四川省大数据学考联盟2024届高三第一次质量检测数学（理科）试题及详细答案

这是一份四川省大数据学考联盟2024届高三第一次质量检测数学（理科）试题及详细答案，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知集合，则集合的子集有（ ）个
A．3B．4C．7D．8
3．有一组样本数据，其样本平均数为，现加入一个数据，组成新的一组样本数据，与原数据相比，关于新的样本数据下列说法一定错误的是（ ）
A．平均数不变B．中位数不变C．众数不变D．极差不变
4．若为第二象限角且，则（ ）
A．B．C．D．
5．若，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．若二项式的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中项的系数为（ ）
A．40B．60C．80D．160
7．将函数图象上各点横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位得到曲线．若曲线的图象关于原点对称，则函数的一条对称轴可以为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，，在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
9．已知为坐标原点，点为抛物线的焦点，点，直线交抛物线于，两点（不与点重合），则以下说法正确的是（ ）
A．B．存在实数，使得
C．若，则D．若直线与的倾斜角互补，则
10．为了深化教育改革，坚持“五育并举”融合育人．某学校准备组建书法、音乐、美术、体育4个不同的社团．现将甲、乙、丙、丁、戊5名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只能分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，且甲乙两名同学不能在同一个社团培训，则不同的分配方案共有（ ）
A．192种B．216种C．240种D．432种
11．已知函数的图象关于直线对称，对任意的，都有成立，且当时，，若在区间内方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在棱长为1的正方体中，点是该正方体对角线上的动点，给出下列三个结论：
①；
②点到直线的距离的最小值是；
③当时，三棱锥外接球的表面积为．
其中所有结论正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
13．平面向量，满足，，且，则的值为 ．
14．函数的图象在点处的切线方程为 ．
15．在中，，，延长到点，使得，，则的长为 ．
16．已知双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离为，过双曲线上一点作双曲线的一条切线交其渐近线于两点，若两点的横坐标之积为4，则双曲线的标准方程为 ．
三、解答题
17．已知为等差数列，公差，且、、成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，证明：．
18．如图，多面体中，四边形为菱形，，，，．

(1)求证：平面平面；
(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值．
19．甲、乙两医院到某医科大学实施“小小医生计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟诊断这3项程序后直接签约一批毕业生．已知3项程序分别由3个部门独立依次考核，且互不影响，当3项程序全部通过即可签约．假设该校口腔医学系170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核后放弃签约的现象）．
该校口腔医学系的小华准备参加两医院的“小小医生计划”，小华通过甲医院的每项程序的概率均为，通过乙医院的每项程序的概率依次为，，，其中．
(1)判断是否有的把握认为这170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”能否签约与性别有关；
(2)若小华通过甲、乙两医院程序的项数分别记为X，Y．当时，求小华参加乙医院考核并能成功签约的概率．
参考公式与临界值表：，．
20．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为．点在直线上运动，且直线的斜率与直线的斜率之商为2．
(1)求的方程；
(2)若点A、B在椭圆上，为坐标原点，且，求面积的最小值．
21．已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)当，时，求证：．
22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的直角坐标方程；
(2)若直线的极坐标方程为（为参数），它与曲线分别相交于，两点，若，求．
23．已知函数．
(1)当，时，解不等式；
(2)若，，，且函数的最小值为4，证明：．
性别
参加考核但未能签约的人数
参加考核并能签约的人数
合计
男生
58
27
85
女生
42
43
85
合计
100
70
170
0.100
0.050
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
参考答案：
1．C
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，
所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限.
故选：C
2．D
【分析】先求解集合中元素的个数，再求解子集个数即可.
【详解】，
故集合的子集有个.
故选：D
3．A
【分析】根据平均数、中位数、众数与极差的定义和性质判断即可.
【详解】对A，因为加入一个数据，故平均数一定变大，故A错误；
对B，如样本数据1，2，2，3，中位数为2，平均数为2，加入一个新数据3后，中位数仍为2，故中位数可能不变，故B正确；
对C，众数为数据中出现最多次的数据，故加入一个数据后，众数可能不变，故C正确；
对D，加入后整组数据最大最小值的差不一定改变，即极差可能不变，故D正确.
故选：A
4．A
【分析】由同角三角函数的基本关系求出、，再由二倍角公式计算可得.
【详解】因为为第二象限角且，
所以，所以，
所以.
故选：A
5．C
【分析】画出可行域，再数形结合即可得解.
【详解】因为，满足约束条件，
则可行域如下图所示：
由，解得，则，
令，则，
平移直线，可知当直线在轴上的截距最小时，取得最小值，
由图可知当过点直线在轴上的截距最小，
则，即的最小值为.
故选：C
6．A
【分析】根据题意，令可得，再由二项式展开式的通项，即可得到结果.
【详解】令，可得，则，
所以的展开式的通项为，
令，可得.
所以展开式中项的系数为40.
故选：A
7．B
【分析】根据三角函数的变换规则得到曲线的解析式，再根据奇偶性求出，最后根据余弦函数的性质计算可得.
【详解】将函数图象上各点横坐标缩短到原来的得到，
再将向右平移个单位得到，
又曲线的图象关于原点对称，所以，解得，
又，所以当时，
所以函数即，
令，，解得，，
即函数的对称轴为，，
所以函数的一条对称轴可以为.
故选：B
8．B
【分析】根据幂函数，指数与对数函数的性质可得的取值范围，进而根据指对数与三角函数的性质判断即可.
【详解】因为图象过，故由图象可得，
又图象过，故由图象可得，
又图象过，故由图象可得.
故，，，故.
故选：B
9．D
【分析】根据抛物线和直线方程可知直线过抛物线焦点，利用焦半径公式可知可判断A错误；联立直线和抛物线方程利用向量数量积公式可知，恒成立，所以B错误；根据可知，两点的纵坐标关系，解得其交点坐标代入直线方程可得，即C错误；由直线与的倾斜角互补，可知，利用韦达定理联立方程即可求出，即D正确.
【详解】由题意可知，抛物线焦点为，准线方程为，
又直线恒过，如下图所示：
设，作垂直于准线，垂足为，
根据抛物线定义可知，，易知，所以，
但当时，此时与坐标原点重合，直线与抛物线仅有一个交点，因此，
所以，即A错误；
联立直线和抛物线，消元、理得，
由，所以，则，
此时，所以，即，
所以不存在实数，使得，故B错误；
若，由几何关系可得，结合，可得或，即或，
将点坐标代入直线方程可得，所以C错误；
若直线与的倾斜角互补，则，
即，整理得，
代入，解得或，
当时，直线过点，与点重合，不符合题意，所以；即D正确.
故选：D
10．B
【分析】根据题意，先计算出所有的分配方案数，然后去掉甲乙两名同学在同一个社团的方案数，即可得到结果.
【详解】由题意可得，将5名同学分配到这4个社团进行培训每名同学只能分配到1个社团，
每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案共有种，
当甲乙两名同学在同一个社团培训，则不同的分配方案有种，
综上可得，不同的分配方案共有种.
故选：B
11．D
【分析】由题意可知函数的图象关于轴对称且周期为4，由此可画出函数在区间上的图象，若在区间内方程有5个不同的实数根，即函数与的图象有5个交点，数形结合列出不等式组求解即可.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，
所以函数的图象关于轴对称，
因为对任意的，都有成立，
所以，
所以函数的周期为4，
画出函数在区间上的图象，如图所示：

若在区间内方程有5个不同的实数根，
即函数与的图象有5个交点，
显然，则，解得，
即实数的取值范围为.
故选：D．
12．C
【分析】①根据正方体的特征即可通过线面垂直证得线线垂直；②，当时，最小，解三角形即可求得；③当时，作出外接球的直观图，利用勾股定理可以求出外接球的半径，进而求得表面积；
【详解】因为在正方体中，，
所以平面，因为平面，所以，故①正确；
设，连接，

因为平面，所以，即为到直线的距离，
当时，最小，此时，
，故②正确；
三棱锥外接球主视图如图所示，

，，关于直径的对称点为，，
设，则
即，解得，故，
所以，故③错误；
故选：C
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是正方体图形中本身的垂直关系，求非特殊三棱锥的体积主要在于构造半径有关的直角三角形，利用勾股定理来求半径.
13．
【分析】首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为，，
所以，
又，所以，解得.
故答案为：
14．
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】，，，
故函数的图象在点处的切线方程为，即.
故答案为：
15．
【分析】利用正弦定理可求的值，进而可求的值，可求，的值，进而利用正弦定理可得的值．
【详解】在中，，，延长到点，使得，，
在由正弦定理得，
可得，
又，所以或，
若，则，
则，
在中，由正弦定理得，即，
所以．
若，则，
则，不符合题意，故舍去；
综上可得．
故答案为：．
16．
【分析】由右焦点到它的渐近线的距离为，可求出的值，写出过点的切线方程，联立切线方程与渐近线方程，由横坐标之积为4，可求出的值，从而求出结果.
【详解】解：双曲线渐近线的方程为：，
因为右焦点到渐近线的距离为，
所以，即.
设，则过点的切线方程为：，联立得：
，化简可得：，解得：，
，即，
因为在双曲线上，满足，即，
所以，解得，
所以双曲线方程为：.
故答案为：
【点睛】知识点总结：
（1）双曲线上一点的切线方程为：或；
（2）椭圆上一点的切线方程为：或 ；
（3）抛物线上一点的切线方程为：或.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及等比中项的性质求出，即可得解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可得证.
【详解】（1）依题意，，
又、、成等比数列，
所以，即，解得，
所以.
（2）由（1）可得，
所以
.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理可证平面，再由面面垂直的判定定理即可证明；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为，所以点四点共面，
又四边形为菱形，所以，
因为，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）
因为，，所以，又因为，
所以平面，设交于，则以为轴，
为轴，过点且平行于的方向为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系,
因为，四边形为菱形，，
则，
所以有，
则，
不妨设平面的法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
19．(1)有的把握认为这170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”能否签约与性别有关；
(2)
【分析】（1）依据列联表中的数据代入，求出后参考临界值表即可判断结果；
（2）分别列出小华参加甲乙程序的分布列，算出与，通过即可求出的值，从而求出结果.
【详解】（1）因为
，
且，
所以有的把握认为这170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”能否签约与性别有关；
（2）因为小华通过甲医院各程序的结果相互不影响，
所以，则，
的可能取值为0，1，2，3.
，
，
，
，
随机变量Y的分布列：
，
因为，所以，即，
小华参加乙医院考核并能成功签约的概率为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由两直线的斜率之商为2以及离心率公式，代入计算，即可求得从而得道结果；
（2）根据题意，分直线，直线其中一条直线斜率不存在与直线，直线的斜率均存在讨论，然后联立方程，由三角形的面积公式结合基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）
设，
所以，由直线的斜率与直线的斜率之商为2，
可得，所以，
又离心率，所以，则，
所以的标准方程为.
（2）
当直线，直线其中一条直线斜率不存在时，不妨令，
此时面积为；

当直线，直线的斜率均存在时，不妨设直线的方程为，
则直线的方程为，设点，
联立方程可得，
所以，
联立方程可得，
所以，
所以，
因为，又，
所以，又，
所以面积的最小值为，当且仅当，即时等号成立.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题，难度较大，解答本题的关键在于分类讨论以及结合基本不等式计算.
21．(1)0
(2)证明见解析
【分析】（1）求导确定函数的单调性即可求出最值；
（2）令，由的单调性可知，变形可得到，结合（1）知即，即可证明.
【详解】（1），
，
在上单调递减，
的最小值为.
（2）令，则.
在上单调递减，
，
又，，
，
又由（1）知，，
.
【点睛】思路点睛：利用导数证明不等式，经常将所证不等式进行等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性求出最值或极值进行变形得到.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据极坐标方程与直角坐标方程的转化关系，即可求解；
（2）利用极径的几何意义及韦达定理，即可求解．
【详解】（1）曲线的极坐标方程为，
又，，即，
曲线的直角坐标方程为；
（2）联立，可得，
由，则，
设，两点对应的极径分别为，，
则，，
，
，，
，又，
又由（1）的直角坐标方程可知的终边只可能在第一或二象限，
或，
或．
23．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将函数写成分段函数，再分段分别解不等式即可；
（2）由绝对值三角不等式求出的最小值，即可得到，再由柯西不等式证明即可.
【详解】（1）当，时，
所以不等式，即或或，
解得或或，
综上可得不等式的解集为.
（2）因为，
当且仅当时取等号，所以，
因为，，，
所以，
当且仅当、、时等号成立，
所以
Y
0
1
2
3
P