湖南省衡阳市第八中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

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时量：120分钟 分值：150分
考试内容：必修一，必修二第六章1-3节
命题人：彭韬 宋彪 审题人：仇武君
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如图，是全集，是两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的图形，利用集合的交并补运算即可求解.
【详解】观察图形知，阴影部分在集合中，且不在集合，在中，ABC不可选，也不在中，
所以阴影部分可表示为.
故选：D
2. 函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据解析式判断函数单调性，再应用零点存在性定理确定所在区间即可.
【详解】由在上递减，
所以在上递减，
又，，
所以零点所在区间为.
故选：B
3. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数的奇偶性与函数值符号判断．
【详解】∵函数为非奇非偶函数，
∴其图象既不关于原点对称，也不关于轴对称，故选项C错误；
当时，，故A，D错误，
故选：B
4. 已知为角终边上一点，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】应用诱导公式及由弦化切化简目标式为，结合三角函数的定义求得，即可求值.
【详解】由，又，
所以.
故选：B
5. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数换底公式，结合对数函数性质及媒介数比较大小即得.
【详解】依题意，，，
又，
所以的大小关系为.
故选：A
6. 已知．若存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过对参数分类讨论，研究在和的单调性，再结合已知条件，即可求解.
【详解】解：由题意，不妨令，；，，
①当时，在上单调递减，
在上单调递减，易知在上的值域为，
又因为存在最小值，只需，解得，
又由，从而；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
又因为存在最小值，故，
即，解得，，这与矛盾；
③当时，，易知的值域为，显然无最小值；
④当时，在上单调递增，在上单调递增，从而无最小值.
综上所述，实数的取值范围为.
故选：A.
7. 如图，在中，，，，，边上的两条中线，相交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题得为直角三角形，建立平面直角坐标系，将问题转化为求与夹角的余弦即可.
【详解】因为，，，
由余弦定理得，，
得到，又，所以为直角三角形，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则有，又分别为中点，
所以，故，
所以，
故选：D.
8. 已知点在函数（且，，）的图像上，直线是函数图像的一条对称轴.若在区间上单调，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由在区间内单调求出的范围，先由函数零点与对称轴之间的关系求出周期，进而求得，利用对称轴即可求出.
【详解】∵在区间内单调，，得，所以
∵是函数的零点，直线是函数的图象的一条对称轴，∴，
若，则，此时，得，满足条件，
若，则，此时，得，不满足条件，
综上可知，函数，
∵是函数的图象的一条对称轴，∴，即，
∵，∴，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数性质的应用，结合的单调区间以及对称轴对称中心之间的关系求出周期和是解决本题的关键，属于一般题.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确是（ ）
A. 若不等式的解集为，则
B. 若命题p：，，则p的否定为，
C. 已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是
D. 已知.若的值域为R，则实数m的取值范围
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，不等式解集的端点即对应方程的根，可求出，判断正误；
对于B，使用含有一个量词的命题的否定的知识进行判断；
对于C，结合函数单调性的定义，结合分段函数单调性知识进行判断；
对于D，可使用复合函数的值域知识进行判断.
【详解】对于A，不等式解集为，
则和是方程的两个根，故，
解得，所以，故A正确；
对于B，全称量词命题“，”的否定为存在量词命题“，”
因此命题，则其否定为，故B正确；
对于C，因为是增函数，需满足当时，为增函数，当时，为增函数，且当时，，所以，解得，故C不正确；
对于D，令，，的值域为R，则的值域为R，即为值域的子集，当时，，值域为R，满足题意，当时，需，即，解得，综上所述，实数的取值范围是，故D不正确.
故选：AB.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的零点是
B. 方程有两个解
C. 函数的图象关于对称
D. 用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，则方程的根落在区间上
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，由零点的定义即可得解；对于BD，由零点存在定理即可判断；对于C，由互为反函数的两个函数图象的位置关系即可判断.
【详解】对于A，零点不是点，而是函数图象与轴交点的横坐标，故A错误；
对于B，令，
则，，
所以由零点存在定理可知（其图象连续不断）在内各有一个零点，故B正确；
对于C，若，所以函数互为反函数，
所以函数的图象关于对称，故C正确；
由零点存在定理可知方程的根落在区间，故D错误.
故选：BC.
11. 给出下列命题，其中正确的选项有（ ）
A. 等边中，向量与向量的夹角为
B. ，，则向量在向量上的投影向量为
C. 非零向量满足，则与的夹角为
D. 若，，，为锐角，则实数的取值范围为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由向量夹角定义知A正确；由投影向量定义，结合向量坐标运算知B正确；根据向量线性运算的几何意义可确定C正确；由，根据为锐角可构造不等式组求得D错误.
【详解】对于A，，为等边三角形，，A正确；
对于B，，，
在上的投影向量为，B正确；
对于C，，以构成如图所示的等边三角形，
其中，，，
以为邻边作平行四边形，则，四边形为菱形，
，又，平分，
，C正确；
对于D，，，
，
为锐角，，解得：且，D错误.
故选：ABC.
12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）.
A. 是周期函数
B. 是函数的一个单调递增区间
C. 若，则
D. 不等式的解集为，
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正弦型函数的图象与性质逐一判断即可.
【详解】对于A，因为，
所以是的一个周期，正确；
对于B，因为，且函数的定义域为R，
所以是奇函数，当时，单调递增，
又因为是奇函数且过原点，所以是函数的一个单调递增区间，正确；
对于C，由AB可画出函数在上的图象，又因为，
所以的图像关于对称，可画出函数在上的图象，
即得到函数在上的图象，即一个周期的图象，如图：

则，满足，但，错误；
对于D，先求不等式在一个周期内的解集，
取区间，因为，所以，
则，则在整个定义域上有，解得，正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：对于新的三角函数，往往先画出一个周期的函数图象，进而得到整个函数图象，利用三角函数图象不仅解决三角函数性质问题，还可以解不等式、方程零点个数等问题.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．
13. __________．
【答案】9
【解析】
【分析】由指数与对数的运算法则以及诱导公式即可求解.
【详解】原式
故答案为：9
14. 若扇形的弧长为8，圆心角为，则扇形的面积为__________.
【答案】8
【解析】
【分析】由弧长公式求出扇形的半径，再由扇形的面积公式求解即可.
【详解】解：
.
故答案：8
15. ，，且恒成立，则的最大值为__．
【答案】4
【解析】
【分析】将不等式变形分离出，不等式恒成立即大于等于右边的最小值；由于，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．
【详解】解：由于恒成立，且
即恒成立
只要的最小值即可
，，故，因此
故答案为：4．
16. 如图，是等边三角形，边长为是平面上任意一点．则的最小值为__________．

【答案】
【解析】
【分析】取的中点，的中点，利用向量数量积的运算律计算即得.
【详解】在边长为2的在中，取的中点，连接并取其中点，连接，则，
于是
，
当且仅当点与点重合时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：

四､解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 如图所示，已知在△AOB中，BC=2AC，OD=2DB，DC和OA交于点E，设，．
（1）用和表示向量、；
（2）若，求实数λ的值
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）结合向量的加法、减法法则运算即可
（2）根据向量的减法法则可得、，结合平行向量的基本定理计算即可.
【小问1详解】
由题意知，A是BC的中点，且，
由平行四边形法则，，
所以，
.
【小问2详解】
因为，又，
，
所以＝，解得．
18. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中，点P的坐标为，点Q是图象上的最低点且坐标为，点R是图象上的最高点.

（1）求函数的解析式；
（2）记，（α，β均为锐角），求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由图象可得A，由函数的最小正周期求得的值，利用正弦函数的对称中心结合的取值范围可求得的值，即可求得函数的解析式；
（2）利用函数周期求得，由两点式斜率公式及诱导公式求得，，进而利用二倍角正切公式和两角和的正切公式求解即可.
【小问1详解】
由图象及，可知，，
又函数的最小正周期，所以，
因为点为函数的一个对称中心，所以，即，
又，所以，所以.
【小问2详解】
由（1）函数周期及最值知，因为，，，，
所以，，即，
所以，
所以.
19. 为了预防流感病毒，某中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）随时间（单位：）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，与成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）写出从药物释放开始，与之间的函数关系；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低至毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室（精确到）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知图象过的点的坐标，即可直接求出相应解析式；
（2）令，即可得出结果.
【小问1详解】
由题知，药物释放过程中，设，
将代入解析式可得，，解得，
以及，解得，
所以从药物释放开始，.
【小问2详解】
由（1）知，，
令，则，
所以从药物释放开始，至少需要经过约小时后，学生才能回到教室.
20. 已知函数．
（1）求函数的零点以及不等式的解集；
（2）设中的最大数是，正数满足，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将函数写为分段函数的形式，再根据范围依次解不等式即可.
（2）确定，变换，再利用均值不等式计算得到最值.
【小问1详解】
，
当时，，解得；
当时，，解得，即；
当时，，解得，即；
综上所述：，即.
【小问2详解】
，，
.
当且仅当，即，时等号成立.
21. 已知．
（1）若（为坐标原点），求与的夹角；
（2）若，求的值．
【答案】21.
22. ，
【解析】
【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；
（2）由向量垂直得到数量积为，进而得到，通过平方得到，进而可得，再根据的范围确定正负，开方得解；再利用立方和公式展开，进而得解.
【小问1详解】
由得，，
又，，，
设与的夹角为,，则,
又，故与的夹角为.
【小问2详解】
由得，即，
，，故,
，.
又.
22. 已知函数
（1）求f(x)的定义域；
（2）若，求f(x)的值域;
（3）设，函数，，若对于任意，总存在唯一，使得成立，求a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由对数函数的意义，列出不等式，再求解作答.
（2）求出函数在上的值域，再结合对数函数单调性求解作答.
（3）利用二次函数对称轴分类，结合（2）的结论列出不等式，求解作答.
【小问1详解】
函数有意义，有，即，解得，
所以函数f(x)的定义域为.
【小问2详解】
当时，，则，，，
所以f(x)的值域是.
【小问3详解】
由（2）知，，，函数图象对称轴，
而，当，即时，显然，
因为任意，总存在唯一的，使得成立，
则必有，解得或，显然无解，
当，即或时，函数在上单调递减，，
因为任意，总存在唯一的，使得成立，则，
于是得，解得或，满足或，因此或，
所以a的取值范围是.
【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集 ．