中考数学复习指导：例谈利用勾股定理解题

这是一份中考数学复习指导：例谈利用勾股定理解题，共3页。试卷主要包含了问题原型，类似题型，应用于折叠问题等内容，欢迎下载使用。
勾股定理是初中数学中极为重要的定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，完美的体现了“数形统一”的数学思想，将初中几何与代数很好地联系起来，有着非常广泛的应用．利用勾股定理列方程求解，是勾股定理应用中的一类典型问题，下面以几道常见习题为例，帮助同学们掌握此类问题的解题方法．
一、问题原型
例1 学校附近有一棵小树，树高8米，在一次台风来袭时，从A处折断，树根B与树尖C相距4米，求被折断的两部分AC和AB的长度．
分析 应用勾股定理解决此题的关键是把握好勾股定理中的三个数量．本题中只有一个数量“BC＝4”，结合图形，显然A,B,G三点构成直角三角形；AC,AB,BC满足：AC2＋BC2＝AB2．注意到AC＋AB＝8这个条件，由此运用方程的思想，便可使问题轻松解决．
解 如图1，设AC为x米，则AB为(8－x)米，
评析 勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，然后利用勾股定理列方程求解．
二、类似题型
例2 如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AC上一点，AB＝10，BD＝8，AD＝3．求CD的长．
分析 图中有两个直角三角形Rt△ABC和Rt ABDC，每个三角形中都只有一个已知量．类比例1将各自所在三角形中的其它两个量用未知数x表示，同时注意到CB是两个三角形的公共边，以CB为桥梁即可实现难题巧解．
∴CD的长为6.5．
例3 如图3，AD⊥AB，CB⊥AB，AD＝10，BC＝15，AB＝25，且DE＝CE．求AE的长．
分析 本例利用DE＝CE这个条件，可沟通两个三角形之间的等量关系，使问题得到顺利解决．
三、应用于折叠问题
例4 已知∠C＝90°，BC＝4，AC＝8．沿DE折叠使点A与点B重合(DE是AB的垂直平分线)，求CE的长．
分析 如图4，折叠前后AE＝EB，CE＋EA＝8．设其中一个为x，就可以在Rt△BCE中用勾股定理列方程求解．
例5 如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC边沿BD折叠使BC与BA重合于点E．AC＝6 AB＝10，求CD的长．
例6 如图6，矩形ABCD中，AB边沿AF折叠，使AB与DC交于点E，AB＝10，BC＝8．求CF的长．
评析 解决折叠问题时，首先要把握折叠的实质，抓住图形之间最本质的位置关系，从点、线、面三个方面入手，挖掘其中变化的和不变的量，进一步发现图形中的数量关系；其次要把握折叠的变化规律，挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来．