2023年安徽省合肥市第四十五中学本部中考数学一模试卷

这是一份2023年安徽省合肥市第四十五中学本部中考数学一模试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）（2023•娄底二模）﹣2023的相反数是（ ）
A．2023B．-12023C．12023D．﹣2023
2．（4分）（2020•黔南州）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．a2+a2＝a4C．（a3）4＝a12D．（ab）2＝ab2
3．（4分）（2023•庐阳区校级模拟）2022年3月5日，第十三届全国人大五次会议在北京召开，李克强总理代表国务院作《政府工作报告》，报告中指出，2021年我国经济结构和区域布局继续优化，粮食产量13700亿斤，创历史新高，把数据13700亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.37×1011B．0.137×1012
C．13.7×1012D．1.37×1012
4．（4分）（2023•抚州三模）如图所示的手提水果篮，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）（2023•扎兰屯市三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝24°，∠3＝148°，则∠2的度数为（ ）度．
A．56B．66C．98D．104
6．（4分）（2023•庐阳区校级模拟）在一次演讲比赛中，七位评委为某位选手打出的分数如下：87，95，89，99，87，93，97（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 性价比最高 A．平均分B．众数C．中位数D．方差
7．（4分）（2023•庐阳区校级模拟）已知直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，且点（3，1）在该直线上，设m＝3k﹣b，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1B．﹣1＜m＜1C．1＜m＜2D．﹣1＜m＜2
8．（4分）（2023•庐阳区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝7，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，交AD于点F，则BE：FE等于（ ）
A．7：4B．7：3C．4：3D．4：7
9．（4分）（2023•庐阳区校级模拟）已知a，b，c为实数，且b﹣a＝c2+2c+1，b+a＝3c2﹣4c+11，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A．b≥a＞cB．b≥c＞aC．a≥b＞cD．c＞b≥a
10．（4分）（2023•庐阳区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+a﹣2的图象如图所示，其对称轴为直线x=12，那么一次函数y＝ax+b的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）（2021•千山区一模）分解因式：a2b﹣4ab2+4b3＝ ．
12．（5分）（2023•庐阳区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠ADC＝115°，则∠P＝ °．
13．（5分）（2023•庐阳区校级模拟）如图，已知直角三角形ABO中，∠ABO＝90°，BO＝2，将△ABO绕O点旋转至△A′B′O的位置，且B′为OA中点，A′在反比例函数y=kx上，则k的值 ．
14．（5分）（2023•庐阳区校级模拟）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点M，N分别在边AB，CD上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点B，C分别落在B′，C′处，且点C′在线段AD上（不与两端点重合）．
（1）若C′为线段AD的中点，则CN＝ ；
（2）折痕MN的长度的取值范围为 ．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）（2023•庐阳区校级模拟）解不等式组：5x+6≤2(x-3)x3-1＜x-44．
16．（8分）（2023•庐阳区校级模拟）如图，△OBC的顶点坐标分别为O（0，0），B（3，3），C（1，3）．将△OBC绕原点O逆时针旋转90°的图形得到△OB1C1．
（1）画出△OB1C1的图形，并写出C1的坐标．
（2）若点P（m，2）在边OC上，直接写出点P旋转后对应点P1的坐标．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）（2023•庐阳区校级模拟）甲工程队新建公路，每名工人每天工作8小时，则甲工程队每天可完成800米新建公路．乙工程队比甲工程队少15名工人，每名工人每天工作12小时，则乙工程队每天可完成600米新建公路，假定甲、乙两工程队的每名工人每小时完成的工作量相同，求乙工程队的工人有多少名？
18．（8分）（2023•庐阳区校级模拟）观察以下等式：第1个等式：32﹣3＝2×1×3，第2个等式：52﹣5＝2×2×5，第3个等式：72﹣7＝2×3×7，……按照以上规律，解决下列问题：
（1）按照此规律下去，第4个等式是： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）（2023•庐阳区校级模拟）周末爬大蜀山，是合肥市民周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一，如图，某个周末小张同学从大蜀山西坡沿坡角为37°的山坡爬了280米，到达点E处，紧接着沿坡角为45°的山坡又爬了160米，到达山顶A处；请你计算大蜀山的高度．（结果精确到个位，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
20．（10分）（2023•宿城区校级模拟）学校即将开展红色经典诵读活动，李老师给学生推荐了3种不同的名著A，B，C．甲，乙两位同学分别从中任意选一种阅读，假设选任意一种都是等可能的．
（1）甲同学选中名著B的概率是 ．
（2）请你利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学选中的名著不相同的概率．
六、（本题满分12分）
21．（12分）（2023•庐阳区校级模拟）如图1，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD，交AC于点E．
（1）求证：∠CEB＝∠ABD+∠CDB；
（2）如图2，连接OE、AD，若OE∥AD，且AB＝10，BD＝8，求BC的长．
七、（本题满分12分）
22．（12分）（2023•禹会区二模）已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，连接DA、DB，且DA⊥DB于点D．
（1）求证：DA＝DB；
（2）如图2，点E、F分别是边CD、AC上的点，且BE⊥EF于点E，求AFDE的值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）（2023•庐阳区校级模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当a﹣2≤x≤a+1时，抛物线有最小值5，求a的值；
（3）若点P是第四象限内抛物线上一动点，连接PB、PC，求△PBC的面积S的最大值．
2023年安徽省合肥四十五中本部中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）（2023•娄底二模）﹣2023的相反数是（ ）
A．2023B．-12023C．12023D．﹣2023
【分析】利用相反数的定义判断．
【解答】解：﹣2023的相反数是2023．
故选：A．
2．（4分）（2020•黔南州）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．a2+a2＝a4C．（a3）4＝a12D．（ab）2＝ab2
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a3•a4＝a7，故A不符合题意；
B、a2+a2＝2a2，故B不符合题意；
C、（a3）4＝a12，故C符合题意；
D、（ab）2＝a2b2，故D不符合题意；
故选：C．
3．（4分）（2023•庐阳区校级模拟）2022年3月5日，第十三届全国人大五次会议在北京召开，李克强总理代表国务院作《政府工作报告》，报告中指出，2021年我国经济结构和区域布局继续优化，粮食产量13700亿斤，创历史新高，把数据13700亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.37×1011B．0.137×1012
C．13.7×1012D．1.37×1012
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：13700亿＝1370000000000＝1.37×1012．
故选：D．
4．（4分）（2023•抚州三模）如图所示的手提水果篮，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，是一个圆，圆的中间有一条横向的线段．
故选：A．
5．（4分）（2023•扎兰屯市三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝24°，∠3＝148°，则∠2的度数为（ ）度．
A．56B．66C．98D．104
【分析】如图，在∠2处作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠BHE+∠HEF＝180°，∠FED＝∠1，由对顶角相等可得∠BHE＝∠3，根据∠2＝∠HEF+∠FED计算求解即可．
【解答】解：如图，在∠2处作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∵EF∥AB，
∴∠BHE+∠HEF＝180°，
∵EF∥CD，
∴∠FED＝∠1，
∵∠BHE＝∠3，
∴∠2＝∠HEF+∠FED＝180°﹣∠BHE+∠1＝180°﹣∠3+∠1＝56°，
故选：A．
6．（4分）（2023•庐阳区校级模拟）在一次演讲比赛中，七位评委为某位选手打出的分数如下：87，95，89，99，87，93，97（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ）
A．平均分B．众数C．中位数D．方差
【分析】先将分数从小到大依次排序，然后分别求解各量，最后比较即可．
【解答】解：将分数从小到大依次排序为：87，87，89，93，95，97，99；
平均分为：87+87+89+93+95+97+997=6477，
众数为：87，
中位数为：93，
方差为：(87-6477)2×2+(89-6477)2+(93-6477)2+(95-6477)2+(97-6477)2+(99-6477)27=99249，
去掉一个最高分和一个最低分后从小到大依次排序为：87，89，93，95，97；
平均分为：87+89+93+95+975=4615，
众数不存在，
中位数为：93，
方差为：(87-4615)2+(89-4615)2+(93-4615)2+(95-4615)2+(97-4615)25=34425，
∴去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是中位数，
故选：C．
7．（4分）（2023•庐阳区校级模拟）已知直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，且点（3，1）在该直线上，设m＝3k﹣b，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1B．﹣1＜m＜1C．1＜m＜2D．﹣1＜m＜2
【分析】先利用一次函数图象上点的坐标特征得到b＝﹣3k+1，再利用一次函数与系数的关系得到k＞0，b＞0，则k的范围为0＜k＜13，接着用k表示m，然后根据一次函数的性质求m的范围．
【解答】解：把（3，1）代入y＝kx+b得3k+b＝1，b＝﹣3k+1，
因为直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，
所以k＞0，b＞0，即﹣3k+1＞0，
所以k的范围为0＜k＜13，
因为m＝3k﹣b＝3k﹣（﹣3k+1）＝6k﹣1，
所以m的范围为﹣1＜m＜1．
故选：B．
8．（4分）（2023•庐阳区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝7，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，交AD于点F，则BE：FE等于（ ）
A．7：4B．7：3C．4：3D．4：7
【分析】平行四边形的对边相等且平行，利用平行四边形的性质以及平行线的基本性质G求得∠CBF＝∠E，再根据等腰三角形的性质得CE＝CB＝7．然后证△ECB∽△EDF，得BEEF=CEED，即可求解．
【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABF＝∠E，
∵∠ABC的平分线交AD于点F，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠E，
∴CE＝CB＝7，
∴DE＝CE﹣CD＝7﹣4＝3，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴△ECB∽△EDF，
∴BEEF=CFED=73．
故选：B．
9．（4分）（2023•庐阳区校级模拟）已知a，b，c为实数，且b﹣a＝c2+2c+1，b+a＝3c2﹣4c+11，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A．b≥a＞cB．b≥c＞aC．a≥b＞cD．c＞b≥a
【分析】根据b﹣a＝（c﹣2）2+1＞0得b≥a，根据（b﹣a）﹣（b+a）＝c2+2c+1﹣（3c2﹣4c+11）得a＝c2﹣3c+5，则a﹣c＝c2﹣4c+5＝（c﹣2）2+1＞0，即可得a＞c，综上，即可得．
【解答】解：∵b﹣a＝c2+2c+1＝（c+1）2≥0，
∴b≥a，
∵（b﹣a）﹣（b+a）＝c2+2c+1﹣（3c2﹣4c+11），
∴2a＝2c2﹣6c+10，
a＝c2﹣3c+5，
∵a﹣c＝c2﹣4c+5＝（c﹣2）2+1＞0，
∴a＞c，
∴b≥a＞c，
故选：A．
10．（4分）（2023•庐阳区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+a﹣2的图象如图所示，其对称轴为直线x=12，那么一次函数y＝ax+b的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根据二次函数性质得出b＝﹣a，进而得出b＝﹣a＜0，0＜a＜1，判断出一次函数y＝ax+b的图象过第一、三、四象限，再判断一次函数y＝ax+b与y轴交点在﹣1与0之间，一次函数y＝ax+b与x轴交点是1，即可得出答案．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+a﹣2对称轴为直线x=12，
∴-b2a=12，
∴b＝﹣a，
根据二次函数：a＞0，﹣2＜a﹣2＜﹣1，
∴b＝﹣a＜0，0＜a＜1，
∴一次函数y＝ax+b的图象过第一、三、四象限，
当x＝0时，y＝b，
∴﹣1＜b＜0，
∴一次函数y＝ax+b与y轴交点在﹣1与0之间，
当y＝0时，x=-ba，
∴x=-ba=1，
∴一次函数y＝ax+b与x轴交点是1，
故选：D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）（2021•千山区一模）分解因式：a2b﹣4ab2+4b3＝ b（a﹣2b）2 ．
【分析】根据提公因式法，完全平方公式，可得答案．
【解答】解：原式＝b（a2﹣4ab+4b2）
＝b（a﹣2b）2，
故答案为：b（a﹣2b）2．
12．（5分）（2023•庐阳区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠ADC＝115°，则∠P＝ 40 °．
【分析】连接OC，根据切线的性质求出∠OCP＝90°，然后说明圆心O在AB上，再由圆内接四边形对角互补求出∠OBC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠POC的度数，再由直角三角形的两个锐角互余求出∠P的度数．
【解答】解：如图，连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴点O在AB上，
∵四边形ABCD内接于⊙O，且∠ADC＝115°，
∴∠OBC+∠ADC＝∠OBC+115°＝180°，
∴∠OBC＝180°﹣115°＝65°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝65°，
∴∠POC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∴∠P＝90°﹣∠POC＝40°，
故答案为：40．
13．（5分）（2023•庐阳区校级模拟）如图，已知直角三角形ABO中，∠ABO＝90°，BO＝2，将△ABO绕O点旋转至△A′B′O的位置，且B′为OA中点，A′在反比例函数y=kx上，则k的值 ﹣43 ．
【分析】连接BB′，作A′E⊥x轴于点E，先证明△BOB′是等边三角形，求出OA＝2OB＝4，∠A′OE＝60°，再得出OE=12OA′=2，进而得出A′E=3OE=23，求出A′(-2，23)，即可得出答案．
【解答】解：连接BB′，作A′E⊥x轴于点E，
由题意可得：OB＝OB′，B′是OA的中点，
∠AOB＝∠A′OB′，OA＝OA′，
∴BB′=12OA=OB′，
∴△BOB′是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴OA＝2OB＝4，∠A′OE＝60°，
∴OA′＝4，
∴OE=12OA′=2，
∴A′E=3OE=23，
∴A′(-2，23)，
∵A′在反比例函数y=kx上，
∴k=-2×23=-43，
故答案为：-43．
14．（5分）（2023•庐阳区校级模拟）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点M，N分别在边AB，CD上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点B，C分别落在B′，C′处，且点C′在线段AD上（不与两端点重合）．
（1）若C′为线段AD的中点，则CN＝ 7316 ；
（2）折痕MN的长度的取值范围为 6＜MN＜152 ．
【分析】（1）设CN＝x，则C′N＝x，DN＝CD﹣CN＝AB﹣CN＝8﹣x，运用勾股定理计算即可．
（2）根据垂线段最短，可得当MN⊥CD时，MN取得最小值，当C′与点A重合时，MN取得最大值，运用折叠性质，勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，沿着MN折叠矩形ABCD，C′为线段AD的中点，
∴AB=CD=8，C′D=12BC=3，∠D=90°，CN=C′N；
设CN＝x，则C′N＝x，DN＝CD﹣CN＝AB﹣CN＝8﹣x，
∴C′N2＝DN2+C′D2，
∴x2＝（8﹣x）2+32，
解得x=7316，
故答案为：7316．
（2）根据垂线段最短，可得当MN⊥CD时，MN取得最小值，
∵矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，MN⊥CD，
∴四边形BCNM是矩形，
∴MN＝BC＝6；
当C′与点A重合时，MN取得最大值，
∵矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，沿着MN折叠矩形ABCD，
∴AB＝CD＝8，C′AD＝BC＝6，∠D＝90°，CN＝C′N＝AN；
设CN＝x，则C′N＝AN＝x，DN＝CD﹣CN＝AB﹣CN＝8﹣x，
∴AN2＝DN2+AD2，
∴x2＝（8﹣x）2+62，
解得x=254．
∵矩形ABCD中，沿着MN折叠矩形ABCD，
∴AB∥CD，∠CNM＝∠ANM，
∴∠CNM＝∠AMN，∠CNM＝∠ANM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴AM=AN=CN=254；
∴DN=CD-CN=8-254=74；
过点N作NE⊥AB于点E，
则四边形AEND是矩形，
∴AE=DN=74，NE=AD=6，ME=AM-AE=184=92；
∴MN2＝NE2+ME2，
∴MN=62+(92)2=152，
故折痕MN的长度的取值范围为6＜MN＜152．
故答案为：6＜MN＜152．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）（2023•庐阳区校级模拟）解不等式组：5x+6≤2(x-3)x3-1＜x-44．
【分析】分别解两个不等式，然后按照“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定答案即可．
【解答】解：5x+6≤2(x-3)①x3-1＜x-44②，
解不等式①，得 x≤﹣4，
解不等式②，得，x＜0，
∴原不等式组的解集为x≤﹣4．
16．（8分）（2023•庐阳区校级模拟）如图，△OBC的顶点坐标分别为O（0，0），B（3，3），C（1，3）．将△OBC绕原点O逆时针旋转90°的图形得到△OB1C1．
（1）画出△OB1C1的图形，并写出C1的坐标．
（2）若点P（m，2）在边OC上，直接写出点P旋转后对应点P1的坐标．
【分析】（1）分别作出点B（3，3），C（1，3）绕原点O逆时针旋转90°的对应点B1（﹣3，3），C1（﹣3，1），顺次连接O、B1、C1即可，根据图可直接得出C1的坐标；
（2）按照（1）中点的旋转规律，即可写出点P旋转后对应点P1的坐标为（﹣2，m）．然后设OC解析式为y＝kx，把C（1，3）代入求得k＝3，则y＝3x，把P（m，2）代入y＝3x，得2＝3m，即m=23，即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，△OB1C1即为所求；
∴C1的坐标为（﹣3，1）；
（2）由（1）可得点B（3，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点B1（﹣3，3），
C（1，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点C1（﹣3，1），
∴将点P（m，2）绕原点O逆时针旋转90°后对应点P1的坐标为（﹣2，m）．
设OC解析式为y＝kx，把C（1，3）代入求得k＝3，
∴y＝3x，
把P（m，2）代入y＝3x，
得2＝3m，
∴m=23，
∴P1(-2，23)．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）（2023•庐阳区校级模拟）甲工程队新建公路，每名工人每天工作8小时，则甲工程队每天可完成800米新建公路．乙工程队比甲工程队少15名工人，每名工人每天工作12小时，则乙工程队每天可完成600米新建公路，假定甲、乙两工程队的每名工人每小时完成的工作量相同，求乙工程队的工人有多少名？
【分析】设乙工程队的工人有x名，则甲工程队的工人有（x+15）名，根据甲、乙两工程队的每名工人每小时完成的工作量相同列分式方程8008×(x+15)=60012x，计算求解即可．
【解答】解：设乙工程队的工人有x名，则甲工程队的工人有（x+15）名，
由题意得，8008×(x+15)=60012x，
化简得，2x+15=1x，
两边同时乘x（x+15）得，
2x＝x+15，
移项合并得，x＝15，
经检验，x＝15是原分式方程的解且符合题意，
答：乙工程队的工人有15名．
18．（8分）（2023•庐阳区校级模拟）观察以下等式：第1个等式：32﹣3＝2×1×3，第2个等式：52﹣5＝2×2×5，第3个等式：72﹣7＝2×3×7，……按照以上规律，解决下列问题：
（1）按照此规律下去，第4个等式是： 92﹣9＝2×4×9 ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【分析】（1）通过题干中的式子，进行推理求解即可；
（2）通过题干中的式子进行猜想，并计算证明．
【解答】解：（1）第4个等式是：92﹣9＝2×4×9，
故答案为：92﹣9＝2×4×9；
（2）第n个等式：（2n+1）2﹣（2n+1）＝2n（2n+1），
证明：（2n+1）2﹣（2n+1）＝4n2+4n+1﹣2n﹣1＝4n2+2n＝2n（2n+1），
即（2n+1）2﹣（2n+1）＝2n（2n+1）．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）（2023•庐阳区校级模拟）周末爬大蜀山，是合肥市民周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一，如图，某个周末小张同学从大蜀山西坡沿坡角为37°的山坡爬了280米，到达点E处，紧接着沿坡角为45°的山坡又爬了160米，到达山顶A处；请你计算大蜀山的高度．（结果精确到个位，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【分析】过点A作AD⊥BC于D，过点E作EF⊥AD于F，EG⊥BC于G，根据正弦的定义可以分别求出AF和EG的长，然后结合矩形的对边相等即可得到答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，过点E作EF⊥AD于F，EG⊥BC于G，则四边形EGDF为矩形，
∴EG＝FD，
在Rt△AEF中，sin∠AEF=AFAE，
则AF=AE⋅sin∠AEF=160×22=802≈113.12（米），
在Rt△EBG中，sinB=EGBE，
则EG＝BE⋅sinB≈280×0.6＝168（米），
∴AD＝AF+EG＝113.12+168＝281.12≈281（米），
答：大蜀山的高度约为281米．
20．（10分）（2023•宿城区校级模拟）学校即将开展红色经典诵读活动，李老师给学生推荐了3种不同的名著A，B，C．甲，乙两位同学分别从中任意选一种阅读，假设选任意一种都是等可能的．
（1）甲同学选中名著B的概率是 13 ．
（2）请你利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学选中的名著不相同的概率．
【分析】（1）根据概率公式求解即可．
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，再由概率公式求解即可．
【解答】（1）∵共有3种不同的名著A，B，C，
∴其名著B的概率是：13；
（2）根据题意画图
共有9种等可能的情况数，其中甲、乙两位同学选中的名著不相同的有9种，
则甲、乙两位同学选中的名著不相同的概率为：69=23．
六、（本题满分12分）
21．（12分）（2023•庐阳区校级模拟）如图1，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD，交AC于点E．
（1）求证：∠CEB＝∠ABD+∠CDB；
（2）如图2，连接OE、AD，若OE∥AD，且AB＝10，BD＝8，求BC的长．
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠BAC＝∠CDB，再利用三角形外角的性质等量代换即可得证；
（2）由OE∥AD和点O为AB的中点，可得OE是△ADB的中位线，求得DE=BE=12BD，根据圆周角定理得∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，由勾股定理求得AD，AE，设BC＝x，EC＝y，在Rt△ABC和Rt△BCE中，根据勾股定理建立关于x、y的方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAC，∠CDB都是弧BC所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CDB，
∵∠CEB＝∠ABD+∠BAC，
∴∠CEB＝∠ABD+∠CDB；
（2）解：方法一：
∵OE∥AD，点O为AB的中点，
∴OE为△ADB的中位线，
∴DE=BE=12BD=4，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，
∴AD=AB2-BD2=102-82=6，
∴AE=AD2+DE2=62+42=213，
设BC＝x，EC＝y，
在Rt△ABC和Rt△BCE中，
有AB2=AC2+BC2BE2=BC2+CE2，
即102=(213+y)+x242=x2+y2，
整理得：x2+y2+413y-48=0x2+y2=16，
∴16+413y-48=0，
解得：y=813，
∴y2=6413，
∴x2+6413=16，
解得：x=121313或x=-121313（舍去），
∴BC的长为121313；
方法二：∵OE∥AD，点O为AB的中点，
∴OE为△ADB的中位线，
∴DE=BE=12BD=4，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，
∵∠AED＝∠BEC，
∴△BCE∽△ADE，
∴BEAE=BCAD，
∵AD=AB2-BD2=102-82=6，
∴AE=AD2+DE2=62+42=213，
∴4213=BC6，
∴BC=121313．
七、（本题满分12分）
22．（12分）（2023•禹会区二模）已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，连接DA、DB，且DA⊥DB于点D．
（1）求证：DA＝DB；
（2）如图2，点E、F分别是边CD、AC上的点，且BE⊥EF于点E，求AFDE的值．
【分析】（1）证明点A，C，B，D四点共圆，即可解决问题；
（2）结合（1）可得△DAB是等腰直角三角形，再证明点F，C，B，E四点共圆，可得∠EFB＝∠BCD＝45°，然后证明△ABF∽△DBE，即可解决问题．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∵DA⊥DB，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴点A，C，B，D四点共圆，
∵∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴DA＝DB；
（2）解：∵DA⊥DB，DA＝DB，
∴△DAB是等腰直角三角形，
∴∠DBA＝45°，ABDB=2，
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝∠ACB＝90°，
∴点F，C，B，E四点共圆，
∴∠EFB＝∠BCD＝45°，
∴△EFB是等腰直角三角形，
∴∠EBF＝45°，
∴∠ABF＝45°﹣∠ABE＝∠DBE，
∵点A，C，B，D四点共圆，
∴∠BAF＝∠BDE，
∴△ABF∽△DBE，
∴AFDE=ABDB=2．
八、（本题满分14分）
23．（14分）（2023•庐阳区校级模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当a﹣2≤x≤a+1时，抛物线有最小值5，求a的值；
（3）若点P是第四象限内抛物线上一动点，连接PB、PC，求△PBC的面积S的最大值．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当a+1≤1时，即a≤0，则x＝a+1时，抛物线取得最小值；当x＝a﹣2≥1时，即a≥3，则x＝a﹣2时，抛物线取得最小值，进而求解；
（3）由S＝S△PHC+S△PHB，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
即y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4≥﹣4，即抛物线的最小值是﹣4，
即x＝a﹣2和x＝a+1不可能在抛物线对称轴两侧；
当a+1≤1时，即a≤0，
则x＝a+1时，抛物线取得最小值，
即y＝（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝5，
解得：a＝3（舍去）或﹣3，
即a＝﹣3；
当x＝a﹣2≥1时，即a≥3，
则x＝a﹣2时，抛物线取得最小值，
即y＝（a﹣2）2﹣2（a﹣2）﹣3＝5，
解得：a＝6，
综上，a＝6或﹣3；
（3）过点P作PH∥y轴交BC于点H，
由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
设点H（x，x﹣3），则点P（x，x2﹣2x﹣3），
则S＝S△PHC+S△PHB=12×PH×OB=12×（x﹣3﹣x2+2x+3）=-32（x-32）2+278≤278．
即△PBC的面积S的最大值为278．
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