还剩9页未读，
继续阅读
2023-2024学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高一（下）开学数学试卷（含解析）
展开
这是一份2023-2024学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高一（下）开学数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设全集U={0,1,2,4,6,8}，集合M={0,4,6}，N={0,1,6}，则M∪∁UN=( )
A. {0,2,4,6,8}B. {0,1,4,6,8}C. {1,2,4,6,8}D. U
2.已知角α的终边经过点(−4,3)，则csα=( )
A. 45B. 35C. −35D. −45
3.“−1A. 充分必要条件B. 充分但不必要条件
C. 必要但不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4.设a=lg0.30.2，b=ln0.2，c=0.30.2，则( )
A. a>b>cB. c>a>bC. a>c>bD. c>b>a
5.已知cs(π2+φ)= 32，且|φ|<π2，则tanφ=( )
A. − 33B. 33C. − 3D. 3
6.2tan15°1−tan215∘=( )
A. −1B. 1C. 3D. 33
7.方程sinx=lgx的实根有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 无穷多个
8.设函数f(x)=sin(ωx−π6)+1(ω∈N*)在[5π12,5π6]上单调递减，则下述结论：
①f(x)关于(π12,0)中心对称；
②f(x)关于x=2π3轴对称；
③f(x)在[π2,π]上的值域为[0,32]；
④方程f(x)=1在[0,2π]有4个不相同的根．
其中正确结论的编号是( )
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中计算结果等于1的有( )
A. sin2α+cs2αB. sinπ4⋅csπ4C. lg23⋅lg32D. lg2+lg5
10.已知函数f(x)=2x+1,x≤0,lg2x,x>0,f(x)=2，则x=( )
A. 0B. 2C. 4D. 6
11.下列说法正确的时( )
A. 若a>b>0,则1a<1b
B. 如果幂函数为偶函数，则图像一定经过点(−1,1)
C. y=2x2+1的值域为[2,+∞)
D. 函数f(x)=x2−2x的零点为(0,0)，(2,0)
12.如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=( )
A. sin(2x−π3)
B. sin(π3−2x)
C. cs(2x+π6)
D. cs(5π6−2x)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知y=x+1x(x≥2)的最小值为______．
14.已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)= x−1，则f(−4)=______．
15.已知f(x)=2cs2x−sinx，则f(π6)= ______，f(x)的最小值为______．
16.将函数f(x)=2sin(π2x+π4)的图象向右平移12个单位后，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数g(x)的图象，则g(1)+g(2)+⋯+g(2021)的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设函数f(x)=2x+1,−2(1)求函数的定义域；
(2)求f(−1)，f(0)，f(2)．
18.(本小题12分)
已知f(x)是二次函数，f(0)=f(5)=0，且f(−1)=12；
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[−2,3]时，求函数f(x)的值域；
19.(本小题12分)
已知α∈(π2,π)，sinα= 55．
(1)求sin(π4+α)的值；
(2)求cs(5π6−2α)的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(3x+π4).
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f(α3)=45cs(α+π4)cs2α，求csα−sinα的值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2x+cs2x．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈[0,π2]时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2 3sin2x+2sinxcsx− 3，x∈R．
(1)求f(π3)的值；
(2)若函数y=f(x)−a在x∈[0,π2]有两个零点，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由于∁UN={2,4,8}，
所以M∪∁UN={0,2,4,6,8}．
故选：A．
直接利用集合的补集和并集运算求出结果．
本题考查集合的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得csα的值．
【解答】
解：∵角α的终边经过点(−4,3)，
∴x=−4，y=3，r= x2+y2=5．
∴csα=xr=−45=−45，
故选D．
3.【答案】A
【解析】解：∵−1故选：A．
x2<1即−1本题考查充要条件的判断，与范围有关的问题可转化为集合的包含关系解决，属基本题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，对数值大小的比较，考查了计算能力，属于基础题．
根据对数函数和指数函数的单调性得出lg0.30.2>1,ln0.2<0,0<0．30.2<1，然后即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】
解：∵a=lg0.30.2>，b=ln0.2∴a>c>b．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：由cs(π2+φ)= 32，得sinφ=− 32，
又|φ|<π2，∴csφ=12∴tanφ=− 3
故选C．
先由诱导公式化简cs(π2+φ)=−sinφ= 32确定sinφ的值，再根据φ的范围确定csφ的值，最终得到答案．
本题主要考查三角函数的诱导公式、同角三角函数基本关系式及三角函数符号．
三角函数问题在高考中一般难度不大，常常是几个小知识点的综合，但需要我们对所涉及的内容均要熟练掌握
6.【答案】D
【解析】解：2tan15°1−tan215∘=tan30°= 33，
故选：D．
逆用二倍角的正切公式可得答案．
本题考查二倍角的正切，考查特殊角的三角函数值，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：令f(x)=sinx，g(x)=lgx
做出函数的图象，结合图象可知，函数f(x)=sinx 与g(x)=lgx的图象有3个交点
故选：C．
要求方程sinx=lgx的实根，令f(x)=sinx，g(x)=lgx，只需求出函数f(x)与g(x)的交点个数，画出函数的图象，结合图象可求
本题主要考查了对数函数与正弦函数的图象的应用，方程与函数的相互转化的思想，体现了数形结合思想在解题中的应用．
8.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=sin(ωx−π6)+1(ω∈N*)在[5π12,5π6]上单调递减，
2kπ+π2≤ωx−π6≤2kπ+3π2⇔2kπω+2π3ω≤x≤2kπω+5π3ω；
2kπω+2π3ω≤5π125π6≤2kπω+5π3ω⇔24k5+85≤ω≤12k5+2，
又因为ω∈N*，所以k=0时，ω=2．
f(x)=sin(2x−π6)+1；
对于①，f(π12)=1≠0，所以①错；
对于②，f(2π3)=32，未达最值，所以②错；
对于③，x∈[π2,π]⇒2x∈[π,2π]⇒2x−π6∈[π−π6,2π−π6]
⇒sin(2x−π6)∈[−1,12]⇒f(x)∈[0,32]，所以③对；
对于④，f(x)以π为周期，f(x)=1在[0,π]上只有两个根，端点不是根，
所以在[0,2π]有4个不同根，所以④对．
故选：D．
①求出三角函数单调区间，用不等式确定参数ω，根所三角函数性质判断；②用特值法判断；③求出函数值域判断；④求出一个周期内方程根的个数即可判断．
本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的基本性质，属基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A，sin2α+cs2α=1，正确；
对于B，sinπ4⋅csπ4=12sinπ2=12，错误；
对于C，lg23⋅lg32=lg3lg2×lg2lg3=1，正确；
对于D，lg2+lg5=lg10=1，正确．
故选：ACD．
对于A，利用同角三角函数基本关系式即可求解；对于B，利用二倍角公式即可求解；对于C，利用换底公式即可求解；对于D，直接利用对数的运算的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数恒等变换以及对数的运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：f(x)=2x+1,x≤0,lg2x,x>0,f(x)=2，
当x≤0时，f(x)=2x+1=2，解得x=0，符合题意，
当x>0时，f(x)=lg2x=2，解得x=4．
故选：AC．
由已知结合x的范围进行分类讨论，解方程即可求解x．
本题主要考查了由函数值求解x的范围，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：A项，若a>b>0，则1a<1b，正确；
B项，幂函数y=xn为偶函数，则n为偶数，当x=−1时，y=1，
则图像一定经过点(−1,1)，B项正确；
C项，x2+1≥1，则y=2x2+1≥2，值域为[2,+∞)，C项正确；
D项，令f(x)=0，则x=0或2，零点为x=0或2，D项错误．
故选：ABC．
A项根据不等式的性质可得；B，C项根据函数的性质可判断；D项，根据零点的定义可得．
本题考查函数的性质，函数的零点，属于基础题．
12.【答案】BC
【解析】解：由函数图像可知：T2=2π3−π6=π2，
∴T=π，
则|ω|=2πT=2ππ=2，
不妨令ω=2，当x=23π+π62=5π12时，y=−1，
∴2×5π12+φ=3π2+2kπ(k∈Z)，解得：φ=2kπ+2π3(k∈Z)，
即函数的解析式为：y=sin(2x+2π3+2kπ)=sin(π+2x−π3)=−sin(2x−π3)，故A错误；
又sin(2x+2π3)=−sin(2x−π3)=sin(π3−2x)，故B正确；
又sin(2x+2π3)=sin(2x+π6+π2)=cs(2x+π6)，故C正确；
而cs(2x+π6)=cs(π+2x−5π6)=−cs(2x−5π6)=−cs(5π6−2x)，故D错误．
故选：BC．
首先利用周期确定ω的值，然后确定φ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果．
本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式以及诱导公式的应用，考查了函数思想和数形结合思想的应用，属于中档题．
13.【答案】52
【解析】解：设f(x)=x+1x(x≥2)，
任取2≤x1其中x1−x2<0，x1x2−1>0，
所以f(x1)−f(x2)<0，f(x1)所以f(x)在[2,+∞)上递增，最小值为f(2)=2+12=52．
故答案为：52．
结合函数的单调性求得正确答案．
本题主要考查函数单调性的性质与判断，属于基础题．
14.【答案】−1
【解析】解：根据题意，当x>0时，f(x)= x−1，
则f(4)=2−1=1，
又由f(x)为奇函数，则f(−4)=−f(4)=−1；
故答案为：−1．
根据题意，由函数的解析式求出f(4)的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
15.【答案】1 −1
【解析】解：f(x)=2cs2x−sinx，
则f(π6)=34×2−12=1；
又−1≤sinx≤1，
∴f(x)=−2sin2x−sinx+2=−2(sinx+14)2+178，
当sinx=1时，f(x)取得最小值，为−1．
故答案为：1；−1．
利用特殊角的三角函数值可求得f(π6)的值，再利用三角函数的性质可求得f(x)的最小值．
本题考查了三角函数的最值，考查运算能力，属于基础题．
16.【答案】2+ 2
【解析】解：由题意可知，g(x)=2sin(12×π2x−π4+π4)=2sin(π4x)，
所以函数g(x)周期为2ππ4=8．
而g(1)=2sinπ4= 2，g(2)=2sin2π4=2，g(3)=2sin3π4= 2，g(4)=2sinπ=0，
g(5)=2sin5π4=− 2，g(6)=2sin3π2=−2，g(7)=2sin7π4=− 2，g(8)=2sin2π=0，
所以g(1)+g(2)+⋯+g(8)=0，则2021=252×8+5，
所以g(1)+g(2)+⋯+g(2021)=252×0+g(1)+g(2)+⋯+g(5)=2+ 2．
故答案为：2+ 2．
先求出g(x)的解析式，再根据其周期性可求g(1)+g(2)+...+g(2021)的值．
本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
17.【答案】(1)解：由已知可得函数f(x)的定义域为(−2,3)．
(2)解：因为f(x)=2x+1,−2所以f(−1)=−2+1=−1，f(0)=0+1=1，f(2)=3−4=−1．
【解析】(1)根据函数f(x)的解析式，结合函数定义域的定义，即可求解；
(2)根据函数f(x)的解析式，分别代入x=−1，0，2，即可求解f(−1)，f(0)，f(2)的值．
本题主要考查了分段函数性质在函数定义域及函数值求解中的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵f(x)是二次函数，且f(0)=f(5)=0，
∴设f(x)=ax(x−5)，(a≠0)，
又∵f(−1)=6a=12，解得a=2，
∴f(x)=2x(x−5)=2x2−10x；
(2)由(1)知，f(x)的对称轴为x=52，
根据二次函数的性质可知，f(x)的最小值为f(52)=−252，最大值为f(−2)=28，
∴f(x)的值域为[−252,28]．
【解析】(1)结合题意先设f(x)=ax(x−5)，(a≠0)，然后把f(−1)=12代入可求a，进而可求函数解析式；
(2)结合二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了待定系数求解函数解析式，还考查了二次函数的性质在函数值域求解中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵α∈(π2,π)，sinα= 55．
∴csα=− 1−sin2α=−2 55，
∴sin(π4+α)=sinπ4csα+csπ4sinα= 22×(−2 55+ 55)=− 1010．
(2)由(1)可得：sin2α=2sinαcsα=−45，cs2α=1−2sin2α=35
故cs(5π6−2α)=cs5π6cs2α+sin5π6sin2α=(− 32)×35+12×(−45)=−3 3+410．
【解析】(1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求csα的值，进而利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式即可计算得解．
(2)由(1)利用二倍角公式可得sin2α，cs2α的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
20.【答案】解：(1)∵函数f(x)=sin(3x+π4)，令2kπ−π2≤3x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，
求得2kπ3−π4≤x≤2kπ3+π12，故函数的增区间为[2kπ3−π4,2kπ3+π12]，k∈Z．
(2)由函数的解析式可得f(α3)=sin(α+π4)，又f(α3)=45cs(α+π4)cs2α，
∴sin(α+π4)=45cs(α+π4)cs2α，即sin(α+π4)=45cs(α+π4)(cs2α−sin2α)，
∴sinαcsπ4+csαsinπ4=45(csαcsπ4−sinαsinπ4)(csα−sinα)(csα+sinα)
即(sinα+csα)=45⋅(csα−sinα)2(csα+sinα)，
又∵α是第二象限角，∴csα−sinα<0，
当sinα+csα=0时，tanα=−1，sinα= 22，csα=− 22，此时csα−sinα=− 2．
当sinα+csα≠0时，此时csα−sinα=− 52．
综上所述：csα−sinα=− 2或− 52．
【解析】(1)令2kπ−π2≤3x+π4≤2kπ+π2，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．
(2)由函数的解析式可得f(α3)=sin(α+π4)，又f(α3)=45cs(α+π4)cs2α，可得sin(α+π4)=45cs(α+π4)cs2α，化简可得(csα−sinα)2=54.再由α是第二象限角，csα−sinα<0，从而求得csα−sinα的值．
本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
21.【答案】解：f(x)=sin2x+cs2x= 2sin(2x+π4)，
(1)最小正周期T=2π2=π；
(2)令t=2x+π4∈[π4,5π4]，
y=sint在[π4,π2]上递增，在[π2,5π4]上递减，
且sinπ4= 22，sin5π4=− 22，
所以当2x+π4=5π4，即x=π2时，f(x)取得最小值−1，
即f(x)取得最小值的x的集合为{π2}.
【解析】先将原式化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式，然后再利用换元思想结合正弦函数的性质求解．
本题考查三角函数的周期、最小值的求法，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)=2 3sin2x+2sinxcsx− 3
= 3(1−cs2x)+sin2x− 3=sin2x− 3cs2x=2sin(2x−π3)，
所以f(π3)=2sin(2×π3−π3)=2sinπ3= 3；
(2)令y=f(x)−a=0，即f(x)=a，
在同一坐标系中作出当x∈[0,π2]时y=f(x)的图像以及y=a的图像，
由图像可知，函数y=f(x)−a在x∈[0,π2]有两个零点，则 3≤a<2．
故a的范围为[ 3,2)．
【解析】(1)先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后把x=π3代入即可求解；
(2)问题转化为y=f(x)与y=a在[0,π2]有两个交点，结合函数图象即可求解．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质在参数范围求解中的应用，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
1.设全集U={0,1,2,4,6,8}，集合M={0,4,6}，N={0,1,6}，则M∪∁UN=( )
A. {0,2,4,6,8}B. {0,1,4,6,8}C. {1,2,4,6,8}D. U
2.已知角α的终边经过点(−4,3)，则csα=( )
A. 45B. 35C. −35D. −45
3.“−1
C. 必要但不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4.设a=lg0.30.2，b=ln0.2，c=0.30.2，则( )
A. a>b>cB. c>a>bC. a>c>bD. c>b>a
5.已知cs(π2+φ)= 32，且|φ|<π2，则tanφ=( )
A. − 33B. 33C. − 3D. 3
6.2tan15°1−tan215∘=( )
A. −1B. 1C. 3D. 33
7.方程sinx=lgx的实根有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 无穷多个
8.设函数f(x)=sin(ωx−π6)+1(ω∈N*)在[5π12,5π6]上单调递减，则下述结论：
①f(x)关于(π12,0)中心对称；
②f(x)关于x=2π3轴对称；
③f(x)在[π2,π]上的值域为[0,32]；
④方程f(x)=1在[0,2π]有4个不相同的根．
其中正确结论的编号是( )
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中计算结果等于1的有( )
A. sin2α+cs2αB. sinπ4⋅csπ4C. lg23⋅lg32D. lg2+lg5
10.已知函数f(x)=2x+1,x≤0,lg2x,x>0,f(x)=2，则x=( )
A. 0B. 2C. 4D. 6
11.下列说法正确的时( )
A. 若a>b>0,则1a<1b
B. 如果幂函数为偶函数，则图像一定经过点(−1,1)
C. y=2x2+1的值域为[2,+∞)
D. 函数f(x)=x2−2x的零点为(0,0)，(2,0)
12.如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=( )
A. sin(2x−π3)
B. sin(π3−2x)
C. cs(2x+π6)
D. cs(5π6−2x)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知y=x+1x(x≥2)的最小值为______．
14.已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)= x−1，则f(−4)=______．
15.已知f(x)=2cs2x−sinx，则f(π6)= ______，f(x)的最小值为______．
16.将函数f(x)=2sin(π2x+π4)的图象向右平移12个单位后，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数g(x)的图象，则g(1)+g(2)+⋯+g(2021)的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设函数f(x)=2x+1,−2
(2)求f(−1)，f(0)，f(2)．
18.(本小题12分)
已知f(x)是二次函数，f(0)=f(5)=0，且f(−1)=12；
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[−2,3]时，求函数f(x)的值域；
19.(本小题12分)
已知α∈(π2,π)，sinα= 55．
(1)求sin(π4+α)的值；
(2)求cs(5π6−2α)的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(3x+π4).
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f(α3)=45cs(α+π4)cs2α，求csα−sinα的值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2x+cs2x．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈[0,π2]时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2 3sin2x+2sinxcsx− 3，x∈R．
(1)求f(π3)的值；
(2)若函数y=f(x)−a在x∈[0,π2]有两个零点，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由于∁UN={2,4,8}，
所以M∪∁UN={0,2,4,6,8}．
故选：A．
直接利用集合的补集和并集运算求出结果．
本题考查集合的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得csα的值．
【解答】
解：∵角α的终边经过点(−4,3)，
∴x=−4，y=3，r= x2+y2=5．
∴csα=xr=−45=−45，
故选D．
3.【答案】A
【解析】解：∵−1
x2<1即−1
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，对数值大小的比较，考查了计算能力，属于基础题．
根据对数函数和指数函数的单调性得出lg0.30.2>1,ln0.2<0,0<0．30.2<1，然后即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】
解：∵a=lg0.30.2>，b=ln0.2
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：由cs(π2+φ)= 32，得sinφ=− 32，
又|φ|<π2，∴csφ=12∴tanφ=− 3
故选C．
先由诱导公式化简cs(π2+φ)=−sinφ= 32确定sinφ的值，再根据φ的范围确定csφ的值，最终得到答案．
本题主要考查三角函数的诱导公式、同角三角函数基本关系式及三角函数符号．
三角函数问题在高考中一般难度不大，常常是几个小知识点的综合，但需要我们对所涉及的内容均要熟练掌握
6.【答案】D
【解析】解：2tan15°1−tan215∘=tan30°= 33，
故选：D．
逆用二倍角的正切公式可得答案．
本题考查二倍角的正切，考查特殊角的三角函数值，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：令f(x)=sinx，g(x)=lgx
做出函数的图象，结合图象可知，函数f(x)=sinx 与g(x)=lgx的图象有3个交点
故选：C．
要求方程sinx=lgx的实根，令f(x)=sinx，g(x)=lgx，只需求出函数f(x)与g(x)的交点个数，画出函数的图象，结合图象可求
本题主要考查了对数函数与正弦函数的图象的应用，方程与函数的相互转化的思想，体现了数形结合思想在解题中的应用．
8.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=sin(ωx−π6)+1(ω∈N*)在[5π12,5π6]上单调递减，
2kπ+π2≤ωx−π6≤2kπ+3π2⇔2kπω+2π3ω≤x≤2kπω+5π3ω；
2kπω+2π3ω≤5π125π6≤2kπω+5π3ω⇔24k5+85≤ω≤12k5+2，
又因为ω∈N*，所以k=0时，ω=2．
f(x)=sin(2x−π6)+1；
对于①，f(π12)=1≠0，所以①错；
对于②，f(2π3)=32，未达最值，所以②错；
对于③，x∈[π2,π]⇒2x∈[π,2π]⇒2x−π6∈[π−π6,2π−π6]
⇒sin(2x−π6)∈[−1,12]⇒f(x)∈[0,32]，所以③对；
对于④，f(x)以π为周期，f(x)=1在[0,π]上只有两个根，端点不是根，
所以在[0,2π]有4个不同根，所以④对．
故选：D．
①求出三角函数单调区间，用不等式确定参数ω，根所三角函数性质判断；②用特值法判断；③求出函数值域判断；④求出一个周期内方程根的个数即可判断．
本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的基本性质，属基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A，sin2α+cs2α=1，正确；
对于B，sinπ4⋅csπ4=12sinπ2=12，错误；
对于C，lg23⋅lg32=lg3lg2×lg2lg3=1，正确；
对于D，lg2+lg5=lg10=1，正确．
故选：ACD．
对于A，利用同角三角函数基本关系式即可求解；对于B，利用二倍角公式即可求解；对于C，利用换底公式即可求解；对于D，直接利用对数的运算的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数恒等变换以及对数的运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：f(x)=2x+1,x≤0,lg2x,x>0,f(x)=2，
当x≤0时，f(x)=2x+1=2，解得x=0，符合题意，
当x>0时，f(x)=lg2x=2，解得x=4．
故选：AC．
由已知结合x的范围进行分类讨论，解方程即可求解x．
本题主要考查了由函数值求解x的范围，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：A项，若a>b>0，则1a<1b，正确；
B项，幂函数y=xn为偶函数，则n为偶数，当x=−1时，y=1，
则图像一定经过点(−1,1)，B项正确；
C项，x2+1≥1，则y=2x2+1≥2，值域为[2,+∞)，C项正确；
D项，令f(x)=0，则x=0或2，零点为x=0或2，D项错误．
故选：ABC．
A项根据不等式的性质可得；B，C项根据函数的性质可判断；D项，根据零点的定义可得．
本题考查函数的性质，函数的零点，属于基础题．
12.【答案】BC
【解析】解：由函数图像可知：T2=2π3−π6=π2，
∴T=π，
则|ω|=2πT=2ππ=2，
不妨令ω=2，当x=23π+π62=5π12时，y=−1，
∴2×5π12+φ=3π2+2kπ(k∈Z)，解得：φ=2kπ+2π3(k∈Z)，
即函数的解析式为：y=sin(2x+2π3+2kπ)=sin(π+2x−π3)=−sin(2x−π3)，故A错误；
又sin(2x+2π3)=−sin(2x−π3)=sin(π3−2x)，故B正确；
又sin(2x+2π3)=sin(2x+π6+π2)=cs(2x+π6)，故C正确；
而cs(2x+π6)=cs(π+2x−5π6)=−cs(2x−5π6)=−cs(5π6−2x)，故D错误．
故选：BC．
首先利用周期确定ω的值，然后确定φ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果．
本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式以及诱导公式的应用，考查了函数思想和数形结合思想的应用，属于中档题．
13.【答案】52
【解析】解：设f(x)=x+1x(x≥2)，
任取2≤x1
所以f(x1)−f(x2)<0，f(x1)
故答案为：52．
结合函数的单调性求得正确答案．
本题主要考查函数单调性的性质与判断，属于基础题．
14.【答案】−1
【解析】解：根据题意，当x>0时，f(x)= x−1，
则f(4)=2−1=1，
又由f(x)为奇函数，则f(−4)=−f(4)=−1；
故答案为：−1．
根据题意，由函数的解析式求出f(4)的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
15.【答案】1 −1
【解析】解：f(x)=2cs2x−sinx，
则f(π6)=34×2−12=1；
又−1≤sinx≤1，
∴f(x)=−2sin2x−sinx+2=−2(sinx+14)2+178，
当sinx=1时，f(x)取得最小值，为−1．
故答案为：1；−1．
利用特殊角的三角函数值可求得f(π6)的值，再利用三角函数的性质可求得f(x)的最小值．
本题考查了三角函数的最值，考查运算能力，属于基础题．
16.【答案】2+ 2
【解析】解：由题意可知，g(x)=2sin(12×π2x−π4+π4)=2sin(π4x)，
所以函数g(x)周期为2ππ4=8．
而g(1)=2sinπ4= 2，g(2)=2sin2π4=2，g(3)=2sin3π4= 2，g(4)=2sinπ=0，
g(5)=2sin5π4=− 2，g(6)=2sin3π2=−2，g(7)=2sin7π4=− 2，g(8)=2sin2π=0，
所以g(1)+g(2)+⋯+g(8)=0，则2021=252×8+5，
所以g(1)+g(2)+⋯+g(2021)=252×0+g(1)+g(2)+⋯+g(5)=2+ 2．
故答案为：2+ 2．
先求出g(x)的解析式，再根据其周期性可求g(1)+g(2)+...+g(2021)的值．
本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
17.【答案】(1)解：由已知可得函数f(x)的定义域为(−2,3)．
(2)解：因为f(x)=2x+1,−2
【解析】(1)根据函数f(x)的解析式，结合函数定义域的定义，即可求解；
(2)根据函数f(x)的解析式，分别代入x=−1，0，2，即可求解f(−1)，f(0)，f(2)的值．
本题主要考查了分段函数性质在函数定义域及函数值求解中的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵f(x)是二次函数，且f(0)=f(5)=0，
∴设f(x)=ax(x−5)，(a≠0)，
又∵f(−1)=6a=12，解得a=2，
∴f(x)=2x(x−5)=2x2−10x；
(2)由(1)知，f(x)的对称轴为x=52，
根据二次函数的性质可知，f(x)的最小值为f(52)=−252，最大值为f(−2)=28，
∴f(x)的值域为[−252,28]．
【解析】(1)结合题意先设f(x)=ax(x−5)，(a≠0)，然后把f(−1)=12代入可求a，进而可求函数解析式；
(2)结合二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了待定系数求解函数解析式，还考查了二次函数的性质在函数值域求解中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵α∈(π2,π)，sinα= 55．
∴csα=− 1−sin2α=−2 55，
∴sin(π4+α)=sinπ4csα+csπ4sinα= 22×(−2 55+ 55)=− 1010．
(2)由(1)可得：sin2α=2sinαcsα=−45，cs2α=1−2sin2α=35
故cs(5π6−2α)=cs5π6cs2α+sin5π6sin2α=(− 32)×35+12×(−45)=−3 3+410．
【解析】(1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求csα的值，进而利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式即可计算得解．
(2)由(1)利用二倍角公式可得sin2α，cs2α的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
20.【答案】解：(1)∵函数f(x)=sin(3x+π4)，令2kπ−π2≤3x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，
求得2kπ3−π4≤x≤2kπ3+π12，故函数的增区间为[2kπ3−π4,2kπ3+π12]，k∈Z．
(2)由函数的解析式可得f(α3)=sin(α+π4)，又f(α3)=45cs(α+π4)cs2α，
∴sin(α+π4)=45cs(α+π4)cs2α，即sin(α+π4)=45cs(α+π4)(cs2α−sin2α)，
∴sinαcsπ4+csαsinπ4=45(csαcsπ4−sinαsinπ4)(csα−sinα)(csα+sinα)
即(sinα+csα)=45⋅(csα−sinα)2(csα+sinα)，
又∵α是第二象限角，∴csα−sinα<0，
当sinα+csα=0时，tanα=−1，sinα= 22，csα=− 22，此时csα−sinα=− 2．
当sinα+csα≠0时，此时csα−sinα=− 52．
综上所述：csα−sinα=− 2或− 52．
【解析】(1)令2kπ−π2≤3x+π4≤2kπ+π2，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．
(2)由函数的解析式可得f(α3)=sin(α+π4)，又f(α3)=45cs(α+π4)cs2α，可得sin(α+π4)=45cs(α+π4)cs2α，化简可得(csα−sinα)2=54.再由α是第二象限角，csα−sinα<0，从而求得csα−sinα的值．
本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
21.【答案】解：f(x)=sin2x+cs2x= 2sin(2x+π4)，
(1)最小正周期T=2π2=π；
(2)令t=2x+π4∈[π4,5π4]，
y=sint在[π4,π2]上递增，在[π2,5π4]上递减，
且sinπ4= 22，sin5π4=− 22，
所以当2x+π4=5π4，即x=π2时，f(x)取得最小值−1，
即f(x)取得最小值的x的集合为{π2}.
【解析】先将原式化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式，然后再利用换元思想结合正弦函数的性质求解．
本题考查三角函数的周期、最小值的求法，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)=2 3sin2x+2sinxcsx− 3
= 3(1−cs2x)+sin2x− 3=sin2x− 3cs2x=2sin(2x−π3)，
所以f(π3)=2sin(2×π3−π3)=2sinπ3= 3；
(2)令y=f(x)−a=0，即f(x)=a，
在同一坐标系中作出当x∈[0,π2]时y=f(x)的图像以及y=a的图像，
由图像可知，函数y=f(x)−a在x∈[0,π2]有两个零点，则 3≤a<2．
故a的范围为[ 3,2)．
【解析】(1)先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后把x=π3代入即可求解；
(2)问题转化为y=f(x)与y=a在[0,π2]有两个交点，结合函数图象即可求解．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质在参数范围求解中的应用，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
相关试卷
2023-2024学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高二（上）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高二（上）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）： 这是一份2022-2023学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年宁夏青铜峡市宁朔中学高一下学期期中考试数学试题含解析： 这是一份2022-2023学年宁夏青铜峡市宁朔中学高一下学期期中考试数学试题含解析，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
