2024届甘肃省白银市部分高中高三上学期阶段检测数学试题含答案

这是一份2024届甘肃省白银市部分高中高三上学期阶段检测数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．的虚部为（ ）
A．1B．iC．3D．
【答案】C
【分析】根据复数运算，先化简复数，再根据复数的概念得到其虚部.
【详解】，虚部为3．
故选：C
2．若集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先解出集合B，再进行集合的并集运算.
【详解】因为，所以.
故选：C
3．圆的圆心在抛物线上，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由圆的方程得出圆心坐标，代入抛物线方程求得参数后可得焦点坐标．
【详解】圆的圆心坐标为，则，得，所以该抛物线的焦点坐标为．
故选：A．
4．2020年11月1日零时广西14个地区人口的男、女性别比如下表所示：
根据表中数据可知，这14个数据的第60百分位数对应的地区是（ ）
A．柳州市B．南宁市C．北海市D．玉林市
【答案】D
【分析】将这14个数据（单位：%）按照从小到大的顺序排列，由百分位数的求法求解即可.
【详解】将这14个数据（单位：%）按照从小到大的顺序排列为103.33，104.18，104.69，
;106.77，17.52，107.74，107.81，10829，108.48，108.90，110.66，119.01，
因为，所以这14个数据的第60百分位数是排序后的第9个数据，即107.81，对应的地区是玉林市．
故选：D
5．若，则的展开式中的系数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由二项展开式求指定项的系数即可.
【详解】的展开式中的系数为，
因为，所以．
故选：D.
6．定义矩阵运算，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意结合指、对数运算求解.
【详解】由题意可得：．
故选：B.
7．若某圆台上底面和下底面的半径分别为，且圆台的体积为，则该圆台的母线与底面所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设圆台的高为，根据题意求得，结合圆台的轴截面，即可求得母线与底面所成角的正切值．
【详解】设圆台的高为，则，可得，
取圆台的轴截面，如图所示，
则该圆台的母线与底面所成角的正切值为．
故选：D.
8．若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】化简函数式为，题意说明，得，由正弦函数图象与直线的交点个数得的范围．
【详解】，
由，得，
因为，，所以，
依题意可得，，解得．
故选：D．
二、多选题
9．已知向量，，，，则（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
【答案】AC
【分析】利用平面向量加法的坐标运算可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示求出的值，利用平面向量减法的坐标运算可判断B选项；求出的坐标，利用平面向量模长的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A正确；
对于B选项，因为，所以，则，
所以，B错误；
对于C选项，因为，
所以，C正确；
对于D选项，在上的投影向量为
，D错误．
故选：AC.
10．若某正方体的棱长为，则（ ）
A．该正方体的体积为5B．该正方体的内切球的体积为
C．该正方体的表面积为30D．该正方体的外接球的表面积为
【答案】BCD
【分析】根据正方体的体积表面积公式即可求解AC，根据内切球和外接球的直径即可得半径，由球的体积公式以及表面积公式求解BD.
【详解】因为该正方体的棱长为，所以其体积为，表面积为，A错误，C正确．
该正方体的内切球的直径为，所以内切球的体积为，B正确．
该正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以外接球的表面积为，D正确．
故选：BCD

11．山东东阿盛产阿胶，阿胶与人参、鹿茸并称“中药三宝”．阿胶的主要原料是驴皮，配以冰糖、绍酒、豆油等十几种辅料，用东阿特有的含多种矿物质的井水、采取传统的制作工艺熬制而成．已知每盒某阿胶产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．（ ）
A．若从该阿胶产品中随机选取1盒，则这盒阿胶产品的质量大于的概率为0.75
B．若从该阿胶产品中随机选取1盒，则这盒阿胶产品的质量在内的概率为0.15
C．若从该阿胶产品中随机选取1000盒，则质量大于的盒数的方差为47.5
D．若从该阿胶产品中随机选取1000盒，则质量在内的盒数的数学期望为200
【答案】ACD
【分析】根据正态分布的性质可判断出相应区间的概率，再根据二项分布的方差和期望公式，即可得出正确选项.
【详解】对于选项A，因为，所以，A正确．
对于选项B，因为，所以
，
所以，B错误．
对于选项C，因为，所以，
若从该阿胶产品中随机选取1000盒，则质量大于的盒数，
所以，C正确．
对于选项D，，若从该阿胶产品中随机选取1000盒，
则质量在内的盒数，所以，D正确．
故选:ACD
12．已知实数满足且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则的最小值为
C．的最大值为
D．若，则的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，可得，再结合均值不等式逐项分析判断作答.
【详解】由，得，而，则，
对于A，，A正确；
对于B，，则，显然均为正数，即有，
因此，
当且仅当，即时取等号，B正确；
对于C，显然，
由，得，因此，C错误；
对于D，由，得，
当且仅当时取等号，即，由，得，则的最小值为，D正确.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.
三、填空题
13．若是奇函数，且，则 ．
【答案】4
【分析】由奇函数的性质即可求解.
【详解】因为是奇函数，所以．
故答案为：4.
14．在数列中，，若成等差数列，成等比数列，则 .
【答案】32
【分析】根据等差数列和等比数列的性质进行求解即可.
【详解】因为成等差数列，成等比数列，
所以成等差数列，成等比数列，成等差数列，成等比数列，成等差数列，成等比数列，
所以可得的前8项为0，2，4，8，12，18，24，32.
故答案为：32
15．若曲线在处的切线的斜率为3，则该切线在x轴上的截距为 ．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可.
【详解】因为，
所以，由，得或（舍去），
当时，，
所以该切线的方程为，
令，
所以该切线在轴上的截距为.
故答案为：.
16．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点．若的面积是面积的2倍，则的离心率为 ．
【答案】
【分析】由的面积是面积的2倍，得到，由此设，分别在和中利用余弦定理，即可找出的关系，即可求得答案.
【详解】如图，由的面积是面积的2倍，可得，
不妨设，，，则，．
在中，,由，
得，整理得①．
在中，,由，
得，整理得②，
①+②得，将该式代入②，
整理得，即，
故的离心率为，
故答案为：
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于找到之间的关系，解答时要注意利用的面积是面积的2倍，得到，由此可分别在和中利用余弦定理，即可找出的关系，求得答案.
四、解答题
17．山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，渤海五路以西，南环路以北.整个黄河楼颜色质感为灰红，意味黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的宏壮.如图，小张为了测量黄河楼的实际高度，选取了与楼底在同一水平面内的两个测量基点，现测得，在点处测得黄河楼顶的仰角为，求黄河楼的实际高度（结果精确到，取）.
【答案】
【分析】利用正弦定理即可求解.
【详解】由题知，
，
在中，由正弦定理得，
则.
在中，，
所以，
故黄河楼的实际高度约为.
18．已知数列，满足，，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，可判断是等比数列，又由，可求得，可求得的通项公式；
（2）由（1）可得，根据分组求和可得.
【详解】（1）由，，得，
因为，所以，且是首项为，公比为2的等比数列，
所以．
（2）由（1）知，
所以
．
19．某工厂的工人生产内径为的一种零件，为了了解零件的生产质量，在某次抽检中，从该厂的1000个零件中抽出60个，测得其内径尺寸（单位：）如下：


这里用表示有个尺寸为的零件，，均为正整数.若从这60个零件中随机抽取1个，则这个零件的内径尺寸小干的概率为.
(1)求，的值.
(2)已知这60个零件内径尺寸的平均数为，标准差为，且，在某次抽检中，若抽取的零件中至少有80%的零件内径尺寸在内，则称本次抽检的零件合格.试问这次抽检的零件是否合格？说明你的理由.
【答案】(1)
(2)不合格，理由见解析
【分析】（1）根据零件个数和概率值建立方程求解即可；
（2）求出平均数，然后求出零件内径尺寸在内的个数即可判断.
【详解】（1）依题意可得，
解得.
（2）将每个数据都减去28.50后所得新数据的平均数为
，
所以，所以，.
所以这60个零件内径尺寸在内的个数为，
因为，所以这次抽检的零件不合格.
20．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是菱形，是正三角形，，是AB的中点．

(1)证明：．
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正三角形、面面垂直和线面垂直的性质得到，根据中位线和菱形的性质得到，最后根据线面垂直的判定定理和性质证明即可；
（2）利用空间向量的方法求二面角即可.
【详解】（1）
证明：取AD的中点，连接EF，PF，BD，
因为是正三角形，
所以．
又平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以平面ABCD．
因为平面ABCD，
所以．
因为是AB的中点，
所以．
又底面ABCD是菱形，
所以，从而．
因为，平面，所以平面PEF．
因为平面PEF，所以．
（2）解：连接BF，因为，所以是正三角形，所以．
以F为坐标原点，FA，FB，FP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
令，则，，，
则，．
设平面CEP的法向量为，则，
令，则，，得．
由题可知，是平面ACE的一个法向量．
，
由图可知，二面角为锐角，则二面角的余弦值为．
21．已知双曲线过点和点．
(1)求双曲线的方程．
(2)过的直线与双曲线交于，两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于，两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，定值为
【分析】（1）把连点代入双曲线方程，联立可求解；
（2）根据题意设两直线方程，并分别与双曲线联立求出，，，从而求解.
【详解】（1）将点和点的坐标代入，得
解之得，
所以双曲线的方程为
（2）依题意可得直线的斜率存在，设：.
联立，得，
根据题意直线与双曲线左支右支各一个交点，
所以，即得：，
设，），则，
所以．
，直线．设，.
联立，得，
则
则
所以，所以为定值，定值为.
22．已知函数，其中为正整数．
(1)求的单调区间；
(2)证明：．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数运算直接得出单调区间；
（2）要证，只需证，即证．设函数，可得在上单调递减，在上单调递增，判断得在上存在唯一零点，，可得在上单调递减，在上单调递增，设函数，进而利用即可得证.
【详解】（1），
当时，；当时，．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）要证，只需证，即证．
设函数，则，
令，则，
因为时，，时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，
因为，，
所以在上存在唯一零点，，
且当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
又，所以，
所以．
设函数，则在上单调递减，
所以，
因为n为正整数，所以，
所以，即．
【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，属于较难题.
解题关键有：（1）假设零点分析单调性；（2）构造函数；（3）转化思想的结合.
地区
南宁市
柳州市
桂林市
梧州市
玉林市
防城港市
钦州市
男、女性别比/%
106.71
107.74
103.33
106.77
107.81
119.01
110.66
地区
贵港市
北海市
百色市
贺州市
河池市
来宾市
崇左市
男、女性别比/%
108.29
108.48
104.69
105.66
104.18
107.52
108.90