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2023-2024学年河北省秦皇岛市青龙县部分学校联考九年级（上）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年河北省秦皇岛市青龙县部分学校联考九年级（上）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列关于x的方程中，是一元二次方程的是( )
A. (a−1)x2+x+1=0B. x2−1=x(x+1)
C. x+1x=2D. 2x2−2x=1
2.已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，则线段d的长为( )
A. 1 cmB. 4 cmC. 2 cmD. 9 cm
3.已知a−2b=3，2b−c=−5，c−d=10，下列结论错误的是( )
A. a−c=−2B. a−d=8
C. 2a+2b−3c=9D. 2a+2b−3d=21
4.为了解体育锻炼情况，班主任从八(5)班45名同学中随机抽取8位同学开展“1分钟跳绳”测试，得分如下(满分15分)：15，10，13，13，8，12，13，12，则以下判断正确的是( )
A. 这组数据的众数是13，说明全班同学的平均成绩达到13分
B. 这组数据的中位数是12，说明12分以上的人数占大多数
C. 这组数据的平均数是12，可以估计全班同学的平均成绩是12分
D. 以上均不正确
5.用配方法解一元二次方程x2+3x=1时，方程两边都加上( )
A. 32B. −94C. 9D. 94
6.如图，已知一组平行线a//b//c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB=2，BC=4，DE=1.6，则EF=( )
A. 1.8
B. 2.4
C. 2.8
D. 3.2
7.王老师对小明在参加中考前的5次数学模拟考试成绩进行统计分析，要判断小明的数学成绩是否稳定，老师需要知道小明这5次数学成绩的( )
A. 频数B. 众数C. 中位数D. 方差
8.如图，以O为位似中心且与△ABC位似的图形编号是( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
9.在庆祝中国共产党成立100周年的“红色记忆”校园歌咏比赛中，15个参赛班级按照成绩(成绩各不相同)取前7名进入决赛，小红知道了自己班级的比赛成绩，如果要判断自己的班级能否进入决赛，还需要知道这15个参赛班级成绩的( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
10.某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程( )
A. 500(1+2x)=720B. 500(1+x)2=720
C. 500(1+x2)=720D. 720(1+x)2=500
11.把x2−5x=31配方，需在方程的两边都加上( )
A. 5B. 25C. 2.5D. 254
12.已知x、y都是实数，且(x2+y2)(x2+y2+2)−3=0，那么x2+y2的值是( )
A. −3B. 1C. −3或1D. −1或3
13.为了庆祝教师节，市教育工会组织篮球比赛，赛制为单循环比赛(即每两个队比赛一场)共进行了45场比赛，则这次参加比赛的球队个数为( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
14.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1,3)与x轴的一个交点B(4,0).有下列结论：①2a+b=0；②abc=0；③方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根；④当y=0时，2−x=4.其中正确的是( )
A. ①②
B. ①③
C. ②③④
D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
15.如果a，b，c，d是成比例线段，其中a=2cm，b=6cm，c=5cm，则线段d=______cm．
16.若关于x的一元二次方程kx2−6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
17.某校中学生开展社会实践活动，同学们在某小区随机调查了部分家庭一周内使用环保方便袋的数量，整理后制作了如图所示的统计图，请你根据统计图估计该小区每户一周内使用环保方便袋______个.
18.两组数据m，6，n与1，m，2n，7的平均数都是6，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的中位数为______．
19.如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=1，BD=3，则边AC的长为______．
20.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，如果∠A=50°，那么∠DEF等于______．
三、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1cm，AB=6cm，求⊙O的半径．
22.(本小题6分)
解方程：
(1)2x2+1=3x；(配方法)
(2)(2x−1)2=(3−x)2.(因式分解法)
23.(本小题10分)
八年级(1)班的学习委员亮亮对本班每位同学每天课外完成数学作业的时间进行了一次统计，并根据收集的数据绘制了如图的统计图(不完整)，请你根据图中提供的信息，解答下面的问题：(注：每组数据包括最大值，不包括最小值.)
(1)这个班的学生人数为______人；
(2)将图①中的统计图补充完整；
(3)完成课外数学作业的时间的中位数在______时间段内；
(4)如果八年级共有学生500名，请估计八年级学生课外完成数学作业时间超过1.5小时的有多少名？
24.(本小题12分)
如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上(除B点外)的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．
(1)求证：△ABE∽△BCD；
(2)若MB=BE=1，求CD的长度．
25.(本小题12分)
如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB=4，AD=3，AE=3，求AF的长．
26.(本小题12分)
在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、当a=1时，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、化简后未知数的次数不为2，故本选项错误；
C、不是整式方程，故本选项错误；
D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
故选：D．
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果没有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.这是一个需要识记的内容．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意得a：b=c：d，即3：2=6：d，
所以d=2×63=4(cm)．
故选：B．
利用比例线段的定理得到3：2=6：d，然后利用比例的性质求d即可．
本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d(即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3.【答案】C
【解析】解：∵a−2b=3，2b−c=−5，
∴a−c=−2，故A选项结论正确，不符合题意；
∵a−c=−2，c−d=10，
∴a−d=8，故B选项结论正确，不符合题意；
∵a−2b=3，
∴a+b=3b+3，
∵2b−c=−5，
∴b=c−52，
∴a+b=3×c−52+3，
∴2a+2b=3c−15+6，
∴2a+2b−3c=−9，故C选项结论错误，符合题意；
∵c−d=10，
∴c=d+10，
∵2a+2b−3c=−9，
∴2a+2b−3×(d+10)=−9，
∴2a+2b−3d=21，故D选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
把a−2b=3和2b−c=−5相加得到a−c=−2，判断A选项；把a−c=−2和c−d=10相加得到a−d=8，判断B选项；把a−2b=3变形为a+b=3b+3，根据2b−c=−5，得到b=c−52，代入计算判断C选项；根据C选项的结论计算，判断D选项．
本题考查的是多元一次方程组的解法，灵活运用加减消元法、代入消元法是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A.这组数据的众数是13，而全班同学的平均成绩达到12分，故本选项不合题意；
B.这组数据的中位数是12.5，说明12.5分以上的人数占一半，故本选项不合题意；
C.这组数据的平均数是12，可以估计全班同学的平均成绩是12分，说法正确，故本选项符合题意；
D.选项C正确，故本选项不合题意；
故选：C．
根据众数、平均数、方差以及中位数的定义，求得它们的值，进而得出结论．
本题主要考查了众数、平均数、方差以及中位数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．
5.【答案】D
【解析】【分析】
方程两边加上一次项一半的平方，计算即可得到结果．
本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
【解答】
解：用配方法解一元二次方程x2+3x=1时，应当在方程的两边同时加上(32)2，即94．
故选：D．
6.【答案】D
【解析】解：∵a//b//c，
∴ABBC=DEEF，
∵AB=2，BC=4，DE=1.6，
∴24=1.6EF，
解得：EF=3.2．
故选：D．
根据平行线分线段成比例定理可得ABBC=DEEF，将数据代入计算即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，根据定理得到比例式是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：由于方差和标准差反映数据的波动性，要判断数学成绩是否稳定，需要知道他这4次数学考试成绩的方差或标准差．
故选：D．
根据方差的意义：方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．标准差是方差的平方根，也能反映数据的波动性；故要判断他的数学成绩是否稳定，那么老师需要知道他这4次数学考试成绩的方差．
本题考查了方差和标准差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
8.【答案】B
【解析】解：连接OA、OB、OC，
由给出的图可知，图②中的三角形与△ABC对应点连线交于点O，对应边平行，
则以O为位似中心且与△ABC位似的三角形是图②的三角形，
故选：B．
连接OA、OB、OC，根据位似图形的概念判断即可．
本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
9.【答案】B
【解析】解：15个不同的成绩按从小到大排序后，中位数之后的共有7个数，
故只要知道自己的班级成绩和中位数就可以知道自己的班级能否进入决赛．
故选：B．
由于比赛取前7名进入决赛，共有15个参赛班级，根据中位数的意义分析即可．
本题考查了中位数意义．解题的关键是正确理解中位数的意义．
10.【答案】B
【解析】解：设平均每月增率是x，
二月份的产量为：500×(1+x)；
三月份的产量为：500(1+x)2=720；
故选：B．
主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果设平均每月增率是x，那么根据三月份的产量可以列出方程．
找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键；本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b(当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“−”)．
11.【答案】D
【解析】解：∵x2−5x=31，
∴x2−5x+(52)2=31+(52)2，
即(x−52)2=1494，
故选：D．
方程两边都加上一次项系数的一半的平方即可得．
本题主要考查配方法解方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：(x2+y2)(x2+y2+2)−3=0，
(x2+y2)2+2(x2+y2)−3=0，
(x2+y2+3)(x2+y2−1)=0，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2+3>0，
∴x2+y2−1=0，
x2+y2=1，
故选：B．
变形后分解因式，即可得出两个方程，求出即可．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
13.【答案】C
【解析】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为x(x−1)2场，
根据题意列出方程得：x(x−1)2=45，
整理，得：x2−x−90=0，
解得：x1=10，x2=−9(不合题意舍去)，
所以，这次有10队参加比赛．
故选：C．
设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，则此次比赛的总场数为：x(x−1)2场．根据题意可知：此次比赛的总场数=45场，依此等量关系列出方程求解即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以2．
14.【答案】B
【解析】解：∵抛物线的顶点坐标A(1,3)，
∴抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴2a+b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴b=−2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A(1,3)，
∴x=1时，二次函数有最大值3，并且根据函数图象可知，二次函数与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为(4,0)
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(−2,0)，
∴当y=0时，2−x=4或−2，所以④错误；
综上所述，正确的只有①③，
故选：B．
根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a<0，由对称轴位置可得b>0，由抛物线与y轴的交点位置可得c>0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断．
本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
15.【答案】15
【解析】解：∵a、b、c、d四条线段是成比例的线段，
∴ab=cd，
∵a=2cm，b=6cm，c=5cm，
∴26=5d，
解得：d=15，
经检验：d=15是方程的解．
故答案为：15．
由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义，即可得ab=cd，又由a=2cm，b=6cm，c=5cm，即可求得d的值．
此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．
16.【答案】k<1且k≠0
【解析】解：由题可知k≠0Δ=36−36k>0，
解得：k<1且k≠0，
故答案为：k<1且k≠0．
因为关于x的一元二次方程kx2−6x+9=0有两个不相等的实数根，所以k≠0且Δ=b2−4ac>0，建立关于k的不等式组，解得k的取值范围即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
17.【答案】12
【解析】解：由图形可知，
调查数据的总户数：2+5+5+8=20(户)，
总使用环保方便袋的数量：5×8+2×10+5×12+8×15=240(个)，
估计该小区每户一周内使用环保方便袋个数为：24020=12(个)，
故答案为：12．
根据条形图得到调查数据的总户数、总使用环保方便袋的数量，即可解题．
本题考查条形统计图，加权平均数等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
18.【答案】7
【解析】【分析】
本题考查了中位数，一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大(或按从大到小)的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．根据平均数的计算公式先求出m、n的值，再根据中位数的定义即可得出答案．
【解答】
解：∵两组数据m，6，n与1，m，2n，7的平均数都是6，
∴m+n+6=181+m+2n+7=24，
解得：m=8n=4，
若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为1，4，6，7，8，8，8，
一共7个数，第四个数是7，则这组数据的中位数是7；
故答案为：7．
19.【答案】2
【解析】解：∵AD=1，BD=3，
∴AB=AD+BD=4．
∵∠ADC=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC．
∴ACAB=ADAC，即AC2=AB⋅AD．
∴AC= AB⋅AD=2，
即AC的长为2．
故答案为：2．
由已知条件中∠ADC=∠ACB，∠A为公共角，可证△ACD∽△ABC，得AC2=AD⋅AB，据此可求AC的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
20.【答案】50°
【解析】解：∵点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，
∴DE//AC，EF//AB，
∴四边形ADEF为平行四边形，
∴∠DEF=∠A=50°，
故答案为：50°．
根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形ADEF为平行四边形，根据平行四边形的性质解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，证明四边形ADEF为平行四边形是解题的关键．
21.【答案】解：如图，连接OA，
∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴AE=BE．
∵AB=6cm．
∴AE=3cm．
设半径为R，则OA=R，
∴OE=(R−1)cm．
在直角△AEO中，根据勾股定理：R2=32+(R−1)2，
解得R=5．
即⊙O的半径是5cm．
【解析】本题应用垂径定理，由AB=10得AE=5，在Rt△OEA中，设半径为R，应用勾股定理得：R2=52+(R−1)2，继而求得R的值即可．
本题主要考查了勾股定理和垂径定理，解决本题须熟练掌握垂径定理这一知识点，活学活用，难度不大．
22.【答案】解：(1)移项，得2x2−3x=−1，
二次项系数化为1，得x2−32x=−12，
配方，得x2−32x+(34)2=−12+(34)2，
(x−34)2=116，
解得x1=1，x2=12；
(2)原方程化为：(2x−1)2−(3−x)2=0，
(2x−1+3−x)(2x−1−3+x)=0，
(x+2)(3x−4)=0，
x+2=0或3x−4=0，
解得 x1=−2，x2=43．
【解析】(1)首先把方程移项变形为2x2−3x=−1的形式，二次项系数化为1，再进行配方即可；
(2)根据平方差公式可以解答此方程．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法(公式法)，配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
23.【答案】40 1～1.5
【解析】解：(1)根据题意得：
该班共有的学生是：1845%=40(人)；
这个班的学生人数为40人；
(2)0.5～1小时的人数是：40×30%=12(人)，
如图：
(3)共有40名学生，完成作业时间的中位数是第20个数和第21个数的平均数，即中位数在1−1.5小时内；
(4)∵超过1.5小时有10人，占总数的1040=25%．
∴25%×500=125；
答：估计八年级学生课外完成数学作业时间超过1.5小时的有125名．
(1)利用1～1.5小时的频数和百分比即可求得总数；
(2)根据总数可计算出时间在0.5～1小时的人数，从而补全图形；
(3)根据中位数的定义得到完成作业时间的中位数是第20个数和第21个数的平均数，而0.5−1有12人，1−1.5有18人，即可得到中位数落在1−1.5h内；
(4)用七年级共有的学生数乘以完成作业时间超过1.5小时的人数所占的百分比即可．
本题考查了条形统计图：条形统计图反映了各小组的频数，并且各小组的频数之和等于总数．也考查了扇形统计图、中位数的概念．
24.【答案】(1)证明：∵BC为⊙M切线，
∴∠ABC=90°，
∵DC⊥BC，
∴∠BCD=90°，
∴∠ABC=∠BCD，
∵AB是⊙M的直径，
∴∠AGB=90°，
即：BG⊥AE，
∴∠CBD+∠ABG=∠A+∠ABG=90°，
∴∠CBD=∠A，
∴△ABE∽△BCD;
(2)解：过点G作GH⊥BC于H，
∵MB=BE=1，
∴AB=2，
∴AE= AB2+BE2= 5，
由(1)根据面积法
AB⋅BE=BG⋅AE，
∴BG=2 55，
由勾股定理：
AG=4 55，GE= 55，
∵GH//AB，
∴GHAB=GEAE，
∴GH2= 555 55，
∴GH=25，
又∵GH//AB，
HCBC=GHMB①
同理：BHBC=GHDC②
①+②，得
HC+BHBC=GHMB+GHDC，
∴GHMB+GHDC=1，
∴CD=23．
【解析】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似．解答时，注意根据条件构造相似三角形．
(1)根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似；
(2)利用勾股定理和面积法得到AG、GE，根据三角形相似求得GH，得到MB、GH和CD的数量关系，求得CD．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°．
∵∠AFE+∠AFD=180°，
∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，
AD//BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
在Rt△ADE中，
DE= AD2+AE2= 32+32=3 2，
∵△ADF∽△DEC，
∴ADDE=AFDC，
即33 2=AF4，
∴AF=4×33 2=2 2．
【解析】(1)△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED(平行线的内错角)，而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
(2)在Rt△ADE中，由勾股定理易求得DE的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出AF的长．
本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法及性质．
26.【答案】解：设雕像的下部高为x m，则题意得：
2−xx=x2，
整理得：x2+2x−4=0，
解得x1= 5−1，x2=− 5−1(舍去)，
答：雕像的下部高为 5−1 m．
【解析】设雕像的下部高为x m，则上部长为(2−x)m，然后根据题意列出方程求解即可．
本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大．
1.下列关于x的方程中，是一元二次方程的是( )
A. (a−1)x2+x+1=0B. x2−1=x(x+1)
C. x+1x=2D. 2x2−2x=1
2.已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，则线段d的长为( )
A. 1 cmB. 4 cmC. 2 cmD. 9 cm
3.已知a−2b=3，2b−c=−5，c−d=10，下列结论错误的是( )
A. a−c=−2B. a−d=8
C. 2a+2b−3c=9D. 2a+2b−3d=21
4.为了解体育锻炼情况，班主任从八(5)班45名同学中随机抽取8位同学开展“1分钟跳绳”测试，得分如下(满分15分)：15，10，13，13，8，12，13，12，则以下判断正确的是( )
A. 这组数据的众数是13，说明全班同学的平均成绩达到13分
B. 这组数据的中位数是12，说明12分以上的人数占大多数
C. 这组数据的平均数是12，可以估计全班同学的平均成绩是12分
D. 以上均不正确
5.用配方法解一元二次方程x2+3x=1时，方程两边都加上( )
A. 32B. −94C. 9D. 94
6.如图，已知一组平行线a//b//c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB=2，BC=4，DE=1.6，则EF=( )
A. 1.8
B. 2.4
C. 2.8
D. 3.2
7.王老师对小明在参加中考前的5次数学模拟考试成绩进行统计分析，要判断小明的数学成绩是否稳定，老师需要知道小明这5次数学成绩的( )
A. 频数B. 众数C. 中位数D. 方差
8.如图，以O为位似中心且与△ABC位似的图形编号是( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
9.在庆祝中国共产党成立100周年的“红色记忆”校园歌咏比赛中，15个参赛班级按照成绩(成绩各不相同)取前7名进入决赛，小红知道了自己班级的比赛成绩，如果要判断自己的班级能否进入决赛，还需要知道这15个参赛班级成绩的( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
10.某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程( )
A. 500(1+2x)=720B. 500(1+x)2=720
C. 500(1+x2)=720D. 720(1+x)2=500
11.把x2−5x=31配方，需在方程的两边都加上( )
A. 5B. 25C. 2.5D. 254
12.已知x、y都是实数，且(x2+y2)(x2+y2+2)−3=0，那么x2+y2的值是( )
A. −3B. 1C. −3或1D. −1或3
13.为了庆祝教师节，市教育工会组织篮球比赛，赛制为单循环比赛(即每两个队比赛一场)共进行了45场比赛，则这次参加比赛的球队个数为( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
14.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1,3)与x轴的一个交点B(4,0).有下列结论：①2a+b=0；②abc=0；③方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根；④当y=0时，2−x=4.其中正确的是( )
A. ①②
B. ①③
C. ②③④
D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
15.如果a，b，c，d是成比例线段，其中a=2cm，b=6cm，c=5cm，则线段d=______cm．
16.若关于x的一元二次方程kx2−6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
17.某校中学生开展社会实践活动，同学们在某小区随机调查了部分家庭一周内使用环保方便袋的数量，整理后制作了如图所示的统计图，请你根据统计图估计该小区每户一周内使用环保方便袋______个.
18.两组数据m，6，n与1，m，2n，7的平均数都是6，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的中位数为______．
19.如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=1，BD=3，则边AC的长为______．
20.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，如果∠A=50°，那么∠DEF等于______．
三、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1cm，AB=6cm，求⊙O的半径．
22.(本小题6分)
解方程：
(1)2x2+1=3x；(配方法)
(2)(2x−1)2=(3−x)2.(因式分解法)
23.(本小题10分)
八年级(1)班的学习委员亮亮对本班每位同学每天课外完成数学作业的时间进行了一次统计，并根据收集的数据绘制了如图的统计图(不完整)，请你根据图中提供的信息，解答下面的问题：(注：每组数据包括最大值，不包括最小值.)
(1)这个班的学生人数为______人；
(2)将图①中的统计图补充完整；
(3)完成课外数学作业的时间的中位数在______时间段内；
(4)如果八年级共有学生500名，请估计八年级学生课外完成数学作业时间超过1.5小时的有多少名？
24.(本小题12分)
如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上(除B点外)的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．
(1)求证：△ABE∽△BCD；
(2)若MB=BE=1，求CD的长度．
25.(本小题12分)
如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB=4，AD=3，AE=3，求AF的长．
26.(本小题12分)
在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、当a=1时，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、化简后未知数的次数不为2，故本选项错误；
C、不是整式方程，故本选项错误；
D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
故选：D．
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果没有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.这是一个需要识记的内容．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意得a：b=c：d，即3：2=6：d，
所以d=2×63=4(cm)．
故选：B．
利用比例线段的定理得到3：2=6：d，然后利用比例的性质求d即可．
本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d(即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3.【答案】C
【解析】解：∵a−2b=3，2b−c=−5，
∴a−c=−2，故A选项结论正确，不符合题意；
∵a−c=−2，c−d=10，
∴a−d=8，故B选项结论正确，不符合题意；
∵a−2b=3，
∴a+b=3b+3，
∵2b−c=−5，
∴b=c−52，
∴a+b=3×c−52+3，
∴2a+2b=3c−15+6，
∴2a+2b−3c=−9，故C选项结论错误，符合题意；
∵c−d=10，
∴c=d+10，
∵2a+2b−3c=−9，
∴2a+2b−3×(d+10)=−9，
∴2a+2b−3d=21，故D选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
把a−2b=3和2b−c=−5相加得到a−c=−2，判断A选项；把a−c=−2和c−d=10相加得到a−d=8，判断B选项；把a−2b=3变形为a+b=3b+3，根据2b−c=−5，得到b=c−52，代入计算判断C选项；根据C选项的结论计算，判断D选项．
本题考查的是多元一次方程组的解法，灵活运用加减消元法、代入消元法是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A.这组数据的众数是13，而全班同学的平均成绩达到12分，故本选项不合题意；
B.这组数据的中位数是12.5，说明12.5分以上的人数占一半，故本选项不合题意；
C.这组数据的平均数是12，可以估计全班同学的平均成绩是12分，说法正确，故本选项符合题意；
D.选项C正确，故本选项不合题意；
故选：C．
根据众数、平均数、方差以及中位数的定义，求得它们的值，进而得出结论．
本题主要考查了众数、平均数、方差以及中位数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．
5.【答案】D
【解析】【分析】
方程两边加上一次项一半的平方，计算即可得到结果．
本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
【解答】
解：用配方法解一元二次方程x2+3x=1时，应当在方程的两边同时加上(32)2，即94．
故选：D．
6.【答案】D
【解析】解：∵a//b//c，
∴ABBC=DEEF，
∵AB=2，BC=4，DE=1.6，
∴24=1.6EF，
解得：EF=3.2．
故选：D．
根据平行线分线段成比例定理可得ABBC=DEEF，将数据代入计算即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，根据定理得到比例式是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：由于方差和标准差反映数据的波动性，要判断数学成绩是否稳定，需要知道他这4次数学考试成绩的方差或标准差．
故选：D．
根据方差的意义：方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．标准差是方差的平方根，也能反映数据的波动性；故要判断他的数学成绩是否稳定，那么老师需要知道他这4次数学考试成绩的方差．
本题考查了方差和标准差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
8.【答案】B
【解析】解：连接OA、OB、OC，
由给出的图可知，图②中的三角形与△ABC对应点连线交于点O，对应边平行，
则以O为位似中心且与△ABC位似的三角形是图②的三角形，
故选：B．
连接OA、OB、OC，根据位似图形的概念判断即可．
本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
9.【答案】B
【解析】解：15个不同的成绩按从小到大排序后，中位数之后的共有7个数，
故只要知道自己的班级成绩和中位数就可以知道自己的班级能否进入决赛．
故选：B．
由于比赛取前7名进入决赛，共有15个参赛班级，根据中位数的意义分析即可．
本题考查了中位数意义．解题的关键是正确理解中位数的意义．
10.【答案】B
【解析】解：设平均每月增率是x，
二月份的产量为：500×(1+x)；
三月份的产量为：500(1+x)2=720；
故选：B．
主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果设平均每月增率是x，那么根据三月份的产量可以列出方程．
找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键；本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b(当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“−”)．
11.【答案】D
【解析】解：∵x2−5x=31，
∴x2−5x+(52)2=31+(52)2，
即(x−52)2=1494，
故选：D．
方程两边都加上一次项系数的一半的平方即可得．
本题主要考查配方法解方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：(x2+y2)(x2+y2+2)−3=0，
(x2+y2)2+2(x2+y2)−3=0，
(x2+y2+3)(x2+y2−1)=0，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2+3>0，
∴x2+y2−1=0，
x2+y2=1，
故选：B．
变形后分解因式，即可得出两个方程，求出即可．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
13.【答案】C
【解析】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为x(x−1)2场，
根据题意列出方程得：x(x−1)2=45，
整理，得：x2−x−90=0，
解得：x1=10，x2=−9(不合题意舍去)，
所以，这次有10队参加比赛．
故选：C．
设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，则此次比赛的总场数为：x(x−1)2场．根据题意可知：此次比赛的总场数=45场，依此等量关系列出方程求解即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以2．
14.【答案】B
【解析】解：∵抛物线的顶点坐标A(1,3)，
∴抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴2a+b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴b=−2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A(1,3)，
∴x=1时，二次函数有最大值3，并且根据函数图象可知，二次函数与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为(4,0)
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(−2,0)，
∴当y=0时，2−x=4或−2，所以④错误；
综上所述，正确的只有①③，
故选：B．
根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a<0，由对称轴位置可得b>0，由抛物线与y轴的交点位置可得c>0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断．
本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
15.【答案】15
【解析】解：∵a、b、c、d四条线段是成比例的线段，
∴ab=cd，
∵a=2cm，b=6cm，c=5cm，
∴26=5d，
解得：d=15，
经检验：d=15是方程的解．
故答案为：15．
由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义，即可得ab=cd，又由a=2cm，b=6cm，c=5cm，即可求得d的值．
此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．
16.【答案】k<1且k≠0
【解析】解：由题可知k≠0Δ=36−36k>0，
解得：k<1且k≠0，
故答案为：k<1且k≠0．
因为关于x的一元二次方程kx2−6x+9=0有两个不相等的实数根，所以k≠0且Δ=b2−4ac>0，建立关于k的不等式组，解得k的取值范围即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
17.【答案】12
【解析】解：由图形可知，
调查数据的总户数：2+5+5+8=20(户)，
总使用环保方便袋的数量：5×8+2×10+5×12+8×15=240(个)，
估计该小区每户一周内使用环保方便袋个数为：24020=12(个)，
故答案为：12．
根据条形图得到调查数据的总户数、总使用环保方便袋的数量，即可解题．
本题考查条形统计图，加权平均数等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
18.【答案】7
【解析】【分析】
本题考查了中位数，一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大(或按从大到小)的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．根据平均数的计算公式先求出m、n的值，再根据中位数的定义即可得出答案．
【解答】
解：∵两组数据m，6，n与1，m，2n，7的平均数都是6，
∴m+n+6=181+m+2n+7=24，
解得：m=8n=4，
若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为1，4，6，7，8，8，8，
一共7个数，第四个数是7，则这组数据的中位数是7；
故答案为：7．
19.【答案】2
【解析】解：∵AD=1，BD=3，
∴AB=AD+BD=4．
∵∠ADC=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC．
∴ACAB=ADAC，即AC2=AB⋅AD．
∴AC= AB⋅AD=2，
即AC的长为2．
故答案为：2．
由已知条件中∠ADC=∠ACB，∠A为公共角，可证△ACD∽△ABC，得AC2=AD⋅AB，据此可求AC的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
20.【答案】50°
【解析】解：∵点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，
∴DE//AC，EF//AB，
∴四边形ADEF为平行四边形，
∴∠DEF=∠A=50°，
故答案为：50°．
根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形ADEF为平行四边形，根据平行四边形的性质解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，证明四边形ADEF为平行四边形是解题的关键．
21.【答案】解：如图，连接OA，
∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴AE=BE．
∵AB=6cm．
∴AE=3cm．
设半径为R，则OA=R，
∴OE=(R−1)cm．
在直角△AEO中，根据勾股定理：R2=32+(R−1)2，
解得R=5．
即⊙O的半径是5cm．
【解析】本题应用垂径定理，由AB=10得AE=5，在Rt△OEA中，设半径为R，应用勾股定理得：R2=52+(R−1)2，继而求得R的值即可．
本题主要考查了勾股定理和垂径定理，解决本题须熟练掌握垂径定理这一知识点，活学活用，难度不大．
22.【答案】解：(1)移项，得2x2−3x=−1，
二次项系数化为1，得x2−32x=−12，
配方，得x2−32x+(34)2=−12+(34)2，
(x−34)2=116，
解得x1=1，x2=12；
(2)原方程化为：(2x−1)2−(3−x)2=0，
(2x−1+3−x)(2x−1−3+x)=0，
(x+2)(3x−4)=0，
x+2=0或3x−4=0，
解得 x1=−2，x2=43．
【解析】(1)首先把方程移项变形为2x2−3x=−1的形式，二次项系数化为1，再进行配方即可；
(2)根据平方差公式可以解答此方程．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法(公式法)，配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
23.【答案】40 1～1.5
【解析】解：(1)根据题意得：
该班共有的学生是：1845%=40(人)；
这个班的学生人数为40人；
(2)0.5～1小时的人数是：40×30%=12(人)，
如图：
(3)共有40名学生，完成作业时间的中位数是第20个数和第21个数的平均数，即中位数在1−1.5小时内；
(4)∵超过1.5小时有10人，占总数的1040=25%．
∴25%×500=125；
答：估计八年级学生课外完成数学作业时间超过1.5小时的有125名．
(1)利用1～1.5小时的频数和百分比即可求得总数；
(2)根据总数可计算出时间在0.5～1小时的人数，从而补全图形；
(3)根据中位数的定义得到完成作业时间的中位数是第20个数和第21个数的平均数，而0.5−1有12人，1−1.5有18人，即可得到中位数落在1−1.5h内；
(4)用七年级共有的学生数乘以完成作业时间超过1.5小时的人数所占的百分比即可．
本题考查了条形统计图：条形统计图反映了各小组的频数，并且各小组的频数之和等于总数．也考查了扇形统计图、中位数的概念．
24.【答案】(1)证明：∵BC为⊙M切线，
∴∠ABC=90°，
∵DC⊥BC，
∴∠BCD=90°，
∴∠ABC=∠BCD，
∵AB是⊙M的直径，
∴∠AGB=90°，
即：BG⊥AE，
∴∠CBD+∠ABG=∠A+∠ABG=90°，
∴∠CBD=∠A，
∴△ABE∽△BCD;
(2)解：过点G作GH⊥BC于H，
∵MB=BE=1，
∴AB=2，
∴AE= AB2+BE2= 5，
由(1)根据面积法
AB⋅BE=BG⋅AE，
∴BG=2 55，
由勾股定理：
AG=4 55，GE= 55，
∵GH//AB，
∴GHAB=GEAE，
∴GH2= 555 55，
∴GH=25，
又∵GH//AB，
HCBC=GHMB①
同理：BHBC=GHDC②
①+②，得
HC+BHBC=GHMB+GHDC，
∴GHMB+GHDC=1，
∴CD=23．
【解析】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似．解答时，注意根据条件构造相似三角形．
(1)根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似；
(2)利用勾股定理和面积法得到AG、GE，根据三角形相似求得GH，得到MB、GH和CD的数量关系，求得CD．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°．
∵∠AFE+∠AFD=180°，
∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，
AD//BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
在Rt△ADE中，
DE= AD2+AE2= 32+32=3 2，
∵△ADF∽△DEC，
∴ADDE=AFDC，
即33 2=AF4，
∴AF=4×33 2=2 2．
【解析】(1)△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED(平行线的内错角)，而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
(2)在Rt△ADE中，由勾股定理易求得DE的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出AF的长．
本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法及性质．
26.【答案】解：设雕像的下部高为x m，则题意得：
2−xx=x2，
整理得：x2+2x−4=0，
解得x1= 5−1，x2=− 5−1(舍去)，
答：雕像的下部高为 5−1 m．
【解析】设雕像的下部高为x m，则上部长为(2−x)m，然后根据题意列出方程求解即可．
本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大．
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