第8课时 平行线的判定和性质的综合应用核心考点易错点及拔尖角度-2022-2023学年七年级数学下册课时作业同步练习提优训练（人教版）

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第7课时 平行线的性质（解析版）一、核心考点考点1：两直线平行，同位角相等（重点）1．（大连中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，若直线a∥b，∠1＝108°，则∠2的度数为（　　）A．108° B．82° C．72° D．62°思路引领：两直线平行，同位角相等．再根据邻补角的性质，即可求出∠2的度数．解：∵a∥b，∴∠1＝∠3＝108°，∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝72°，即∠2的度数等于72°．故选：C．总结提升：本题主要考查了平行线的性质以及邻补角，解题时注意：两直线平行，同位角相等．2．（2017•宿迁）如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝85°，则∠4度数是（　　）A．80° B．85° C．95° D．100°思路引领：先根据题意得出a∥b，再由平行线的性质即可得出结论．解：∵∠1＝80°，∠2＝100°，∴∠1+∠2＝180°，∴a∥b．∵∠3＝85°，∴∠4＝∠3＝85°．故选：B．总结提升：本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．3．（咸宁中考真题）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）A．50° B．40° C．30° D．25°思路引领：由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数．解：如图，，∵∠1＝50°，∴∠3＝∠1＝50°，∴∠2＝90°﹣50°＝40°．故选：B．总结提升：此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键．4．（2017•十堰）如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE＝40°，则∠FGB＝（　　）A．40° B．50° C．60° D．70°思路引领：先根据平行线的性质，得到∠B＝∠CDE＝40°，再根据FG⊥BC，即可得出∠FGB的度数．解：∵AB∥DE，∠CDE＝40°，∴∠B＝∠CDE＝40°，又∵FG⊥BC，∴∠FGB＝90°﹣∠B＝50°，故选：B．总结提升：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．5．（赤峰中考真题）直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1＝35°，则∠2等于（　　）A．65° B．50° C．55° D．60°思路引领：先根据直角为90°，即可得到∠3的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．解：∵Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，∠1＝35°，∴∠3＝90°﹣35°＝55°，又∵a∥b，∴∠2＝∠3＝55°，故选：C．总结提升：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行同位角相等．6．（临沂中考真题）如图，直线a∥b，∠1＝60°，∠2＝40°，则∠3等于（　　）A．40° B．60° C．80° D．100°思路引领：根据对顶角相等和利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．解：如图：∵∠4＝∠2＝40°，∠5＝∠1＝60°，∴∠3＝180°﹣60°﹣40°＝80°，故选：C．总结提升：本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清各角度之间的关系是解题的关键．知识点2：两直线平行，内错角相等（重点）7．（2021•南宁二模）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为　50　°．思路引领：根据平行线的性质即可得到结论．解：∵直线m∥n，∴∠2＝∠ABC+∠1＝30°+20°＝50°，故答案为：50总结提升：本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．8．（2017•湖北）如图，已知AB∥CD∥EF，FC平分∠AFE，∠C＝25°，则∠A的度数是（　　）A．25° B．35° C．45° D．50°思路引领：先根据平行线的性质以及角平分线的定义，得到∠AFE的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠A的度数．解：∵CD∥EF，∠C＝∠CFE＝25°，∵FC平分∠AFE，∴∠AFE＝2∠CFE＝50°，又∵AB∥EF，∴∠A＝∠AFE＝50°，故选：D．总结提升：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．9．（朝阳中考真题）如图，已知a∥b，∠1＝50°，∠2＝90°，则∠3的度数为（　　）A．40° B．50° C．150° D．140°思路引领：作c∥a，由于a∥b，可得c∥b．然后根据平行线的性质解答．解：作c∥a，∵a∥b，∴c∥b．∴∠1＝∠5＝50°，∴∠4＝90°﹣50°＝40°，∴∠6＝∠4＝40°，∴∠3＝180°﹣40°＝140°．故选：D．总结提升：本题考查了平行线的性质，作出辅助线是解题的关键．知识点3：同旁内角互补、两直线平行（难点）10．（安顺中考真题）如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线a上．若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）A．100° B．110° C．120° D．130°思路引领：先根据互余计算出∠3＝90°﹣40°＝50°，再根据平行线的性质由a∥b得到∠2＝180°﹣∠3＝130°．解：∵∠1+∠3＝90°，∴∠3＝90°﹣40°＝50°，∵a∥b，∴∠2+∠3＝180°．∴∠2＝180°﹣50°＝130°．故选：D．总结提升：本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．11．（2017•邵阳）如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设的角度大小应为（　　）A．120° B．100° C．80° D．60°思路引领：根据两直线平行，同旁内角互补解答．解：∵铺设的是平行管道，∴另一侧的角度为180°﹣120°＝60°（两直线平行，同旁内角互补）．故选：D．总结提升：本题考查了两直线平行，同旁内角互补的性质，熟记性质是解题的关键．12．（2016•深圳）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝60°，则下列结论错误的是（　　）A．∠2＝60° B．∠3＝60° C．∠4＝120° D．∠5＝40°思路引领：根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，以及对顶角相等等知识分别求出∠2，∠3，∠4，∠5的度数，然后选出错误的选项．解：∵a∥b，∠1＝60°，∴∠3＝∠1＝60°，∠2＝∠1＝60°，∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣60°＝120°，∵三角板为直角三角板，∴∠5＝90°﹣∠3＝90°﹣60°＝30°．故选：D．总结提升：本题考查了平行线的性质，解答本题的关键上掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．13．（2021春•建宁县期中）已知∠1与∠2是同旁内角，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　）A．130° B．50° C．100° D．不能确定思路引领：两直线平行时同旁内角互补，不平行时无法确定同旁内角的大小关系．解：同旁内角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，同旁内角才互补．故选：D．总结提升：本题考查了同位角、内错角、同旁内角．特别注意，同旁内角互补的前提条件是两直线平行．二、易错点易错点1：问题考虑不全面14．如图，已知BE平分∠ABC，DE∥BC，则图中相等的角共有（　　）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对思路引领：根据平行线的性质得到∠DEB＝∠CBE，∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠C，由角平分线的性质得到∠ABE＝∠CBE，等量代换得到∠ABE＝∠DEB，即可得到结论．解：∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC，∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠DBE＝∠DEB．所以图中相等的角共有5对．故选：D．总结提升：这类题首先利用平行线的性质确定内错角相等或同位角相等，然后根据角平分线定义得出其它相等的角．易错点2：平行线的判定和性质混淆15．已知：如图，AB∥DE，点F，点C在AD上，AF＝DC，∠B＝∠E．试说明：BC＝EF．思路引领：根据两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠D，再求出AC＝DF，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，∵AF＝DC，∴AF+CF＝DC+CF，即AC＝DF，在△ABC和△DEF中，∠B=∠E∠A=∠DAC=DF，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴BC＝EF．总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记三角形的判定方法是解题的关键，要注意三角形全等的条件AC＝DF的求解三、拔尖角度角度1：直接利用平行的性质求角度16．如图，AB∥CD，∠B＝42°，∠2＝35°，则∠1＝　 　度，∠A＝　 　度，∠ACB＝　 　度，∠BCD＝　 　度．思路引领：根据平行线的性质可求出∠1，∠A的度数，根据三角形内角和定理即可求出∠ACB的度数，再利用角的和差关系求出∠BCD．解：∵AB∥CD，∠B＝42°，∴∠1＝∠B＝42°，∠A＝∠2＝35°；在△ABC中，∠B＝42°，∠A＝35°，∴∠ACB＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣42°﹣35°＝103°；∠BCD＝∠ACB+∠2＝103°+35°＝138°．总结提升：本题考查的是平行线的性质及三角形的内角和定理，比较简单．17．（2020春•天府新区校级期中）如图，已知∠B+∠BCD＝180°，∠B＝∠D，那么∠E＝∠DFE成立吗？为什么？下面是伊伊同学进行的推理，请你将伊伊同学的推理过程补充完整．解：成立，理由如下：∵∠B+∠BCD＝180°（已知），∴　 （同旁内角互补，两直线平行），∴∠B＝∠DCE（　 ），又因为∠B＝∠D（已知），∴∠DCE＝　 　（　 　），∴AD∥BE（　 　），∴∠E＝∠DFE（　 　）．思路引领：根据平行线的判定与性质即可说明理由．解：成立，理由如下：∵∠B+∠BCD＝180°（已知），∴AB∥DC（同旁内角互补，两直线平行），∴∠B＝∠DCE（两直线平行，同位角相等），又因为∠B＝∠D（已知），∴∠DCE＝∠D（等量代换），∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），∴∠E＝∠DFE（两直线平行，内错角相等）．故答案为：AB∥DC，两直线平行，同位角相等，∠D，等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．总结提升：本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．18．（2022春•江津区期中）如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE平分∠CDB，若∠C＝50°，∠BDE＝60°，则∠A的度数等于（　　）A．70° B．100° C．110° D．120°思路引领：由∠BDE的度数和DE平分∠CDB求出∠CDE，从而求出∠ADC，即可求出∠A．解：∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∵∠BDE＝60°，∴∠CDE＝60°，∴∠ADC＝180°﹣∠BDE﹣∠CDE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵∠C＝50°，∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，故选：A．总结提升：本题考查三角形内角和定理，解题的关键是利用DE平分∠CDB求出∠ADC．角度2：角平分线与平行线综合求角度 19．（2017•重庆）如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数．思路引领：由平角求出∠AED的度数，由角平分线得出∠DEF的度数，再由平行线的性质即可求出∠AFE的度数．解：∵∠AEC＝42°，∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝138°，∵EF平分∠AED，∴∠DEF=12∠AED＝69°，又∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠DEF＝69°．总结提升：本题考查的是平行线的性质以及角平分线的定义．熟练掌握平行线的性质，求出∠DEF的度数是解决问题的关键．20．（2011•张掖校级三模）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，且∠A＝110°，则∠D＝（　　）A．55° B．70° C．90° D．35°思路引领：根据平行线的性质先求得∠ABC的度数，再根据角平分线的性质及平行线的性质求得∠D的度数．解：∵AD∥BC，∠A＝110°，∴∠ABC＝180﹣∠A＝70°；又∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝35°；∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC＝35°．故选：D．总结提升：本题考查了平行线的性质：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．角度3 角度相等的证明问题21．（2022春•鄯善县期末）如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．思路引领：由图中题意可先猜测∠AED＝∠C，那么需证明DE∥BC．题中说∠1+∠2＝180°，而∠1+∠4＝180°所以∠2＝∠4，那么可得到BD∥EF，题中有∠3＝∠B，所以应根据平行得到∠3与∠ADE之间的关系为相等．就得到了∠B与∠ADE之间的关系为相等，那么DE∥BC．∠AED＝∠C．证明：∵∠1+∠4＝180°（邻补角定义）∠1+∠2＝180°（已知）∴∠2＝∠4（同角的补角相等）∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）又∵∠B＝∠3（已知），∴∠ADE＝∠B（等量代换），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．总结提升：本题是先从结论出发得到需证明的条件，又从所给条件入手，得到需证明的条件．属于典型的从两头往中间证明．角度4 为平行线的判定提供条件22．如图：∠1＝∠2，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，你能发现AB与CD的位置关系吗？说明理由．思路引领：直接利用角平分线的定义结合平行线的判定方法分析得出答案．解：AB∥CD，理由：∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠ABE＝∠1，∠2＝∠FCD，又∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD．总结提升：此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．角度5 平行线中拐角问题23．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？思路引领：如图，过点C作CF∥AB，先由AB∥DE，CF∥AB，运用平行线的传递性可得CF∥DE；接下来运用平行线的性质可得∠B＝∠BCF，∠DCF＝∠D，再运用角之间的关系即可得到∠BCD，∠B，∠D之间的关系．解：∠BCD＝∠B﹣∠D．理由：如图，过点C作CF∥AB．∵AB∥CF，∴∠BCF＝∠B．∵CF∥AB，AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠D＝∠DCF，∴∠B﹣∠D＝∠BCF﹣∠DCF．∵∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF，∴∠BCD＝∠B﹣∠D．总结提升：本题侧重考查平行线的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．24．（2021秋•南召县期末）课堂上老师呈现一个问题：下面提供三种思路：思路一：过点F作MN∥CD（如图（1））；思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N；思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N．解答下列问题：（1）根据思路一（图（1）），可求得∠EFG的度数为 　 　；（2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线；（3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的度数的解答过程．思路引领：（1）过F作MN∥CD，根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数；（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；（3）若选择思路二，过P作PN∥EF，根据平行线的性质，可得∠NPD的度数，再根据∠1的度数以及平行线的性质，即可得到∠EFG的度数；若选择思路三，过O作ON∥FG，先根据平行线的性质，得到∠BON的度数，再根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数．解：（1）如图（1），过F作MN∥CD，∵MN∥CD，∠1＝30°，∴∠2＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴AB∥MN，∵AB⊥EF，∴∠3＝∠4＝90°，∴∠EFG＝∠3+∠2＝90°+30°＝120°．故答案为：120°；（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；（3）若选择思路二，理由如下：如图（2），过P作PN∥EF，∵PN∥EF，EF⊥AB，∴∠ONP＝∠EOB＝90°，∵AB∥CD，∴∠NPD＝∠ONP＝90°，又∵∠1＝30°，∴∠NPG＝90°+30°＝120°，∵PN∥EF，∴∠EFG＝∠NPG＝120°；若选择思路三，理由如下：如图（3），过O作ON∥FG，∵ON∥FG，∠1＝30°，∴∠PNO＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴∠BON＝∠PNO＝30°，又∵EF⊥AB，∴∠EON＝∠EOB+∠BON＝90°+30°＝120°，∵ON∥FG，∴∠EFG＝∠EON＝120°．总结提升：本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并正确作出辅助线是解题关键．角度6 平行线的性质的应用问题25．（2022春•乐陵市期末）一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，求∠ABC度数．思路引领：首先过点B作BF∥CD，由CD∥AE，可得CD∥BF∥AE，继而证得∠1+∠BCD＝180°，∠2+∠BAE＝180°，又由BA垂直于地面AE于A，∠BCD＝150°，求得答案．解：过点B作BF∥CD，∵CD∥AE，∴CD∥BF∥AE，∴∠1+∠BCD＝180°，∠2+∠BAE＝180°，∵∠BCD＝150°，∠BAE＝90°，∴∠1＝30°，∠2＝90°，∴∠ABC＝∠1+∠2＝120°．总结提升：此题考查了平行线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．角度7 开放探究性问题26．如图，已知∠ABC与∠ECB互补，∠1＝∠2，则∠P与∠Q一定相等吗？说说你的理由．思路引领：根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠1+∠PBC＝∠2+∠QCB，求出∠PBC＝∠QCB，得出PB∥BC，即可得出结论．解：∠P＝∠Q，理由是：∵∠ABC与∠ECB互补，∴AB∥CD，∴∠1+∠PBC＝∠2+∠QCB，∵∠1＝∠2，∴∠PBC＝∠QCB，∵BP∥BC，∴∠P＝∠Q．总结提升：本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理的应用，能求出∠PBC＝∠QCB是解此题的关键．27．（2021春•西城区校级期末）根据题意结合图形填空：已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC与G，∠E＝∠3，试问：AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由．答：是，理由如下：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），∴∠4＝∠5＝90°（ 　 　），∴AD∥EG（ 　 　），∴∠1＝∠E（ 　 　），∠2＝∠3（ 　 　）．∵∠E＝∠3（已知），∴　 　（等量代换）．∴AD是∠BAC的平分线（ 　 　）．思路引领：首先要根据平行线的判定证明两条直线平行，再根据平行线的性质证明有关的角相等，运用等量代换的方法证明AD所分的两个角相等，即可证明．答：是，理由如下：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），∴∠4＝∠5＝90°（垂直定义），∴AD∥EG（同位角相等，两条直线平行），∴∠1＝∠E（两条直线平行，同位角相等），∠2＝∠3（两条直线平行，内错角相等）；∵∠E＝∠3（已知），∴∠1＝∠2（等量代换），∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的定义）．故答案为：垂直定义；同位角相等，两条直线平行；两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；∠1＝∠2；角平分线的定义．总结提升：本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．28．（2022春•双峰县期末）图形探究：（1）探索：小明和小亮在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．发现：在图①中，小明和小亮都发现：∠APC＝∠A+∠C．应用：在图②中，若∠A＝120°，∠C＝140°，则∠P的度数为 　 　；在图③中，若∠A＝30°，∠C＝70°，则∠P的度数为 　 　．（2）拓展：在图④中，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．思路引领：（1）图②中，过点P作PE∥AB，从而得AB∥CD∥PE，则有∠APE+∠A＝180°，∠C+∠CPE＝180°，从而可求解；图③中，由平行线的性质得∠PEB＝∠C＝70°，再由三角形的外角性质求解即可；（2）延长BA交PC于点E，由平行线的性质得∠BEP＝∠C，再由三角形的外角性质即可求解．解：（1）图②中，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PE，∴∠APE+∠A＝180°，∠C+∠CPE＝180°，∵∠A＝120°，∠C＝140°，∴∠APE＝60°，∠CPE＝40°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝100°；在图③中，∵AB∥CD，∠C＝70°，∴∠BEP＝∠C＝70°，∵∠BEP是△APE的外角，∠A＝30°，∴∠BEP＝∠A+∠P，则∠P＝∠BEP﹣∠A＝40°；故答案为：100°，40°；（2）∠A＝∠C+∠P，理由如下：延长BA交PC于点E，如图④所示，∵AB∥CD，∴∠BEP＝∠C，∵∠BEP是△APE的外角，∴∠BAP＝∠BEP+∠P，则∠BAP＝∠C+∠P．总结提升：本题主要考查平行线的性质，三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB与点O，FG交CD于点P，当∠1＝30°时，求∠EFG的度数．