九师联盟11月质量检测高三理科数学试题含答案

一、选择题

1.已知复数满足,则在复平面内对应的点位于（   ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

答案：

D

解析：

因为,所以,即,

所以,故在复平面内对应的点为,位于第四象限.故选D.

2.已知集合，,则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

C

解析：

由,得或,所以；

由,得或,所以,或,

从而.故选C.

3.榫卯是一种中国传统建筑、家具及其他器械的主要结构方式,是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.凸出的部分叫做榫(或叫榫头),凹进部分叫卯(或叫榫眼、榫槽).现要在一个木头部件制作一个榫眼,最终完成一个直角转弯结构的部件,那么制作成的榫眼的俯视图可以是（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

B

解析：

法一：榫眼的形状和榫头一致,故榫眼的俯视图的轮廓线为虚线且从结果图可知榫眼应为通透的,排除AD；又C选项的结构左下方部分缺了一块,这与榫眼的结构不符,符合条件的只有B.故选B.

法二：因榫眼的制作部件为长方体,所以C,D不正确；又榫眼应为通透的,

所以A不正确.故选B.

4.若,,则是的（   ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案：

B

解析：

由,得,所以,

即；由,得,因为,

故是的必要不充分条件.故选B.

5.已知某圆锥的侧面展开图为半圆,该圆锥的体积为,则该圆锥的表面积为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A

解析：

设圆锥底面半径为,母线长为,则,所以,

所以圆锥的高为,所以,解得,

故其表面积.故选A.

6.已知,,则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

C

解析：

因为,,所以,所以.故A错误,C正确；对于B,取,,,,虽满足条件,但,故B错误；

对于D,取,,,,虽满足条件,但,故D错误.

故选C.

7.若函数的图象与直线的两相邻公共点的距离为,要得到的图象,只需将函数的图象向左平移（   ）

A.个单位长度

B.个单位长度

C.个单位长度

D.个单位长度

答案：

D

解析：

由题意,得,解得,

所以,其图象向左平移个单位长度,

可得的图象,即为的图象,

所以,解得,又,

则.故选D.

8.如图,在正三棱柱中,,,则异面直线与所成角的余弦值为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

B

解析：

取的中点,连接交于点,连接,则,

且,则为异面直线与所成的角或其补角.

易求,,则,

所以.故选B.

9.已知,若是与的等比中项,则的最小值为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A

解析：

由题意得,即,所以,又,

所以,,所以,

当且仅当,即，时等号成立.

故的最小值为.故选A.

10.如图,在体积为的斜三棱柱中,为棱上一点,三棱锥的体积为，则三棱锥的体积为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A

解析：

设三棱柱的底面积为,其高为,三棱锥的高为,三棱锥的高为,则,,

所以,即,又,即,

所以,所以.故选A.

11.已知函数是定义域为的偶函数,为奇函数,当时,,若,则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

C

解析：

因为为奇函数,所以,又为偶函数,

所以,所以,即,

所以,故是以为周期的周期函数.

由,易得,,

所以,所以,,解得,,

所以

,故选C.

12.已知函数,是其导函数,,恒成立,则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

设,则,

当时,,当时,,

所以在上单调递减,在上单调递增,

所以,,所以,

即,所以,

故A错误；因为,

所以,又,

所以,故B错误；

因为,所以,,

即,

因为,所以,故C错误,

D正确.故选D.

二、填空题

13.已知,满足约束条件，则的最小值为        .

答案：

解析：

画出可行域(如图阴影部分),由图知当直线过点时,

取得最小值,易求,代入得.故.

14.已知向量,,且,则        .

答案：

解析：

,由,

得,

解得.则,

故.

15.已知函数，将的图象绕原点逆时针旋转角后得到曲线,若曲线仍是某个函数的图象,则的最大值为        .

答案：

解析：

,所以,故函数的图象在处的切线为,

其向上部分与轴正向的夹角为,

函数的图象绕原点旋转不超过时,仍为某函数图象,

若超过,轴与图象有两个公共点,与函数定义不符,故的最大值为.

16.如图,在几何体中,四边形为正方形,平面,,,则该几何体的外接球的表面积为        .

答案：

解析：

取,中点,,正方形中心,中点,

连接,,,,如图,依题意,平面,,点是的中点,,

等腰中,,,同理,

所以等腰梯形的高,

由几何体的结构特征知,几何体的外接球的球心在直线上,

连接,,,正方形的外接圆半径,

则有，而,,

当点在线段的延长线（含点）时,视为非负数,若点在线段（不含点）上,视为负数,即有,

即,解得,

所以该几何体的外接球的球心为,半径为,

所以该几何体的外接球的表面积.

三、解答题

17.在各项均为正数的等比数列中,为其前项和,,,,成等差数列.

（1）求的通项公式；

（2）若,数列的前项和为,证明：.

答案：

见解析

解析：

（1）设数列的公比为,由题意知,

即,

因为,,所以,所以,所以.

（2）由（1）得,所以,

所以,所以

.显然单调递增,所以,

因为,所以,所以.

18.产品宣传在企业的生产销售中占据着比较重要的地位,好的宣传对产品打开市场,提高销售额有着重要的作用.某生产企业通过市场调研发现,年销售量(万件)与宣传费用(万元)的关系为.已知生产该产品万件除宣传费用外还要投入万元,产品的销售单价定为元,假设生产的产品能全部售出.

（1）求产品的年利润的解析式；

（2）当宣传费用为多少万元时,生产该产品获得的年利润最大？

答案：

见解析

解析：

（1）

.

（2）由（1）知,

所以,

当且仅当,即时等号成立.

所以当宣传费用为万元时,生产该产品获得的年利润最大.

19.在中,角,,的对边分别为,,,,且.

（1）求；

（2）若的周长为,求边上中线的长.

答案：

见解析

解析：

（1）因为,又,所以,

由余弦定理,得.

又,所以,由及正弦定理,

得,所以,

由,得,所以,解得.

（2）由（1）可知,,所以,

所以,由,得.

因为的周长为,所以,解得.

设的中点为,则.

由余弦定理,得

,所以边上中线的长为.

20.如图,,分别为正方形的边,的中点,平面,平面,与交于点,,,.

（1）证明：平面；

（2）求点到平面的距离；

（3）求二面角的大小.

答案：

见解析

解析：

（1）连接,因为,分别为,的中点,所以.

因为平面,平面,所以,所以.

因为四边形为正方形,所以,又,所以,

又,平面,,所以平面.

（2）由（1）知,又平面,平面,

所以平面.设与的交点为,

则点到平面的距离等于点到平面的距离,

由（1）知平面,又平面,所以平面平面,

作,为垂足,因为平面平面,

平面,所以平面.

因为,,,为,的中点,

所以,,,

由得,得,

即点到平面的距离为.

（3）由平面可得,同理可证,

所以为二面角的一个平面角,

因为平面,平面,所以,

同理,又,,所以,

所以,即二面角的大小为.

21.如图所示的几何体是由等高的个圆柱和半个圆柱组合而成,点为的中点,为圆柱上底面的圆心,为半个圆柱上底面的直径,,分别为,的中点,点,,,四点共面,,为母线.

（1）证明：平面；

（2）若平面与平面所成的较小的二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.

答案：

见解析

解析：

（1）取的中点,连接,,又为的中点,

所以,又平面,平面,

所以平面,因为,,

,分别为,的中点,所以,且,

所以四边形为平行四边形,所以,

又平面,平面,所以平面,

又,平面,,

所以平面平面,因为平面,

所以平面.

（2）由题意知,,两两垂直,故以点为原点,

直线,,分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设圆柱的底面半径为,高为,则,,

,,,,,

所以,,,,

.设平面的一个法向量,

则即，令,解得,,

所以；设平面的一个法向量，

则即，

令，解得，，所以，

所以,

化简,得,所以,

所以,.设与平面所成的角为,

所以.

22.已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设,若,且,使得,证明：.

答案：

见解析

解析：

（1）的定义域为,,

当时,在上恒成立,所以在上单调递增；

当时,令,得；令,得；

所以在上单调递减,在上单调递增.

（2）,

由题意知,,,不妨设,使得.

所以,

整理为,

令,,则,

所以在上单调递增,

又,所以,所以,所以

,

因为,所以,即,所以.

下面证明,即证明,

设,即证明,只要证明.

设,则,

所以在上单调递增,所以,

所以,所以,所以.