2023-2024学年河北省秦皇岛市青龙县部分学校八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年河北省秦皇岛市青龙县部分学校八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个图案中，是轴对称图形的为( )
A. B.
C. D.
2.要使分式|x|−3x2−6x+9的值为0，只须( )
A. x=±3B. x=3C. x=−3D. 以上答案都不对
3.下列运算正确的是( )
A. 3x3−5x3=−2xB. 6x3÷2x−2=3x
C. (−13x3)2=19x6D. −3(2x−4)=−6x−12
4.下列运算正确的是( )
A. 5a−4a=1B. (a−b)(b−a)=b2−a2
C. (−3a)2=−9a2D. (−2a)3(−a)2=−8a5
5.用m+2m−2替换分式n−1n+1中的n后，经过化简结果是( )
A. 2mB. 2mC. m2D. 12m
6.一个n边形的每个外角都是45∘，则这个n边形的内角和是( )
A. 1260∘B. 1080∘C. 900∘D. 720∘
7.若分式2aa+b中的a和b都扩大到原来的7倍，那么这个分式的值( )
A. 扩大到原来的14倍B. 扩大到原来的7倍C. 缩小为原来的17D. 不变
8.如图，将△ABC沿直线AD折叠，点B与点E重合，连接BE交AD于点O，∠ABC=90∘，AB=6，BC=8，AC=10，S△ACD=15.有下列结论：
①S△CDE=5；②CD=5；③OB=OE；④S△ABD：S△ACD=3：4，
则以上结论正确的是( )
A. ①②B. ②③C. ②③④D. ①②③
9.若(x+3)(x+n)=x2+mx+6，(m,n均为实数)，则( )
A. m=1，n=2B. m=1，n=−2
C. m=5，n=−2D. m=5，n=2
10.如图，已知钝角三角形ABC，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹.
步骤1：以C为圆心，CB为半径画弧①；
步骤2：以A为圆心，AB为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连结BD，交AC的延长线于点E.
下列叙述正确的是( )
A. BC平分∠ABDB. AB=BDC. AE=BDD. BE=DE
11.下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A. x2−4xB. x2−4x+4C. x2−4D. x2+4
12.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90∘，AB=AD.若这个四边形的面积为16，求BC+CD的值是( )
A. 6B. 8C. 4 2D. 4 3
13.已知关于x的分式方程mx−1−3x−1=1的解是非负数，则m的取值范围是( )
A. m>2B. m≥2C. m≥2且m≠3D. m>2且m≠3
14.如图，OC平分∠AOB，AC=BC，若OA=7，OB=3，AC=2.5，则点C到OA边距离等于( )
A. 1.5B. 2C. 52D. 5
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
15.已知ab≠0，则(a0+b−2)−1=______.
16.如图，在△ABC中，D在BC上，若AD=BD，AB=AC=CD，则∠BAC=______.
17.如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，E是BC延长线上的一点，DB=DE，则∠E的度数为______.
18.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处．若∠B=26∘，则∠BDE=______.
三、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算：
(1)(2x)2⋅(−5xy2)；
(2)a3⋅a4⋅a+(a2)4+(−2a4)2.
20.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=36∘，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，F为AC延长线上的一点，连接DF.
(1)求∠CBE的度数.
(2)若∠F=27∘，求证：BE//DF.
21.(本小题10分)
计算：
(1)mm−1−3m−1m2−1；
(2)(a+2+1a)÷(a−1a).
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠B=35∘，求∠CAE度数．
23.(本小题10分)
行李托运费用的计算方法是：当行李重量不超过30千克时，每千克收费1元；超过30千克时，超过部分每千克收费1.5元.某旅客托运x千克行李(x为正整数).
(1)请用代数式表示托运x千克行李的费用.
(2)当x=50时，求托运行李的费用.
24.(本小题10分)
为响应“创建全国文明城市”的号召，某村不断美化环境，拟在一块长为40m，宽为30m的长方形空地上修建如图所示的十字形花圃(非阴影部分)，在花圃内种花，其余部分(阴影部分)种草.
(1)求花圃的面积(用含x的式子表示)；
(2)若建造花圃的费用为每平方米100元，种草的费用为每平方米50元，当x=10时，求美化这块空地共需要多少元？
25.(本小题10分)
甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价为30元，乒乓球每盒定价为10元．现两家商店搞促销活动，甲商店的优惠方案：每买一副乒乓球拍赠一盒乒乓球；乙商店的优惠方案：按定价的9折出售．某班需购买乒乓球拍6副，乒乓球若干盒(不少于6盒).
(1)用代数式表示(所填式子需化简)：
当购买乒乓球拍6副，乒乓球x(x≥6,且x为整数)盒时，在甲商店购买共需付款______元，在乙商店购买共需付款______元；
(2)当购买乒乓球拍6副，乒乓球15盒时，到哪家商店购买比较省钱？说出你的理由；
(3)当购买乒乓球拍6副，乒乓球15盒时，你能给出一种更省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付款多少元．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形 是轴对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B.
根据轴对称图形的定义判断选择即可．
本题考查了轴对称图形，熟练掌握定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：依题意得：|x|−3=0且x2−6x+9≠0，
所以|x|=3，且(x−3)2≠0，
解得x=−3.
故选：C.
分式的值为零：分子等于零，且分母不为零．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．
3.【答案】C
【解析】直接利用积的乘方运算法则以及整式的除法运算法则、合并同类项法则、去括号法则分别计算得出答案．
解：A、3x3−5x3=−2x3，故此选项错误；
B、6x3÷2x−2=3x5，故此选项错误；
C、(−13x3)2=19x6，故此选项正确；
D、−3(2x−4)=−6x+12，故此选项错误.
故选：C.
此题主要考查了积的乘方运算以及整式的除法运算、合并同类项、去括号法则，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、原式=a，不符合题意；
B、原式=−(a−b)2=−a2+2ab−b2，不符合题意；
C、原式=9a2，不符合题意；
D、原式=−8a3⋅a2=−8a5，符合题意．
故选：D.
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：把m+2m−2代入原式得：(m+2m−2−1)÷(m+2m−2+1)
=(m+2−m+2m−2)÷(m+2+m−2m−2)
=4m−2×m−22m
=2m；
故选：A.
把m+2m−2代入原式，把分数线化为除法进行分式的运算．
此题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握代入求值法，把分数线化为除法进行分式的运算是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵多边形的每个外角都是45∘，
∴这个多边形的边数=36045=8，
∴这个多边形的内角和(8−2)×180∘=1080∘
故选：B.
根据n边的外角和为360∘可得到这个多边形的边数=36045=8，然后根据n边形的内角和为(n−2)×180∘即可求得8边形的内角和．
本题考查了多边形的内角和和外角和定理：n边形的内角和为(n−2)×180∘；n边的外角和为360∘.
7.【答案】D
【解析】解：由题意得：
2⋅7a7a+7b=14a7a+7b=2aa+b，
∴若分式2aa+b中的a和b都扩大到原来的7倍，那么这个分式的值不变，
故选：D.
利用分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵将△ABC沿直线AD折叠，点B与点E重合，
∴AB=AE=6，BD=DE，∠ABD=∠AED=90∘，
∴CE=AC−AE=4，
设DE=BD=x，则DC=8−x，
∵DE2+EC2=DC2，
∴x2+42=(8−x)2，
解得x=3，
∴DE=3，DC=5，
∴S△CDE=12×CE×DE=12×3×4=6.
故①错误，②正确；
由折叠的性质可知AB=AE，AD⊥BE，
∴OB=OE.
故③正确；
∵AB=6，BD=3，
∴S△ABD=12AB×BD=12×6×3=9，
∵S△ACD=15，
∴S△ABD：S△ACD=9：15=3：5.
故④错误．
故选：B.
根据折叠的性质求出CE=AC−AE=4，设DE=BD=x，则DC=8−x，由勾股定理得出x2+42=(8−x)2，解得x=3，则DE=3，DC=5，可判断结论得出答案．
此题考查了折叠的性质，三角形的面积与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握折叠中的对应关系．
9.【答案】D
【解析】解：∵(x+3)(x+n)=x2+(3+n)x+3n，
∴x2+(3+n)x+3n=x2+mx+6，
∴3+n=m，3n=6，
∴n=2，m=5，
故选：D.
根据多项式乘以多项式法则即可求出答案．
本题考查整式运算，解题的关键是熟练运用多项式乘以多项式的法则，本题属于基础题型．
10.【答案】D
【解析】解：连接AD，CD，
由题意得，CB=CD，AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形，
在△ABC和△ADC中，
AB=ADCB=CDAC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠DAC=∠BAC，
∴AE是∠DAB的角平分线，
又∵AB=AD，
∴BE=DE，
故选：D.
连接AD，CD，先证明△ABC≌△ADC，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出BE=DE.
本题考查了等腰三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题关键．
11.【答案】C
【解析】解：A.x2−4x=x(x−4)，因此选项A不符合题意；
B.x2−4x+4=(x−2)2，因此选项B不符合题意；
C.x2−4=(x+2)(x−2)，因此选项C符合题意；
D.x2+4在实数范围内不能进行因式分解，因此选项D不符合题意；
故选：C.
根据提公因式法、平方差公式的结构特征逐项进行判断即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
12.【答案】B
【解析】解：延长CB到E，使BE=DC，连接AE、AC，
∵∠BAD=∠BCD=90∘，
∴∠ABC+∠D=360∘−90∘−90∘=180∘，
∵∠ABC+∠ABE=180∘，
∴∠ABE=∠D，
在△ABE和△ADC中，
AB=AD∠ABE=∠DBE=DC，
∴△ABE≌△ADC(SAS)，
∴AE=AC，∠BAE=∠DAC，S△ABE=S△ADC，
∴∠BAE+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90∘，S△AEC=S四边形ABCD=16，
即∠EAC=90∘，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴EC2=AE2+AC2=2AE2，
∴S△AEC=12AE2=14EC2，
∵S△AEC=S四边形ABCD=16，
∴14EC2=16，
∴EC=8(负值已舍去)，
∴BC+CD=BC+BE=EC=8，
故选：B.
延长CB到E，使BE=DC，连接AE、AC，证△ABE≌△ADC(SAS)，得AE=AC，∠BAE=∠DAC，S△ABE=S△ADC，再证△AEC是等腰直角三角形，得EC2=AE2+AC2=2AE2，然后由三角形面积求出EC的长，即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
13.【答案】C
【解析】解：分式方程去分母得：m−3=x−1，
解得：x=m−2，
由分式方程的解是非负数，得到m−2≥0，且m−2≠1，
解得：m≥2且m≠3，
故选：C.
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解是非负数，确定出m的范围即可．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14.【答案】A
【解析】解：如图，过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N，
∵OC平分∠AOB，
∴CM=CN，
在Rt△ACM和Rt△BCN中，
AC=BC CM=CN ，
∴Rt△ACM≌Rt△BCN(HL)，
∴AM=BN，
在Rt△MOC和Rt△NOC中，
OC=OC CM=CN ，
∴Rt△MOC≌Rt△NOC(HL)，
∴OM=ON，
∴OA=OM+AM=OB+BN+AM=OB+2AM，
∵OA=7，OB=3，
∴AM=2，
∵AC=2.5，
∴CM= AC2−AM2=1.5，
即点C到OA边距离等于1.5，
故选：A.
过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N，根据角平分线的性质得出CM=CN，利用HL证明Rt△ACM≌Rt△BCN，Rt△MOC≌Rt△NOC，根据全等三角形的性质及线段的和差求出AM=2，根据勾股定理求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15.【答案】b2b2+1
【解析】解：∵ab≠0，
∴(a0+b−2)−1=(1+1b2)−1=b2b2+1.
故答案为：b2b2+1.
直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
16.【答案】108∘
【解析】解：∵AD=BD
∴设∠BAD=∠DBA=x∘，
∵AB=AC=CD
∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x∘，∠DBA=∠C=x∘，
∴∠BAC=3∠DBA=3x∘，
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180，
∴5x=180，
解得：x=36，
∴∠DBA=36∘
∴∠BAC=3∠DBA=108∘.
由AD=BD得∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠DBA，∠DBA=∠C，从而可推出∠BAC=3∠DBA，根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA的度数，从而不难求得∠BAC的度数．
此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．
17.【答案】30∘
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60∘，AB=BC，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC=∠DBA=12∠BAC=30∘，
∵DB=DE，
∴∠E=∠DBC=30∘，
故答案为：30∘.
根据等边三角形的性质得出∠ABC=60∘，AB=BC，根据等腰三角形的性质得出∠DBC=∠DBA=12∠BAC=30∘，再根据等腰三角形的性质得出∠E=∠DBC即可．
本题考查了等边三角形的性质和等腰三角形的性质和判定，能熟记等边三角形的性质是解此题的关键．
18.【答案】38∘
【解析】解：∵将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处，
∴∠CED=∠A，
∵∠ACB=90∘，∠B=26∘，
∴∠A=180∘−90∘−26∘=64∘，
∴∠CED=64∘，
∴∠BDE=64∘−26∘=38∘.
故答案为：38∘.
根据三角形内角和定理求出∠A的度数，根据翻折变换的性质求出∠CED的度数，根据三角形内角和定理求出∠∠BDE.
本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，理解翻折变换的性质、熟记三角形内角和等于180∘是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=4x2⋅(−5xy2)=−20x3y2；
(2)原式=a8+a8+4a8=6a8.
【解析】(1)先算积的乘方，然后再利用单项式乘以单项式计算法则进行计算即可；
(2)先算同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方，然后再合并同类项即可．
本题考查了单项式乘单项式，关键是四则混合运算的应用．
20.【答案】(1)解：∵∠ACB=90∘，∠A=36∘，∠CBD是△ABC的外角，
∴∠CBD=∠ACB+∠A=126∘，
∵BE平分∠CBD，
∴∠CBE=12∠CBD=63∘；
(2)证明：∵∠ACB=90∘，∠CBE=63∘，
∴∠CEB=∠ACB−∠CBE=27∘，
∵∠F=27∘，
∴∠CEB=∠F，
∴BE//DF.
【解析】(1)由三角形的外角性质可求得∠CBD=126∘，再由角平分线的定义即可求∠CBE的度数；
(2)结合(1)可求得∠CEB=27∘，利用同位角相等，两直线平行即可判定BE//DF.
本题主要考查三角形的外角性质，平行线的判定，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
21.【答案】解：(1)mm−1−3m−1m2−1
=mm−1−3m−1(m+1)(m−1)
=m(m+1)−(3m−1)(m+1)(m−1)
=m2−2m+1(m+1)(m−1)
=(m−1)2(m+1)(m−1)
=m−1m+1；
(2)(a+2+1a)÷(a−1a)
=a2+2a+1a÷a2−1a
=(a+1)2a⋅a(a+1)(a−1)
=a+1a−1.
【解析】(1)利用异分母分式加减法法则，进行计算即可解答；
(2)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
22.【答案】解：∵BD=AD，∠B=35∘，
∴∠B=∠BAD=35∘，
∴∠ADC=2∠B=70∘，
∵AD=AC，点E是CD中点，
∴AE⊥CD，∠C=∠ADC=70∘，
∴∠AEC=90∘，
∴∠CAE=90∘−70∘=20∘.
【解析】先判断出∠AEC=90∘，等腰三角形的外角等于底角的2倍即可得出结论．
此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，求出∠ADC=70∘是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)根据题意可得，
当行李重量不超过30千克时，托运x千克行李的费用为x，
当行李重量超过30千克时，托运x千克行李的费用为30+1.5(x−30)=1.5x−15，
∴托运x千克行李的费用为x(x≤30)1.5x−15(x>30)；
(2)当x=50时，1.5x−15=1.5×50−15=60(元).
∴当x=50时，求托运行李的费用为60元．
【解析】(1)根据题意列出代数式求解即可；
(2)将x=50代入(1)中的代数式求解即可．
此题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是正确分析题意列出代数式．
24.【答案】解：(1)40×30−4×30−x2×40−x2
=1200−(30−x)(40−x)
=1200−1200+70x−x2
=(70x−x2)(m2)
即花圃的面积为(70x−x2)m2；
(2)100(70x−x2)+50(40−x)(30−x)
=(−50x2+3500x+60000)元，
当x=10时，
原式=−50×102+3500×10+60000=90000，
即美化这块空地共需要90000元．
【解析】(1)根据题意列得代数式即可；
(2)结合(1)中所求列式计算即可．
本题考查列代数式及代数式求值，结合已知条件列得正确的代数式是解题的关键．
25.【答案】(1)(10x+120)(9x+162)
(2)当x=15时，10x+120=270(元)，9x+162=297(元)，
由于270<297，
所以在甲商店购买省钱；
(3)先到甲商店购买6副球拍，获赠6盒球，再到乙商店购买9盒球，所需金额为：
30×6+10×90%×9=261(元)，
答：先到甲商店购买6副球拍，获赠6盒球，再到乙商店购买9盒球，所需金额为261元．
【解析】解：(1)甲商店所用金额30×6+10×(x−6)=(10x+120)元，
乙商店所用金额30×90%×6+10×90%×x=(9x+162)元，
故答案为：(10x+120)，(9x+162)；
(2)(3)见答案
(1)根据两个商店的优惠办法以及单价、数量、总价之间的关系可得答案；
(2)把x=15代入计算即可；
(3)先到甲商店购买6副球拍，获赠6盒球，再到乙商店购买9盒球即可．
本题考查列代数式以及代数式求值，理解两个商店的优惠办法是解决问题的关键．