2023-2024学年河北省秦皇岛市昌黎县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年河北省秦皇岛市昌黎县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.要使分式1x+3有意义，则x的取值应满足( )
A. x≥3B. x<−3C. x≠−3D. x≠3
2.关于x的分式方程x−3x−1=mx−1有增根，则m的值是( )
A. −2B. 3C. −3D. 2
3.下列实数是无理数的是( )
A. −12B. 38C. 0D. 3
4.实数α，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. a>−bB. |a|>|b|C. b−a<0D. a+b>0
5.以下二次根式：① 12；② 22；③ 23；④ 27中，与 3是同类二次根式的是( )
A. ①和②B. ②和③C. ①和④D. ③和④
6.下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A. AB：BC：AC=3：4：5B. AB：BC：AC=1：2： 3
C. ∠A−∠B=∠CD. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
7.若M= 10−14，N=12，则M，N的大小关系是( )
A. M>NB. M8.如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE=1，CD=3，则BD的长是( )
A. 1.5
B. 2
C. 4
D. 6
9.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为( )
A. 3B. 2 3C. 3 3D. 4 3
10.如图，在△ABD中，∠D=20∘，CE垂直平分AD，交BD于点C，交AD于点E，连接AC，若AB=AC，则∠BAD的度数是( )
A. 100∘B. 110∘C. 120∘D. 150∘
11.如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，根据尺规作图保留的痕迹，下列结论错误的是( )
A. AD是∠BAC的平分线
B. AD=BD
C. AC=2CD
D. S△ABD=2S△ACD
12.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是24，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值( )
A. 8
B. 11
C. 12
D. 15
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
13.已知ax+4+bx−4=8xx2−16，则ab的算术平方根是______.
14.已知a，b为两个连续整数，且a<2 715.将二次根式 113化为最简二次根式为______.
16.在△ABC中，∠C=100∘，AC=BC，则∠A=______ ∘.
17.如图，数轴上点A表示的实数是− 6，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动2周，圆上的点A到达点B处，则点B表示的数是______.
18.小明做数学题时，发现 1−12= 12； 2−25=2× 25； 3−310=3× 310； 4−417=4× 417；…；按此规律，若 a−8b=a⋅ 8b(a,b为正整数)，则a+b=______.
19.如图，在△ABC中，BC=15厘米，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD//AB，PE//AC，则△PDE的周长为______.
20.乐乐在学习中遇到了这样的问题：
如图所示的三角形纸片ABC中，∠C=90∘，AC=4，BC=6，将△ABC沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，你有几种方法呢？
经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定点，请你帮助乐乐写出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积是______.
三、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题10分)
计算：
(1)(− 2)× 6−| 3−1|+ 27；
(2)( 3+2)(2− 3)+( 3− 2)2.
22.(本小题10分)
如图，△ABC和△A′B′C′关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到△ABC和线段BC的对应线段B′C′，请你帮该同学找到对称中心O，且补全△A′B′C′.
23.(本小题10分)
如图，工人师傅要检查三角形工件ABC的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺，他是这样操作的：
①分别在BA和CA上取BE=CG；
②在BC上取BD=CF；
③连接DE、FG，量出DE的长为a米，FG的长为b米．
若a=b，则说明∠B和∠C是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？
24.(本小题10分)
阅读下面的文字，解答问题：
大家知道 2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 2的小数部分我们不可能全部写出来.将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为 2的整数部分是1，于是用 2−1来表示 2的小数部分.又例如：∵ 4< 7< 9，即2< 7<3，∴ 7的整数部分是2，小数部分为 7−2.
(1) 17的整数部分是______，小数部分是______；
(2)若m，n分别是6− 5的整数部分和小数部分，求3m−n2的值.
25.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AC平分∠DAB，CB⊥AB，CE⊥AD交AD的延长线于点E.
(1)求证：△ACD是等腰三角形；
(2)连接BE，求证：AC垂直平分BE.
26.(本小题10分)
如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，取F为BC中点，连接点D，E，F得到△DEF，G是ED中点.
(1)求证：FG⊥DE；
(2)如果∠A=60∘，BC=16，求FG的长度.
27.(本小题10分)
在△ABC中，∠ACB=90∘，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE=DC.
(1)如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF，EF.若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2.若AB2=AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
根据分式有意义的条件是分母不等于零可得x+3≠0，再解即可．
【解答】
解：由题意得：x+3≠0，
解得：x≠−3，
故选：C.
2.【答案】A
【解析】解：x−3x−1=mx−1
去分母，得x−3=m，
移项，得x=m+3.
∵关于x的分式方程x−3x−1=mx−1有增根，
∴x=1，
∴m+3=1，
∴m=−2.
故选：A.
先解关于x的分式方程x−3x−1=mx−1得x=m+3.再根据增根的定义，解决此题．
本题主要考查分式方程的增根，掌握分式方程增根的概念是解决本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、−12是分数，是有理数，故不符合题意；
B、38=2是整数，是有理数，故不符合题意；
C、0是整数，是有理数，故不符合题意；
D、 3是无理数，故符合题意；
故选：D.
根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数逐项进行判断即可．
本题考查无理数，理解无理数的定义是正确解答的前提，掌握无限不循环小数是无理数是正确判断的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由图可知，
a<0|b|，
∴a<−b，A选项错误；
b−a>0，C选项错误；
a+b<0，D选项错误．
故答案为：B.
根据数轴得到a、b的正负和绝对值大小，然后逐个分析即可．
本题考查绝对值和实数与数轴，能够通过数轴获取相关的数学信息是解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】【分析】
先把每个二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答．
本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
【解答】
解：∵ 12=2 3， 22= 4=2， 23= 63， 27=3 3，
∴与 3是同类二次根式的是①和④，
故选：C.
6.【答案】D
【解析】解：A.设AB=3a，BC=4a，AC=5a，因为AB2+BC2=(3a)2+(4a)2=25a2，AC2=(5a)2=25a2，即AB2+BC2=AC2，所以△ABC是直角三角形，故A选项不符合题意；
B.设AB=a，BC=2a，AC= 3a，因为AB2+AC2=a2+( 3a)2=4a2，BC2=(2a)2=4a2，即AB2+AC2=BC2，所以△ABC是直角三角形，故B选项不符合题意；
C.由∠A+∠B+∠C=180∘，∠A−∠B=∠C，可得∠A=90∘，所以△ABC是直角三角形，故C选项不符合题意；
D.因为∠A：∠B：∠C=3：4：5，所以∠A=312×180∘=45∘，∠B=412×180∘=60∘，∠C=512×180∘=75∘，所以△ABC不是直角三角形，故D选项符合题意．
故选：D.
A.应用股沟定理的逆定理进行计算即可得出答案；
B.应用股沟定理的逆定理进行计算即可得出答案；
C.应用三角形内角和定理进行计算即可得出答案；
D.应用三角形内角和定理进行计算即可得出答案．
本题主要考查了勾股定理的逆定理即三角形内角和，熟练掌握勾股定理的逆定理即三角形内角和定理进行计算即可得出答案．
7.【答案】A
【解析】解： 10−14−12= 10−1−24= 10−34，
∵10>9，
∴ 10>3，
∴ 10−3>0，
∴ 10−34>0，
∴ 10−14>12.
∴M>N.
故选：A.
利用作差法比较大小即可．
本题考查的是实数的大小比较，熟知实数比较大小的法则是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵△ABC≌△DEC，CE=1，CD=3，
∴BC=CE=1，
∴BD=BC+CD=3+1=4，
故选：C.
根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可．
本题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等解答．
9.【答案】D
【解析】解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，
∴∠DCE=∠CDE=60∘，BC=CD=4.
∴∠BDC=∠CBD=30∘.
∴∠BDE=90∘.
∴BD= BE2−DE2=4 3.
故选：D.
根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠BDE=90∘，再进一步根据勾股定理进行求解．
此题综合运用了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质和勾股定理．
10.【答案】C
【解析】解：∵CE垂直平分AD，
∴AC=CD，
∴∠CAD=∠D=20∘，
∴∠ACB=∠CAD+∠D=40∘，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=40∘，
∴∠BAD=180∘−∠B−∠D=120∘，
故选：C.
根据线段垂直平分线的性质得到AC=CD，根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠D=20∘，求得∠ACB=∠CAD+∠D=40∘，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：由尺规作图痕迹可知，AD为∠BAC的平分线，
故A选项正确，不符合题意；
∵∠C=90∘，∠B=30∘，
∴∠BAC=60∘，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠BAD=30∘，
∴∠BAD=∠B，
∴AD=BD，
故B选项正确，不符合题意；
在Rt△ACD中，∠CAD=30∘，
∴AD=2CD，
故C选项错误，符合题意；
∵AD=2CD，AD=BD，
∴BD=2CD，
∴S△ABD=12BD⋅AC=2(12CD⋅AC)=2S△ACD，
故D选项正确，不符合题意．
故选：C.
由尺规作图痕迹可知，AD为∠BAC的平分线，则可得∠CAD=∠BAD=30∘，进而可得AD=BD，在Rt△ACD中，∠CAD=30∘，可得AD=2CD，则BD=2CD，S△ABD=12BD⋅AC=2(12CD⋅AC)=2S△ACD，即可得出答案．
本题考查作图-基本作图、等腰三角形、直角三角形，熟练掌握角平分线的作图步骤是解答本题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：连接AD，MA.
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×6×AD=24，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，
∴MC+DM=MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+12BC=8+12×6=8+3=11.
故选：B.
连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：∵ax+4+bx−4=8xx2−16，
∴a(x−4)+b(x+4)(x+4)(x−4)=8xx2−16，
即a(x−4)+b(x+4)=8x，
∴(a+b)x−4(a−b)=8x，
∴a+b=8a−b=0，
解得a=4b=4，
∴ab=4×4=16，
ab的算术平方根为4.
故答案为：4.
计算ax+4+bx−4，然后根据ax+4+bx−4=8xx2−16，列出方程求出ab的值，并进一步求ab的算术平方根即可．
本题考查了分式的加减以及算术平方根，解题的关键是根据掌握异分母分式是运算法则．
14.【答案】11
【解析】解：∵25<28<36，
∴5<2 7<6，
∴a=5，b=6，
∴a+b=5+6=11，
故答案为：11.
估算出2 7的范围，得到a，b的值，从而得到a+b的值．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
15.【答案】23 3
【解析】解： 113= 43= 4×33×3=23 3，
故答案为：23 3.
根据二次根式的性质： a =|a|解答．
本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
16.【答案】40
【解析】解：∵∠C=100∘，AC=BC，
∴∠A=∠B=12×(180∘−100∘)=40∘，
故答案为：40.
根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
17.【答案】− 6+2π
【解析】解：由题可知，圆的直径为1个单位长度，
∴此圆的周长为πd=π，
∵从点A沿数轴向右滚动2周，圆上的点A到达点B处，
∴AB=2π，
∵点A表示的实数是− 6，
∴点B表示的数是− 6+2π，
故答案为：− 6+2π.
先求出圆的周长，再根据数轴的特点进行解答即可．
本题考查的实数与数轴的特点，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解题的关键．
18.【答案】73
【解析】解：根据题中的规律得： n−nn2+1=n nn2+1(n≥1的正整数)，
∵ a−8b=a⋅ 8b，
∴a=8，b=82+1=65，
则a+b=8+65=73.
故答案为：73.
找出一系列等式的规律为 n−nn2+1=n nn2+1(n≥1的正整数)，令n=8求出a与b的值，即可求得a+b的值．
此题考查了数字类规律，找出题中的规律是解本题的关键．
19.【答案】15cm
【解析】解：∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠APB=∠PBD，∠ACP=∠PCE，
∵PD//AB，PE//AC，
∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，
∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，
∴BD=PD，CE=PE，
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=15cm.
故答案为：15cm.
根据平行线的性质可证明△DPB和△EPC为等腰等角线，从而将△PDE的周长转化为BC的长．
本题考查平行线的性质和等腰三角形的判定与性质，解题关键是根据图形熟练运用平行线的性质进行角的转化．
20.【答案】8或263
【解析】解：①如图1：PC=AC=4时，△ACP是等腰直角三角形，
则S△ACP=12×4×4=8；
②如图2：AP=BP时，△ABP是等腰三角形，
在△ACP中，∠C=90∘，AC=4，BC=6，
则AC2+CP2=AP2，即42+CP2=(6−CP)2，
解得CP=53，
则S△ABP=S△ABC−S△ACP=12×4×6−12×4×53=263.
综上所述，剪出的等腰三角形的面积是8或263.
故答案为：8或263.
要分两种情况进行讨论：①PC=AC=4时，△ACP是等腰直角三角形，根据三角形面积公式可求剪出的等腰三角形的面积；②AP=BP时，△ABP是等腰三角形，根据勾股定理可求CP，再根据三角形面积公式可求剪出的等腰三角形的面积．
此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握三角形的面积计算．
21.【答案】解：(1)(− 2)× 6−| 3−1|+ 27
=− 12−( 3−1)+3 3
=−2 3− 3+1+3 3
=1；
(2)( 3+2)(2− 3)+( 3− 2)2
=4−3+3−2 6+2
=6−2 6.
【解析】(1)先化简，然后合并同类二次根式即可；
(2)根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．
22.【答案】解：如图所示，BB′，CC′的交点即为O，△A′B′C′即为所求．

【解析】根据中心对称的性质解决问题即可．
本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质，灵活应用所学知识解决问题．
23.【答案】解：这种做法合理，理由如下：
在△BDE和△CFG中，
BE=CGBD=CFDE=FG，
∴△BDE≌△CFG(SSS)，
∴∠B=∠C.
【解析】由“SSS”可证△BDE≌△CFG，可得∠B=∠C.
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
24.【答案】4 17−4
【解析】解：(1)∵ 16< 17< 25，即4< 17<5，
∴ 17的整数部分是4，小数部分是 17−4，
故答案为：4， 17−4；
(2)∵ 4< 5< 9，即2< 5<3，
∴−3<− 5<−2，
−3+6<6− 5<6−2，
3<6− 5<4，
∴6− 5的整数部分是3，小数部分是6− 5−3=3− 5，
∴m=3，n=3− 5，
∴3m−n2
=3×3−(3− 5)2
=9−(9+5−6 5)
=9−9−5+6 5
=6 5−5.
(1)先估算 17的大小，求出整数部分和小数部分即可；
(2)先估算 5的大小，然后根据不等式的性质求出6− 5的大小，求出整数部分m和小数部分n，然后代入所求代数式进行计算即可．
本题主要考查了估算无理数的大小，解题关键是熟练掌握估算无理数大小．
25.【答案】证明：(1)∵AB//DC，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DCA=∠DAC，
∴DA=DC，
∴△ACD是等腰三角形；
(2)∵AC是∠EAB的平分线，CE⊥AE，CB⊥AB，
∴CE=CB，∠CEA=∠CBA=90∘，
又∵AC=AC，
∴Rt△CEA≌Rt△CBA(HL)，
∴AE=AB，
∴点A、点C在线段BE的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BE.
【解析】(1)根据平行线的性质和角平分线的定义求出∠DCA=∠DAC，由等腰三角形的判定可得结论成立；
(2)证明Rt△CEA≌Rt△CBA，根据全等三角形的性质得到AE=AB，根据线段垂直平分线的判定即可得到AC垂直平分BE.
本题主要考查角平分线的定义和性质，等腰三角形的判定、平行线的性质、线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解答本题的关键是灵活运用各性质进行推理论证．
26.【答案】(1)证明：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，
∴∠BDC=∠CEB=90∘，
∵F是BC的中点，
∴EF=DF=12BC，
∴△DEF是等腰三角形，
∵G是ED的中点，
∴FG⊥DE；
(2)解：∵BD、CE分别是边AC、AB上的高线．
∴∠BDC=∠CEB=90∘，
∵F是BC的中点，BC=16，
∴EF=DF=12BC=BF=CF=8，
∴∠BEF=∠ABC，∠CDF=∠ACB，
∵∠A=60∘，
∴∠ABC+∠ACB=120∘，
∴∠BFE+∠CFD=360∘−2(∠ABC+∠ACB)=120∘，
∴∠EFD=60∘，
∴△DEF是等边三角形，
∵G是ED的中点，
∴EG=12DE=12EF=4，
∴FG= EF2−EG2= 82−42=4 3.
【解析】(1)由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可判定EF=DF，可得△DEF是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一，可证得FG⊥DE；
(2)由∠A=60∘，可求得∠EFD=60∘，可判定△DEF是等边三角形，根据直角三角形斜边上的中线得EF=DF=8，由等边三角形的性质即可求解．
此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，解题的关键是掌握数形结合思想的应用．
27.【答案】(1)证明：在△BCD和△FCE中，
BC=FC∠BCD=∠FCECD=CE，
∴△BCD≌△FCE(SAS)，
∴∠DBC=∠EFC，
∴BD//EF，
∵AF⊥EF，
∴BD⊥AF；
(2)解：由题意补全图形如下：
CD=CH.
证明：延长BC到F，使CF=BC，连接AF，EF，
∵AC⊥BF，BC=CF，
∴AB=AF，
由(1)可知BD//EF，BD=EF，
∵AB2=AE2+BD2，
∴AF2=AE2+EF2，
∴∠AEF=90∘，
∴AE⊥EF，
∴BD⊥AE，
∴∠DHE=90∘，
又∵CD=CE，
∴CH=CD=CE.
【解析】(1)证明△BCD≌△FCE(SAS)，由全等三角形的性质得出∠DBC=∠EFC，证出BD//EF，则可得出结论；
(2)由题意画出图形，延长BC到F，使CF=BC，连接AF，EF，由(1)可知BD//EF，BD=EF，证出∠AEF=90∘，得出∠DHE=90∘，由直角三角形的性质可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，证明△BCD≌△FCE是解题的关键．