河北省名校联合体2023-2024学年高三下学期2月开学测试数学试题

这是一份河北省名校联合体2023-2024学年高三下学期2月开学测试数学试题，共8页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知一组数据3,7,4,11,15,6,8,13，去掉一个极大值和一个极小值后所得数据的上四分位数为（ ）
A．4B．6C．11D．13
2．已知a=10,b=12，且a⋅b=−60，则a,b的夹角是（ ）
A．60∘B．120∘C．150∘D．135∘
3．已知α∈[0,π]，则“α=π9”是sin2α=csα+π6的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班，每名员工最多值班一天。已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（ ）
A．184种B．196种C．252种D．268种
5．已知sinx+csx=13，则sin​3x+cs​3x的值为（ ）
A．727B．927C．1127D．1327
6．已知集合A={z∣z=in+i−n,n∈N*}，则A中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．在四面体ABCD中，AB=3，AD=BC=1,CD=6，∠BAD=∠ABC=90∘，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．72πB．7πC．8πD．10π
8．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a,b>0，设F1是C的左焦点，P0,−3a2+b2，连接PF1交双曲线C于Q.若QO⊥PF1，则C的离心率的值为（ ）
A．15+13B．13+16C．13−13D．13+13
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9．下列式子中最小值为4的是（ ）
A．sin​2x+4sin​2xB．2x+22−xC．lg22x⋅lg2x8+8D．1sin​2x+1cs​2x
10．在△ABC中，角A,B,C对应的边为a,b,c，若acsB+bsinA=c,a=210，a2+b2−c2=absinC，则（ ）
A．tanC=2B．A=π3C．b=62D．S△ABC=122
11．欧拉函数φnn∈N*是数论中的一个基本概念，φn的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（只有公因数1的两个正整数互质，且1与所有正整数（包括1本身）互质），例如φ8=4，因为1,3,5,7均与8互质，则（ ）
A．φ4⋅φ6=φ10B．数列φ2n单调递增
C．φ100=40D．数列{φ2nφ3n}前n项和小32
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知二项式x+0.01n的二项式系数的和为1024，则n= .试估算x=1时，x+0.01n的值为 .（精确到0.001）
13．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，已知A、B为椭圆x23+y2b2=1014．在数列{an}中，满足an+an+1=2023n2+2024n，则a2023a2022的值为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
已知圆C经过两点A−2,−2,B6,2，且圆心在直线x−2y+3=0上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点P−2,−4做直线l与圆C交于M、N两点，若MN=8，求直线l的方程.
16．（本小题满分15分）
在如图所示的三棱锥D−ABC中，AB⊥BD,BC⊥CD,M、N分别是线段AD、BD的中点，且MC=1,AB=BD=2.
（1）证明：直线MN⊥平面DBC;
（2）若二面角D−BA−C的大小为60∘，求直线BM和平面MNC所成角的余弦值.
17．（本小题满分15分）
如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，随机移动n次，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，n次移动结束后，质点到达的位置的数字记为X.
（1）若n=2，求PX=0;
（2）若n=6，求X的分布列和EX的值.
18．（本小题满分17分）
已知函数fx=x+aex−a,gx=4ex−ax,hx=32e2ax−ax
（1）若fx、gx在2,f2处切线的斜率相等，求a的值；
（2）若方f′x−g′xg′2x−h′x=a有两个实数根x1,x2，试证明：ex1+ex22>e3;
（3）若方程fx=b有两个实数根x1,x2，试证明：x1−x2≤1+b+e+13e−1+ebe−1.
19．（本小题满分17分）
菲波纳契数列{Fn}又称“兔子数列”“黄金分割数列”，是由13世纪的意大利数学家菲波纳契提出的，其定义是从数列的第三项开始，每一项都等于前两项的和，即满足Fn+2=Fn+1+Fn.规定F1=1，F2=1.
（1）试证明：F12+F22+F32+⋯+Fn2=Fn⋅Fn+1；
（2）求数列{Fn}的通项公式；
（3）试证明：n→+∞时，FnFn+1≈5−12.
【参考答案】
河北省名校联合体开学测试（二月）
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9．BCD 10．AC 11．ACD
【解析】若正确答案有2个正确选项，选对1个得3分，选对2个得6分，有错误选项得0分；
若正确答案有3个正确选项，每选对一个得2分，有错误选项得0分.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．10（2分）； 1.105（3分）
13．63,1
14．20232021
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（1） x−1​2+y−2​2=25;
解：设圆C的方程为x−a​2+y−b​2=r​2
则{−2−a2+−2−b2=r26−a2+2−b2=r2a−2b+3=0…………3分
所以圆C的标准方程为：x−1​2+y−2​2=25…………4分
（2） x=−2或3x−4y−10=0（写成其他形式也给分）.
解：设圆心C1,2到直线l的距离为d
则MN=2r​2−d​2=8
解得d=3…………6分
当直线l的斜率不存在时，直线l:x=−2满足题意…………8分
当直线l的斜率存在时，设l:y+4=kx+2
则d=k−2+2k−4k2+1=3解得k=34…………11分
此时l的方程为y+4=34x+2，即3x−4y−10=0…………12分
综上：l的方程为x=−2或3x−4y+10=0…………13分
16．（1） 证明见解析；
证明：
∵BC⊥CD,N为BD的中点，BD=2
∴NC=12BD=22，又M为AD的中点
∴MN=12AB=22，且MN//AB
∵MC=1
∴MN2+NC2=MC2，即MN⊥NC…………3分
∵AB⊥BD
∴MN⊥BD
∵BD∩NC=N,BD,NC∈平面BCD
∴MN⊥平面BCD…………6分
（2） 104
解：
∵MN⊥平面BCD,AB//MN
∴AB⊥平面BCD
∵BC∈面BCD
∴AB⊥BC,AB⊥CD
∵AB⊥BD
∴二面角D−BA−C的平面角为∠CBD=60∘
∴BC=BDcs60∘=62…………8分
∵AB⊥平面BCD,CD∈平面BCD
∴AB⊥CD
∵BC⊥CD,BC∩AB=B,BC,AB∈平面ABC
∴CD⊥平面ABC…………9分建系如图：
则B0,0,0、C22,0,0、A0,2,0、D22,0,62、M24,22,64、N24,0,64
NM=0,22,0,CN=−24,0,64…………10分
设平面MNC的法向量n=x,y,z
则n→⋅NM→=0n→⋅CN→=0，解得n=3,0,1…………12分
BM=24,22,64
cs=BM⋅nBMn=64…………14分
则1−642=104
∴所求余弦值为104…………15分
17．（1） PX=0=12；
解：PX=0=c212×2=12…………4分
（2）
EX=0
解：设Y表示6次移动中向左移动的次数，则Y∼B6,12EY=6×12=3…………5分
质点最后到达的数字X=6−2Y
则：
PX=6=PY=0=C60126=164，…………6分
PX=4=PY=1=C61126=332，…………7分
PX=2=PY=2=C6​212​6=1564，…………8分
PX=0=PY=3=C63126=516，…………9分
PX=−6=PX=6=164，
PX=−4=PX=4=332，
PX=−2=PX=2=1564，∴X的分布列为：
…………12分
EX=E6−2Y=6−2EY=0…………15分
18．（1） a=1；
解：
f′x=x+a+1ex−a，g′x=4ex−a
f​′2=3+ae​2−a,g′2=4e2−a又f′2=g′2
所以a=1…………4分
（2） 证明见解析；
证明：
由（1）知a=1，则hx=32e2x−x,h′x=3e2x−1
f′x−g′xg′2x−h′x=x+2ex−1−4ex+14e2x−1−3e2x+1=x−2ex
令φx=x−2ex，
φ′x=3−xex令φ′x=0,x=3
x<3时，φ′x>0,φx单调递增
x>3时，φ′x<0,φx单调递减
所以φx≤φ3=e−3…………6分
因为x1−2e​x1=x2−2e​x2
由差比的性质知：x1−2ex1=x2−2ex2=x1−x2ex1−ex2，
又x−2e​x≤e​−3∴x1−x2e​x1−e​2x2≤e​−3，则e​x1−e​x2x1−x2≥e​3
欲证：ex1+ex22>e3
即证：ex1+ex22>ex1−ex2x1−x2
不妨设：x1>x2
下证x1−x2>2ex1−ex2ex1+ex2令ex1−x2=t,t>1
下证lnt>2t−1t+1令mt=lnt−2t−1t+1,m′t=1t−4t+12=t−12tt+12>0
所以m′t在1,+∞上单调递增，mt>m1=0
所以lnt>2t−1t+1
所以ex1+ex22>e3…………10分
（3） 证明见解析.
证明：
不妨设x2>x1，下证x2−x1≤1+b+e+13e−1+ebe−1
fx在−1,f−1处的切线方程为y=1−eex+1…………11分
构造Fx=fx−1−eex+1,F′x=x+2ex−1e,F′′x=x+3ex
当x<−3时，F′′x<0;x>−3时，F′′x>0;
所以F′x在−∞,−3上单调递减，在−3,+∞上单调递增
又F′−3=−e−3−1e,limx→−∞F′x=1e,F′−1=0
所以Fx在−∞,−1上单调递减，在−1,+∞上单调递增
所以Fx≥F−1=0
所以fx≥1−eex+1
设方程sx的函数值为1−eex+1=b的根x1′，则sx1′=b=fx1≥sx1
因为sx在R上单调递减，所以x1′≤x1…………13分
fx在1,2e−2处的切线方程为tx=3e−1x−e−1…………14分
构造Gx=fx−tx=x+1ex−3ex+e
G′x=x+2ex−3e,G′′x=x+3ex
当x<−3时，G′′x<0;x>−3时，G′′x>0;
所以G′x在−∞,−3上单调递减，在−3,+∞上单调递增
又G′−3=−e−3−3e<0,limx→−∞G′x=−3e,G′1=0
所以Gx在−∞,1上单调递减，在1,+∞上单调递增
所以Gx≥G1=0
所以fx≥3e−1x−e−1
设方程tx=3e−1x−e−1=b的根x2′=e+1+b3e−1
又b=tx2′=fx2≥tx2，由tx在R上单调递增
所以x2≤x2′…………16分
又x1≥x1′
所以x2−x1≤x2′−x1′≤1+b+e+13e−1+ebe−1…………17分
19．（1） 证明见解析；
证明：
因为Fn+1=Fn+Fn−1
所以Fn⋅Fn+1=FnFn+Fn−1=Fn2+Fn⋅Fn−1
=Fn2+Fn−1Fn−1+Fn−2=Fn2+Fn−12+Fn−1⋅Fn−2
=Fn2+Fn−12+Fn−2Fn−2+Fn−3=Fn2+Fn−12+Fn−22+Fn−2⋅Fn−3
=Fn2+Fn−12+⋯=F12+F22+F32+⋯+Fn2…………5分
（2） Fn=551+52n−551−52n；
解：
设Fn−xFn−1=yFn−1−xFn−2
即：Fn=x+yFn−1−xyFn−2
则：{x+y=1xy=−1
解得x=1+52y=1−52或x=1−52y=1+52…………7分
将x=1+52y=1−52代入得：Fn−1+52Fn−1=1−52Fn−1−1+52Fn−2
则Fn−1+52Fn−1=1−52n−2F2−1+52F1=1−52n−1①…………9分
同理代入x=1−52y=1+52得：Fn−1−52Fn−1=1+52​n−1②…………11分
①②联立，得：Fn=551+52n−551−52n
所以{Fn}的通项公式为Fn=551+52n−551−52n…………13分
（3） 证明见解析.
证明：
方法一：
观察发现：
F2F1=1=11，
F3F2=2=1+11，
F4F3=32=1+11+11，F5F4=53=1+11+11+11
……
Fn+1Fn=1+11+11+11+1……..
设1+11+11+1……=t
则x→+∞时，认为1+1t≈t
解得：t≈1+52或1−52舍去
即：Fn+1Fn=t≈1+52
所以：FnFn+1=1t≈5−12.…………17分
方法二：
分别代入Fn、Fn+1通项公式：
得FnFn+1=1+52n−1−52n1+52n+1−1−52n+1=21+51+52n+1−21−51−52n+11+52n+1−1−52n+1=5−121+52n+1−−1+521−52n+11+52n+1−1−52n+1=
5−121+52n+1−5−12−51−52n+11+52n+1−1−52n+1=5−121+52n+1−−5−121−52n+11+52n+1−1−52n+1+51−52n+11+52n+1−1−52n+1=5−12+5−3+52n+1−1
所以n→+∞时，FnFn+1=5−12…………17分X
−6
−4
−2
0
2
4
6
P
164
332
1564
516
1564
332
164
X
−6
−4
−2
0
2
4
6
P
164
332
1564
516
1564
332
164