022·北京房山·八年级期中)当今大数据时代,“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点,它已被广泛应用于我们的日常生活中.通常一个“二维码”由个大大小小的黑白小方格组成,其中大约的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码,这相当于个方格中只有个方格作为数据码,根据相关的数学知识,这个方格可生成个不同的数据二维码.下列结论:
    ①就是2个相乘;
    ②就是个相乘,它是一个非常非常大的数;
    ③的个位数字是6;
    ④因为,,所以估计比大.
    其中所有正确结论的序号是 ___________.
    12.(2022·湖南·衡阳市第十五中学九年级阶段练习)观察下列分母有理化的计算:

    ,……,
    从计算结果中找出规律并利用规律计算:
    ____________.
    13.(2022·山东济南·模拟预测)(1)计算:;
    (2)化简:.
    14.(2022·重庆市南开两江中学校八年级期中)计算:
    (1).
    (2).
    15.(2022·安徽·宣城十二中七年级期中)已知​,​,求下列各式的值.
    (1)​
    (2)​
    16.(2022·重庆潼南·八年级期中)一个四位正整数,各个数位上的数字均不为0,将千位数字和百位数字组成的两位记作数a,将其十位数字和个位数字组成的两位数记作b,若,则称这个四位正整数为“灵动数”,比如对于四位数3876,,因为,所以3876是“灵动数”;对于四位数2446,,因为,所以2446不是“灵动数”,若m是一个“灵动数”,将其千位数字与十位数字交换位置,百位数字与个位数字交换位置,得到一个新的四位数,记.
    (1)判断2652,3784是否是“灵动数”?并说明理由;
    (2)若一个“灵动数”m,它的千位上的数字是2,且是7的倍数,请求出所有符合条件的“灵动数”m.
    17.(2022·广东·测试·编辑教研五七年级期中)如图,数轴上点、表示的数分别是和2.
    (1)A、两点间的距离为___________.
    (2)动点以每秒3个单位长度的速度,从点出发沿数轴正方向运动,当点运动1秒时,点表示的数为___________.
    (3)在(2)的条件下,点出发的同时,动点以每秒1个单位长度的速度从点出发,沿数轴向右运动.当、两点之间的距离为4时,求点表示的数.
    (4)在(2)的条件下,点出发的同时,动点以每秒1个单位长度的速度从点出发,沿数轴向左运动,点到达点时,两点同时停止运动.当点表示数与点表示数的绝对值之差为1时,直接写出点表示的数.
    18.(2022·广东·丰顺县大龙华中学八年级阶段练习)《见微知著》谈到:从一个简单的经典问题出发,从特殊到一般,由简单到复杂,从部分到整体,由低维到高维,知识与方法上的类比是探索发展的重要途径.恒等变形,是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形,可以把无理数运算转化为有理数运算,可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.
    如:当 时,求 的值.若直接把 代入所求的式中,进行计算,显然很麻烦,我们可以通过恒等变形,对本题进行解答.
    方法:将条件变形,因 ,得 ,再把等式两边同时平方,把无理数运算转化为有理数运算.
    由 平方得 ,整理可得:,即
    所以
    请参照以上的解决问题的思路和方法,解决以下问题:
    (1)若 ,则 ___________, ___________;
    (2)若 ,求 的值.
    核心考点
    核心考点一 实数的分类
    核心考点二 相反数、倒数、绝对值
    核心考点三 数轴
    核心考点四 科学记数法
    核心考点五 实数的大小比较
    核心考点六 平方根、立方根
    核心考点七 二次根式及其运算
    核心考点八 实数的运算
    新题速递
    判断题:每题20分
    (1)|﹣3|=3 (√)
    (2)(﹣2x2)3=﹣6x3(√)
    (3)(a﹣b)2=a2﹣b2(×)
    (4) (×)
    (5)65°的补角是115° (√)

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