2021-2022学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

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绝密★启用前2021-2022学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高一（下）期末数学试卷第I卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）如果直线a和b没有公共点，那么直线a与b的位置关系是(    )A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 平行或异面一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是(    )A. 棱柱B. 棱台C. 圆柱D. 圆台已知正数x，y满足x+y=4，则xy的最大值(    )A. 2 B. 4 C. 6 D. 8在△ABC中，A=60°，B=45°，BC=32，则AC=(    )A. 6 B. 3 C. 23 D. 43等差数列{an}中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于(    )A. 14 B. 12 C. 2 D. -12若a，b，c为实数，且a0，则下列不等关系一定成立的是(    )A. a+cbc D. b-a>c已知Sn为数列{an}的前n项和，若S2=6，an+1=2an，则S100=(    )A. 252-4 B. 252-2 C. 2100-2 D. 2101-2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值等于(    )A. 23B. 53C. 255D. 33以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，其中正确的是(    )A. 若a/​/b，b⊂α，则a/​/αB. 若a/​/α，b/​/α，则a/​/bC. 若a/​/b，b/​/α，则a/​/αD. 若a/​/α，a⊂β，α∩β=b，则a/​/b在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，若sinBsinC=sin2A，则△ABC的形状是(    )A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形若不等式12ax2-ax+2>0恒成立，则实数a的取值范围为(    )A. [0,4] B. [0,4)C. (0,4) D. (-∞,0]∪(4，+∞)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D—ABC体积的最大值为(    )A. 123 B. 183 C. 243 D. 543第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）不等式x2+2x-8≥0的解集是______．若圆锥的底面面积为π，母线长为2，则该圆锥的体积为          ．若x，y满足约束条件2x+y-2≤0,x-y-1≥0,y+1≥0,则z=x+7y的最大值为______．已知数列{an}中，a1=1，an+1=an1+2an，则{an}的通项公式an=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题12.0分)如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'(1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？(2)直线BA'和CC'和的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？(本小题12.0分)(1)已知x>3，求4x-3+x的最小值；(2)已知x，y是正实数，且x+y=1，求1x+3y的最小值．(本小题12.0分)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点F为PC的中点．(1)求证：PA//平面BDF；(2)求证：PC⊥BD．(本小题12.0分)在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q(q>0)的等比数列{bn}中a2=b1=3，a4=7，b3=27，(Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式；(Ⅱ)令cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Tn．(本小题12.0分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(b-c)(b+c)=a(a+c)．(1)求角B；(2)当b=1时，求△ABC面积的最大值．(本小题10.0分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．答案和解析1.【答案】D 【解析】解：∵直线a和b没有公共点，∴直线a与b不是相交直线．∴直线a与b可能是相交直线或异面直线．故选：D．根据直线a和b没有公共点，结合直线的位置关系进行判断．本题主要考查空间直线的位置关系，直线平行和直线异面都没有公共点．2.【答案】D 【解析】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台．故选D．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．3.【答案】B 【解析】解：∵x>0，y>0，且x+y=4，∴xy≤(x+y)24=424=4，当且仅当x=y=2时，等号成立．故选：B．直接利用基本不等式求最值即可．本题考查不等式的性质，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．4.【答案】C 【解析】解：在△ABC中，A=60°，B=45°，BC=32，则由正弦定理BCsinA=ACsinB，可得AC=BC⋅sinBsinA=32×2232=23．故选：C．由已知利用正弦定理即可求解．本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．5.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．由已知求得a6，然后结合a10=6代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：在等差数列{an}中，由a4+a8=10，得2a6=10，a6=5．又a10=6，则d=a10-a610-6=6-54=14．故选A．  6.【答案】A 【解析】解：对于A，∵a1b，故B错误，对于C，令a=-2，b=1，c=1，满足a0，但ac0，但b-a=c，故D错误．故选：A．根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可求解．本题主要考查不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．7.【答案】D 【解析】解：∵an+1=2an，∴an+1an=2，∴数列{an}是公比为2的等比数列，即q=2，又∵S2=6，∴a1+a1q=6，∴a1=2，∴S100=a1(1-q100)1-q=2×(1-2100)1-2=2101-2，故选：D．由题意可知数列{an}是公比为2的等比数列，再利用等比数列的前n项和公式求解即可．本题主要考查了等比数列的前n项和公式，属于基础题．8.【答案】D 【解析】解：连结AC，则AC是A1C在平面ABCD上的射影，则∠A1CA即为直线 A1C与平面ABCD所成角的正弦值，设正方体的棱长为1，则AC=2，A1C=3，则sin∠A1CA=AA1A1C=13=33，故选：D．根据直线和平面所成角的定义即可得到结论．本题主要考查直线和平面所成角的求解，根据条件求出线面角是解决本题的关键．9.【答案】D 【解析】解：若a/​/b，b⊂α，则a/​/α或a⊂α，故A错误；若a/​/α，b/​/α，则a/​/b或a与b相交或a与b异面，故B错误；若a/​/b，b/​/α，则a/​/α或a⊂α，故C错误；若a/​/α，a⊂β，α∩β=b，由直线与平面平行的性质可得a/​/b，故D正确．故选：D．由直线与直线平行、直线与平面平行分析直线与平面的位置关系判定A与C；由平行于同一平面的两直线的位置关系判定B；由直线与平面平行的性质判断D．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．10.【答案】C 【解析】解：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，则：cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，由于：00恒成立；当a≠0时，则a>0Δ=a2-4a<0，解得03，∴x-3>0，∴4x-3+x=4x-3+(x-3)+3≥24x-3×(x-3)+3=4+3=7，当且仅当4x-3=x-3，即x=5时取等号，∴4x-3+x的最小值为7．(2)∵x，y∈R+，∴1x+3y=(x+y)(1x+3y)=4+(yx+3xy)≥4+2×yx⋅3xy=4+23，当且仅当y=3x，即x=3-12，y=3-32时取等号，∴1x+3y的最小值为4+23． 【解析】(1)配凑可得4x-3+x=4x-3+(x-3)+3，再利用基本不等式，即可求解；(2)利用基本不等式中的“乘1法”，即可得解．本题考查基本不等式的应用，熟练掌握配凑法，“乘1法”，以及基本不等式“一正二定三相等”的条件是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．19.【答案】证明：(1)连接AC，BD与AC交于点O，连接OF．∵ABCD是菱形，∴O是AC的中点．∵点F为PC的中点，∴OF/​/PA．∵OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF，∴PA/​/平面BDF．(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC．又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC．又∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥BD 【解析】(1)设BD与AC交于点O，利用三角形的中位线性质可得OF//PA，从而证明PA//平面BDF．(2)由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，依据菱形的性质可得BD⊥AC，从而证得BD⊥平面PAC，进而PC⊥BD．本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，直线与平面垂直的判定、性质的应用，取BD与AC交于点O，是解题的突破口．20.【答案】解：(Ⅰ)∵在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q(q>0)的等比数列{bn}中a2=b1=3，a4=7，b3=27，∴a1+d=3a1+3d=7，解得a1=1，d=2，∴an=2n-1．b1=3b1q2=27，由q>0，解得q=3，∴bn=3n. (各得3分)…(6分) (Ⅱ)∵cn=an+bn=(2n-1)+3n…(7分) ∴Tn=[1+3+…+(2n-1)]+(3+32+…+3n) =n(1+2n-1)2+3(1-3n)1-3 =n2+32(3n-1).( 分组得(1分)，两个和各得2分)…(12分) 【解析】(Ⅰ)由已知得a1+d=3a1+3d=7，b1=3b1q2=27，由此能求出数列{an}与{bn}的通项公式．(Ⅱ)由cn=an+bn=(2n-1)+3n，利用分组求和法能求出数列{cn}的前n项和Tn．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．21.【答案】解：(1)由(b-c)(b+c)=a(a+c)，得a2+c2-b2=-ac，∴cosB=a2+c2-b22ac=-ac2ac=-12，又B∈(0,π)，∴B=2π3；(2)由(1)知，B=2π3，∴S△ABC=12acsinB=34ac．∵b=1，∴由余弦定理得1=a2+c2-2accos2π3=a2+c2+ac≥2ac+ac=3ac，即ac≤13，当且仅当a=c时等号成立，∴S△ABC≤312，∴△ABC面积的最大值为312． 【解析】(1)由已知结合余弦定理，即可求出结果；(2)由(1)可知S△ABC=34ac，利用余弦定理，结合基本不等式即可求出ac≤13，进而求出面积的最大值．本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】证明：(1)在底面菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD边的中点，所以BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BG⊥平面PAD．(2)当F为PC边的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD，证明如下：取PC 的中点F，连接DE、EF、DF，在△PBC中，FE//PB，FE⊄平面PGB，PB⊂平面PGB，∴FE//平面PGB，在菱形ABCD中，DG/​/BE且DG=BE，BEDG为平行四边形，则DE/​/BG，DE⊄平面PGB，BG⊂平面PGB，∴DE/​/平面PGB，EF∩DE=E，所以平面DEF/​/平面PGB，因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG，又因为PG⊥AD，AD∩BG=G，∴PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD． 【解析】(1)根据题意可得BG⊥AD，根据面面垂直的性质可证；(2)先证平面DEF/​/平面PGB，再说明平面PGB⊥平面ABCD即可．本题考查面面垂直，考查学生的推理能力，属于中档题．