甘肃省白银市名校2023-2024学年高三下学期联合检测数学试题及详细答案

这是一份甘肃省白银市名校2023-2024学年高三下学期联合检测数学试题及详细答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知等比数列的各项均为正数，若，则（ ）
A．4B．C．D．
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
6．某班级举行“变废为宝”手工活动，某学生用扇形纸壳裁成扇环(如图1)后，制成了简易笔筒(如图2)的侧面，在它的轴截面中 ，，，则原扇形纸壳中扇形的圆心角为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知椭圆，为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．在正三棱锥中，的边长为6，侧棱长为8，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．B．
C．图象的一个对称中心为D．在上单调递增
三、单选题
10．国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）
（居民消费水平：）

A．2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高
B．2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高
C．2018年至2022年我国居民消费水平数据的分位数为27504元
D．2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多
四、多选题
11．已知函数的定义域为是奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称
C．D．
五、填空题
12．若，则 ．
13．已知函数的最小值为-1，则 .
14．已知，且，则的最小值为 ，此时 ．
六、解答题
15．已知数列的前项和为，且．
(1)求 的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
16．已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
17．如图，在四棱锥 中，四边形是等腰梯形，，，，．
(1)证明：平面平面；
(2)若，且，求二面角的正弦值．
18．卫生纸主要供人们生活日常卫生之用，是人民群众生活中不可缺少的纸种之一.某品牌卫生纸生产厂家为保证产品的质量，现从甲､乙两条生产线生产的产品中各随机抽取件进行品质鉴定，并将统计结果整理如下：
(1)根据的独立性检验，能否认为产品的品质与生产线有关？
(2)用频率近似概率，从甲､乙两条生产线生产的产品中各随机抽取件进行详细检测，记抽取的产品中优等品的件数为，求随机变量的分布列与数学期望.
附：，其中.
19．已知分别为双曲线的左、右支上的点，的右焦点为为坐标原点．
(1)若三点共线，且的面积为，求直线的方程．
(2)若直线与圆相切，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
合格品
优等品
甲生产线
乙生产线
参考答案：
1．D
【分析】利用并集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，则.
故选：D.
2．B
【分析】根据复数的运算可得，在根据复数的几何意义分析判断.
【详解】由题意可得：，
所以z在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故选：B.
3．B
【分析】利用等比中项的性质即可求解.
【详解】因为等比数列的各项均为正数，所以，所以.
故选：B
4．B
【分析】由奇偶函数的定义可排除A，当时函数值为负数排除选项CD，再利用导数法验证函数的单调性即可得出答案.
【详解】因为的定义域为，且，
所以函数是偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，
当时，，排除选项CD，
又，记，则，
令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以当时，在上单调递增.
故选：B
5．C
【分析】根据题意，设，结合“点差法”，即可直线的斜率，得到答案.
【详解】设，代入抛物线，可得，
两式相减得，
所以直线的斜率为，
又因为的中点为，可得，
所以，即直线的斜率为.
故选：C.
6．B
【分析】易得图1中小扇形和大扇形的弧长设扇形的圆心角为，小扇形的半径为，则大扇形的半径为，再根据弧长公式即可得解.
【详解】由题意图1中小扇形的弧长为，大扇形的弧长为，
设扇形的圆心角为，小扇形的半径为，则大扇形的半径为，
所以，解得，
所以原扇形纸壳中扇形的圆心角为.
故选：B.
7．C
【分析】首先得，进一步得焦距，由双曲线定义结合得，由此即可进一步求解.
【详解】由题意，所以，
因为，所以，
而，所以，
所以的面积为.
故选：C.
8．A
【分析】根据题意，合理建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求异面直线所成角即可得解.
【详解】依题意，记的中点为，连接，记正的中心为，连接，

因为在正三棱锥中，底面，
在正中，，在平面中过点作轴底面，则轴，
以点为原点，建立空间直角坐标系，如图，
因为在正三棱锥中，的边长为6，侧棱长为8，
所以，
则，，
故，
则，，，
所以，
则异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.
【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
①两异面直线所成的角为，；
②直线与平面所成的角为，；
③二面角的大小为，.
9．ACD
【分析】结合辅助角公式化解，由周期公式求出，由正弦函数性质逐一判断选项即可.
【详解】，
因为的最小正周期为，即，所以，，
当时，，所以图象的一个对称中心为，
当时，，
所以在上单调递增.
所以选项ACD正确.
故选：ACD
10．D
【分析】AB选项，2019年比2020年的两项指标高；C选项，将数据从小到大排序，再利用百分位数的概念进行求解；D选项，设2022年我国农村人口数为，城镇人口数为，则可列出方程，得到，故D正确.
【详解】A选项，2019年的居民消费水平为元，2020年的居民消费水平为元，
2019年比2020年的居民消费水平高，A错误；
B选项，2019年的城镇居民消费水平为元，2020年的城镇居民消费水平为元，
2019年比2020年的城镇居民消费水平高，B错误；
C选项，2018年至2022年我国居民消费水平数据从小到大排序为，
由于，
故年至2022年我国居民消费水平数据的分位数为从小到大第3个和第4个数据的平均数，
即元，C错误.
D选项，设2022年我国农村人口数为，城镇人口数为，则，
化简得，
所以2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多，D正确.
故选：D
11．ABD
【分析】由是奇函数，为偶函数，易判断函数对称中心为，对称轴为，结合对称性和周期性可推出，，由对称性可得，进而得解.
【详解】设，因为是奇函数，
所以，即，
即关于对称，B正确；
设，因为为偶函数，所以，
即，，所以的关于直线对称，
A正确；
由关于对称可得，由的关于直线对称，
可得，两式联立得，令得：
，即，令，
得，即，故的周期为8，
故，C错误；
因为，所以，
又，令得，
，所以，故D正确.
故选：ABD
【点睛】本题考查了函数对称性与奇偶性的延伸性质，如果现推，相对比较费时间，我们可以做如下总结：
①为奇函数，则对称中心为；
②为偶函数，则对称轴为；
③若的对称中心为；
④若的对称轴为；
⑤若相邻两个对称轴为和，则函数周期为；
⑥相邻两个对称中心为，则函数周期为；
⑦若相邻的一个对称轴和一个对称中心为和，则函数周期为.
12．/
【分析】利用二倍角的正切公式及两角差的正切公式求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：.
13．2
【分析】由题意得出函数在上取得最小值-1，由此即可列出式子求解.
【详解】当时，.
因为的最小值为-1，所以函数在上取得最小值-1，
则，解得.
故答案为：2.
14． 12 或2
【分析】由，可将代换为，再结合基本不等式可求的最小值，求出等式成立的条件，联立，可求出值.
【详解】因为，所以，
所以，当且仅当时取到等号，
故的最小值为12，
此时满足，解方程得或，故或1.
故答案为：12；或2
15．(1)
(2)
【分析】（1）由之间的关系即，时，即可求解.
（2）由裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由题意，
当时，，
且满足上式，
所以.
（2）由题意，
所以.
16．(1)
(2)
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）恒成立，即，利用导数求出函数的最小值即可.
【详解】（1）若，则，，故，
所以曲线在处的切线方程为，即；
（2）恒成立，即，
又，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，所以.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点作，求出，利用勾股定理即可证明；
（2）根据（1）中的结论建立空间直角坐标系即可求解.
【详解】（1）过点作，

由等腰梯形易知，因为，
所以，因为，所以，
所以，所以，
因为，，，
平面，所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
（2）因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，所以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

所以，，，
所以，，
，设平面的法向量，
所以，令，
所以，同理可得平面的法向量，
所以二面角的余弦值绝对值为，
所以二面角的正弦值.
18．(1)不能认为
(2)分布列见解析，
【分析】（1）补充列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）分析可知，随机变量的所有可能值为、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】（1）解：补充列联表如下：
零假设产品的品质与生产线无关.
根据列联表中的数据，经计算得到
根据的独立性检验，推断成立，即不能认为产品的品质与生产线有关.
（2）解：由样本数据可知甲、乙两条生产线生产的产品中优等品的频率分别为、.
所以估计从甲､乙两生产线生产的产品中各随机抽取件产品，其为优等品的概率分别为、.
的所有可能值为、、、、，
，
，
，
，
.
所以的分布列为
所以.
19．(1)
(2)为定值，
【分析】（1）设直线方程为联立直线和双曲线方程，结合弦长公式和点到直线距离公式求出点到直线的距离，结合解出参数，进而得解；
（2）设直线方程为，由圆心到直线距离得关于的关系式，联立直线与双曲线方程求出关于的一元二次方程，结合韦达定理求出弦长，将参数全部带换成，化简即可求解.
【详解】（1），，
由题可知，直线斜率一定存在，因为直线过双曲线右焦点，故可设直线方程为：，设，联立直线和曲线方程，
可得，，
，又点到直线的距离，
弦长，所以，
，即，
化简得，整理得，解得或，
又三点共线，所以，即，，故，，
故直线方程为：，即；
（2）若直线与圆相切，可知直线斜率一定存在，
设直线方程为，则圆心到直线距离，即，
直线与双曲线联立有：，即，
，化简得，
将代入得，
设，则，
则，
由得，
则,
化简得：，
所以，
所以.
【点睛】本题考查直线与曲线联立求解直线方程和求解定值问题，计算量超大，对计算能力要求非常高，平常训练过程中，应强化对弦长公式，韦达定理代换的复杂计算能力，处理此类题型才会游刃有余！
合格品
优等品
总计
甲生产线
乙生产线
总计