2023-2024学年吉林省吉林市永吉县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年吉林省吉林市永吉县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.计算m3÷m2的结果是( )
A. mB. m2C. m3D. m5
2.下列各图案中，是轴对称图形的为( )
A. B. C. D.
3.已知某新型感冒病毒的直轻约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示( )
A. 8.23×10−5B. 8.23×10−6C. 8.23×10−7D. 8.23×10−8
4.下列运算正确的是( )
A. a⋅a3=a3B. (−a3)2=a6C. (−ab2)3=a3b6D. a6−a2=a4
5.一个正多边形的每一个外角都等于45∘，则这个多边形的边数为( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
6.已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是( )
①作射线OC；
②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；
③分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C.
A. ①②③B. ②①③C. ②③①D. ③①②
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.若分式1x−2在实数范围内有意义，则 x的取值范围是__________.
8.因式分解3x2−3y2=__________.
9.在平面直角坐标系中，点P关于y轴的对称点Q的坐标为(−2,4)，则点P的坐标为______.
10.化简：x2−y2x÷x−yx=______.
11.如图，在△ABC中，∠A=45∘，∠B=60∘，点D在边AB上，并且BD=BC，连接CD，则∠ACD的大小为______度.
12.已知x+y=7，x−y=2，则y2−x2=______.
13.如图，在△ABC中，AB>AC.按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心、大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；作直线MN交AB于点D；连结CD.若AC=4，且△ACD的周长为13，则AB的长为______.
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD=3，P为AB上一动点，则PD的最小值为______.
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
15.解方程：1x−5=10x2−25.
四、解答题：本题共11小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：3m(2m−1)+2m(−3m).
17.(本小题5分)
计算：(2x+3y)2+(y+2x)(y−2x).
18.(本小题5分)
计算：5x+3yx2−y2−2xx2−y2.
19.(本小题7分)
图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
(1)在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点；
(2)在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点；
(3)在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．
20.(本小题7分)
如图，AB=DE，AC=DF，BE=CF.
(1)求证：AB//DE.
(2)若∠A=28∘，∠B=57∘，则∠F的度数为______.
21.(本小题7分)
某学生化简分式1x+1+2x2−1出现了错误，解答过程如下：
解：原式=(x−1)+2(第一步)
=x−1+2(第二步)
=x+1.(第三步)
(1)该学生解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是______；
(2)请写出此题正确的解答过程.
22.(本小题7分)
如图，长方形纸片ABCD，AD//BC，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.
(1)求证：BE=BF.
(2)若∠ABE=20∘，则∠BFE的度数为______.
23.(本小题8分)
如图，AD与BC相交于点O，AC=BD，∠C=∠D=90∘.
(1)求证：OA=OB；
(2)若∠ABC=30∘，OC=4，
①∠OAC的度数为______.
②求BC的长.
24.(本小题8分)
下面是某同学对多项式(x2−4x+2)(x2−4x+6)+4进行因式分解的过程
解：设x2−4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2−4x+4)2(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______.
A.提取公因式
B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
(2)该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？______.(填“是”或“否”)如果否，直接写出最后的结果______.
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2−2x)(x2−2x+2)+1进行因式分解．
25.(本小题10分)
某超市用3000元购进某种水果，由于销售状况良好，很快售完.超市又调拨9000元资金购进该种水果，但这次的进价比第一次进价每千克多2.5元，购进水果的数量是第一次的2倍，超市此时按每千克9元的价格出售，当大部分水果售出后，余下的100千克按售价的9折售完.
(1)求该种水果的第一次进价每千克是多少元？
(2)超市第二次购进该水果时，进价为每千克______元，购进该水果______千克.
(3)求该超市第二次销售该水果盈利了多少元？
26.(本小题10分)
在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC，且DE//BC.
(1)如图①，求证：∠ADE=45∘.
(2)若F为DE上一点(不与D，E重合)，连接AF，过点A作AG⊥AF，截取AG=AF，连接CG.如图②，求证：△ABF≌△ACG.
(3)连接GE.如图③，∠FEG的度数为______.
(4)连接FG，交AC于点Q，如图④，若△AQG为等腰三角形，请你直接写出∠AFD的度数.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：m3÷m2=m3−2=m.
故选：A.
直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D.
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，属于基础题.
根据题意，即可得解.
【解答】
解：0.000000823=8.23×10−7，
故选：C.
4.【答案】B
【解析】解：(A)∵a⋅a3=a1+3=a4，
∴A不正确，不符合题意；
(B)∵(−a3)2=(a3)2=a3×2=a6，
∴B正确，符合题意；
(C)∵(−ab2)3=−(ab2)3=−a3b6，
∴C不正确，不符合题意；
(D)∵a6与a2不是同类项，不能相加减，
∴D不正确，不符合题意；
故选：B.
分别计算判断即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键．
根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【解答】
解：多边形的边数为：360∘÷45∘=8.
故选：C.
6.【答案】C
【解析】解：根据作一个角的平分线的过程可知：
②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；
③分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C；
①作射线OC.
则射线OC平分∠AOB.
所以作法的合理顺序是②③①．
故选：C.
根据作一个角的平分线的过程即可进行判断．
本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
7.【答案】x≠2
【解析】解：∵分式1x−2在实数范围内有意义，
∴x的取值范围是：x≠2.
故答案为：x≠2.
直接利用分式有意义的条件为分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
8.【答案】3(x+y)(x−y)
【解析】解：3x2−3y2
=3(x2−y2)
=3(x+y)(x−y).
故答案为：3(x+y)(x−y).
先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
9.【答案】(−2,4)
【解析】解：在平面直角坐标系中，点P关于y轴的对称点Q的坐标为(−2,4)，则点P的坐标为(−2,4).
故答案为：(−2,4).
利用关于y轴对称点的坐标特点可得答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
10.【答案】x+y
【解析】解：x2−y2x÷x−yx
=(x+y)(x−y)x⋅xx−y
=x+y，
故答案为：x+y.
先把分式的分子、分母分解因式，然后除法变乘法，约分即可．
本题考查了分式的乘除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
11.【答案】15
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCD=60∘，
∵∠ACB=180∘−∠A−∠B=180∘−45∘−60∘=75∘，
∴∠ACD=∠ACB−∠DCB=75∘−60∘=15∘.
故答案为：15.
求出∠ACB，∠DCB，可得结论．
本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
12.【答案】−14
【解析】解：∵y2−x2
=−(x2−y2)
=−(x+y)(x−y)，
∴当x+y=7，x−y=2时，
原式=−7×2=−14，
故答案为：−14.
先对y2−x2进行因式分解，再将x+y=7，x−y=2整体代入进行求解．
此题考查了运用平方差公式进行因式分解的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识和整体思想进行求解．
13.【答案】9
【解析】解：根据作图过程可知：
MN是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∵AC=4，△ACD的周长=AD+CD+AC=13，
即AD+BD+4=13，
∴AB=9.
则AB的长为9.
故答案为：9.
根据作图过程可得MN是BC的垂直平分线，所以CD=BD，进而根据三角形周长即可求出AB的长．
本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
14.【答案】3
【解析】解：如图，过点D作DP⊥AB于P，
∵AD平分∠BAC，DP⊥AB，∠C=90∘，CD=3，
∴PD=CD=3，
由垂线段最短可知：PD的最小值为3，
故答案为：3.
过点D作DP⊥AB于P，根据角平分线的性质求出PD，根据垂线段最短解答即可．
本题考查的是角平分线的性质、垂线段最短，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15.【答案】解：去分母得：x+5=10，
解得：x=5，
经检验x=5是增根，分式方程无解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
16.【答案】解：3m(2m−1)+2m(−3m)
=6m2−3m−6m2
=−3m.
【解析】先计算单项式乘多项式和单项式乘单项式，再计算合并同类项．
此题考查了整式的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法．
17.【答案】解：(2x+3y)2+(y+2x)(y−2x)
=4x2+12xy+9y2+y2−4x2
=12xy+10y2.
【解析】先计算完全平方公式和平方差公式，再合并同类项．
此题考查了运用完全平方公式和平方差公式进行整式的混合运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解．
18.【答案】解：5x+3yx2−y2−2xx2−y2，
=5x+3y−2x(x+y)(x−y)
=3(x+y)(x+y)(x−y)
=3x−y.
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x、y的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图①，MN即为所求；(答案不唯一)
(2)如图②，PQ即为所求；(答案不唯一)
(3)如图③，△DEF即为所求．(答案不唯一)
【解析】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称性质．
(1)根据对称性在图①中，画一条不与AB重合的线段MN与AB对称即可；
(2)根据对称性在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ与AC对称即可；
(3)根据对称性在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称即可．
20.【答案】95∘
【解析】(1)证明：∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE.
即BC=EF.
在△ABC和△DEF中，
AB=DEBC=EFAC=DF，
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
∴∠B=∠DEF，
∴AB//DE.
(2)解：∵∠A=28∘，∠B=57∘，∠A+∠B+∠ACB=180∘，
∴∠ACB=95∘，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB=∠F=95∘，
故答案为：95∘.
(1)利用SSS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质得到∠B=∠DEF，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解；
(2)根据三角形内角和定理求出∠ACB=95∘，根据全等三角形的对应角相等求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SSS证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
21.【答案】一 通分时，去分母了
【解析】解：(1)一，通分时，去分母了；
故答案为：一，通分时，去分母了；
(2)解：原式=x−1(x+1)(x−1)+2(x+1)(x−1)
=x−1+2(x+1)(x−1)
=x+1(x+1)(x−1)
=1x−1.
(1)根据通分的定义判断即可；
(2)根据分式的加减法则计算即可．
本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
22.【答案】55∘
【解析】(1)证明：∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFB.
由折叠可知：∠DEF=∠BEF，
∴∠BEF=∠EFB，
∴BE=BF；
(2)解：∵∠ABC=90∘，∠ABE=20∘，
∴∠EBF=90∘−20∘=70∘，
由(1)可知：∠BEF=∠EFB=12(180∘−70∘)=55∘，
故答案为：55∘.
(1)根据平行线的性质得到∠DEF=∠EFB.由折叠得到∠DEF=∠BEF，等量代换得到∠BEF=∠EFB，进而证明BE=BF；
(2)根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是翻折变换、矩形的性质、三角形内角和定理，折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
23.【答案】30∘
【解析】(1)证明：在△OAC和△OBD中，
∠C=∠D,∠AOC=∠BOD,AC=BD.
∴△OAC≌△OBD(AAS)，
∴OA=OB；
(2)解：①∵∠C=90∘，
∴∠ABC+∠CAB=90∘，
∵∠ABC=30∘，
∴∠CAB=60∘，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠ABC=30∘，
∴∠OAC=∠CAB−∠OAB=30∘，
故答案为：30∘；
②在Rt△OAC中，∠C=90∘，∠OAC=30∘，
∴OA=2OC=2×4=8.
∴OB=OA=8.
∴BC=OB+OC=8+4=12.
(1)利用AAS证明△OAC≌△OBD，根据全等三角形的性质即可得解；
(2)①根据直角三角形的性质求出∠CAB=60∘，根据等腰三角形的性质求出∠OAB=∠ABC=30∘，再根据角的和差求解即可；
②根据含30∘角的直角三角形的性质求出OA=2OC=8，再根据线段的和差求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△OAC≌△OBD是解题的关键．
24.【答案】C 否 (x−2)4
【解析】解：(1)第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式．
故选：C；
(2)否，最终结果为(x−2)4.
故答案为：否，(x−2)4；
(3)设x2−2x=y，
则原式=y(y+2)+1
=y2+2y+1
=(y+1)2
=(x2−2x+1)2
=(x−1)4.
(1)分析第二步到第三步，可以得出直接应用完全平方公式的结论；
(2)明确最后的结果括号中的式子仍然可用完全平方公式因式分解，即可判断是否彻底；
(3)首先设x2−2x=y，对原式换元并利用乘法分配律化简，再根据完全平方公式变换；接下来，只需将所设x2−2x=y换回上述所得式子中，就能得到因式分解的结果．
此题考查的是因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．
25.【答案】7.51200
【解析】解：(1)设该种水果的第一次进价是每千克x元，
根据题意得2×3000x=9000x+2.5，
解得x=5.
经检验：x=5是原方程的解，
答：该种水果的第一次进价是每千克5元；
(2)超市第二次购进该水果时，进价为每千克5+2.5=7.5(元)，购进该水果90007.5=1200(千克).
故答案为：7.5，1200；
(3)(9−7.5)×(1200−100)+(9×0.9−7.5)×100
=1710(元)，
答：该超市第二次销售该水果盈利了1710元．
(1)设该种水果的第一次进价是每千克x元，则该种水果的第二次进价是每千克(1+2.5)元，根据数量=总价÷单价结合第二次购进干果的数量是第一次的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)根据(1)求出的结果即可求解；
(3)利用利润=销售收入-进货成本，即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
26.【答案】90∘
【解析】(1)证明：在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=12(180∘−∠BAC)
=12×(180∘−90∘)
=45∘，
又∵DE//BC，
∴∠ADE=∠ABC=45∘；
(2)证明：∵AG⊥AF，
∴∠FAG=90∘，
∴∠BAC=∠FAG=90∘，
∴∠BAC−∠FAE=∠FAG−∠FAE，
即∠BAF=∠CAG，
在△ABF和△ACG中，
AB=AC∠BAF=∠CAGAF=AG，
∴△ABF≌△ACG(SAS).
(3)解：由(1)可得：∠ADE=∠AED，
∴AB=AC，AD=AE，
在△DAF和△EAG中，
AD=AE∠DAF=∠EAGAF=AG，
∴△DAF≌△EAG(SAS)，
∴∠AEG=∠ADF，
∵∠ADF+∠AEF=90∘，
∴∠FEG=∠AEF+∠AEG=∠AEF+∠ADF=90∘；
故答案为：90∘；
(4)解：如图：
由于△AQG为等腰三角形，若AQ=QG，
∴∠GAQ=∠AGQ，
∵AF⊥AG，AF=AG，
∴∠AFQ=∠AGQ=45∘，
∴∠GAQ=45∘，
由(2)得∠BAF=∠CAG，
∴∠DAF=∠GAQ=45∘，
在△DAF中，∠DAF=∠ADF=45∘，
∴∠AFD=180∘−∠DAF−∠ADF=90∘.
如图，若AG=QG，则∠GAQ=∠GQA=67.5∘，
∴∠DAF=∠QAG=67.5∘，
∵∠ADF=45∘，
∴∠AFD=180∘−∠DAF−∠ADF=67.5∘.
综上所述，67.5∘或90∘.
(1)根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质解答即可；
(2)根据SAS证明△ABF和△ACG全等即可；
(3)根据SAS证明△DAF和△EAG全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
(4)根据等腰三角形的性质解答即可得出答案．
此题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，关键是根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质解答．