河南省郑州市桐柏一中2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题

这是一份河南省郑州市桐柏一中2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A. 0.3，0.4，0.5B. 9，40，41C. 6，7，8D. 1，，
【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．
【详解】解：A、0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数；
B、∵，∴9、40、41是勾股数；
C、，∴6，7，8不是勾股数；
D、，均不是整数，∴1，，不是勾股数；
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数．
2. 下列说法正确的个数是（ ）
①实数包括有理数、无理数和零；
②平方根和立方根都等于它本身的数为0和1；
③不带根号的数一定是有理数；
④两个无理数和是无理数．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】①根据实数的分类，可得答案；②根据平方根、立方根，可得答案；③根据有理数的定义，可得答案；④根据实数的运算，可得答案．
【详解】解：①实数包括有理数、无理数，故①错误；
②平方根和立方根都等于它本身的数为0，故②错误；
③有限小数或无限循环小数是有理数，故③错误；
④两个无理数的和是可能是无理数、可能是有理数，故④错误；您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高故选：A．
【点睛】本题考查了实数，实数的分类不能重复、不能遗漏，无理数的运算可能是无理数、可能是有理数．
3. 在下列各式中，计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用合并同类项，开平方和开立方逐一判断即可解题.
【详解】解：A. 不能合并，计算不正确；
B.，计算不正确；
C.，计算不正确；
D. ，计算正确；
故选D.
【点睛】本题考查合并同类项，算术平方根，立方根，掌握运算法则是解题的关键.
4. 若直角三角形两条直角边的长分别为和，则斜边上的高是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理可知，再根据直角三角形面积公式即可解答．
【详解】解：∵直角三角形两条直角边的长分别为和，
即，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即斜边上的高是，
故选．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形面积的两种计算分式，掌握勾股定理是解题的关键．
5. 的算术平方根是（ ）
A. 2B. ±2C. 4D. ±4
【答案】A
【解析】
【分析】由，再求出算术平方根即可．
【详解】因为，
可知4的算术平方根是2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，理解算术平方根的定义是解题的关键．
6. 如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D的面积之和为（ ）

A. 11B. 14C. 17D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】如图：由题意可得,,，再根据全等三角形和勾股定理可得，同理可得，最后求正方形B、D的面积之和即可．
【详解】解：如图：
由题意可得：,,
∴
∴，
∴,
∴,
∵，
∴，
∴,即,
同理：;
∴．

故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，发现各正方形之间的面积关系是解答本题的关键．
7. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
8. 如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么，，…，这些线段中有多少条线段的长度为正整数（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的灵活运用，找到的规律是解题的关键．
根据题意可求得到的值分别为，，，…，，从而可计算到中长度为正整数的个数．
【详解】∵，
，
，
，
……，
∴，，
∴到的值分别为，，，…，，
其中正整数为，，，，，
∴，，…，这些线段中有5条线段的长度为正整数．
故选：C
9. 我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（尺），求这个秋千的绳索有多长？（ ）
A. 12尺B. 尺C. 尺D. 尺
【答案】C
【解析】
【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺和秋千的上端的端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解．
【详解】解：设绳索有x尺长，
则，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（ ）

A B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设其中一个直角三角形的面积为x，则，再根据，可得答案．
【详解】解：设其中一个直角三角形的面积为，
则，，
，
，
，
的值是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，图形面积的关系，表示出和是解题的关键．
二、填空题
11. 请写出一个比大且比小的无理数：_________________ ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据无理数的定义即可写出答案．
【详解】，且为无理数．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查实数的比较，牢记无理数的定义（无限不循环小数叫做无理数）是解题的关键．
12. 如图，，，，一个小球从点A处出发，沿着方向匀速滚向点O，机器人同时从点B出发，沿直线匀速去拦截小球，恰好在C处截住了小球，如果小球与机器人的速度相同，那么机器人行走的路程的长为_______．

【答案】5
【解析】
【分析】根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等得出．设为x，则，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，
∴．
设为x，则，
由勾股定理得：，
又∵，，
∴，
解方程得出．
∴机器人行走的路程是5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查是勾股定理的应用，熟知勾股定理，并根据勾股定理构造方程是解题关键．
13. 实数m，n在数轴上的位置如图，化简：________．

【答案】
【解析】
【分析】根据数轴上点的位置可得，则，据此化简二次根式和绝对值即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，化简二次根式，化简绝对值，正确判断出是解题的关键．
14. 比较大小 ______．（填“>”或“<”）
【答案】>
【解析】
【分析】先用减去，再进行整理，然后两边平方得出与0的大小关系，最后进行移项，即可得出答案．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：>．
【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，解题的关键是通过移项、平方比较出与0的关系，再根据两个正数中绝对值大的数大，两个负数中绝对值大的反而小进行解答．
15. 如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是______．
【答案】5或2
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理的应用及等腰直角三角形的性质．当时，先求出及的长，再在中利用勾股定理求出；当时，作，证明出为等腰直角三角形即可求出即可．
【详解】解：当时，如图，
，，
，
，
，
由折叠得，，
，
设，
，
在中，，
，即；
当时，如图，作，
，
，
，
，
，
．
故答案为：5或2．
三、解答题
16. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再合并，即可；
（2）先根据二次根式的性质，绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂化简，再计算，即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17. 已知一个正数的平方根是和．
（1）求出的值；
（2）求这个正数；
（3）求的平方根．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平方根的特征得出，进行计算即可得到答案；
（2）先求出的值，再平方即可得到答案；
（3）先计算出的值，再求出的平方根即可．
【小问1详解】
解：∵一个正数的平方根是和，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，
这个正数为；
【小问3详解】
解：，
，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、平方根、算术平方根，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
18. 如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）四边形的周长=________；
（2）四边形的面积=________；
（3）是直角吗？判断并说明理由．
【答案】（1）
（2）13 （3）是，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求出、、的长，再求出周长即可；
（2）根据图形得知的面积等于矩形的面积减去3个直角三角形的面积，根据面积公式求出即可；
（3）根据勾股定理逆定理可判断的形状．
【小问1详解】
由勾股定理得：，，，
∵，
∴四边形的周长
，
故答案为：；
【小问2详解】
四边形的面积，
故答案为：9；
【小问3详解】
是直角，
理由是：连接，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
即是直角．
【点睛】本题考查了勾股定理以及其逆定理的运用，解题的关键是善于把不规则图形的面积转化为规则图形的面积．
19. 如图，一辆小汽车在一条限速的公路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为．
（1）求，间的距离；
（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
【答案】（1）
（2）没有超速，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理代入数据即可求得答案．
（2）先根据，间的距离求得小汽车在内行驶的速度，再和限速比较大小即可．
【小问1详解】
解：在中，由，，且为斜边，
根据勾股定理可得．
答：，间的距离为．
【小问2详解】
解：这辆小汽车没有超速，理由如下：
，
而，
，
所以这辆小汽车没有超速．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
20. 我们知道．是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
（1）的整数部分是_________，的小数部分是_________；
（2）若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根；
（3）若，其中是整数，且，求的值．
【答案】（1）3，
（2）
（3）11
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握无理数的大小估算方法．
（1）确定的整数部分，即可确定它的小数部分；确定的整数部分，即可确定的整数部分，从而确定的小数部分；
（2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值，从而求得其平方根；
（3）由得即，从而得，y=，将x、y的值代入原式即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为，
∵，
∴，
∴即，
∴的整数部分为1，
∴的小数部分为，
【小问2详解】
∵，a是的整数部分，
∴，
∵，
∴的整数部分为1，
∵b是的小数部分，
∴，
∴
∵9的平方根等于，
∴的平方根等于；
【小问3详解】
∵，
∴即，
∵，其中x是整数，且，
∴，y=，
∴．
21. 如图，于点B，于点A，点E是中点，若，，求的长．
【答案】的长为12．
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键，延长交于点F，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而根据证明，再利用全等三角形的性质可得，，从而可得，最后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
【详解】解：延长交于点F，如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点E是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴， ，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴的长为．
22. 阅读材料：
把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简．
如：
解答问题：
（1）填空：______．
（2）化简：（请写出计算过程）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据材料提供计算步骤，把化为，根据完全平方公式进行计算即可；
（2）根据材料提供计算步骤，把化为，根据完全平方公式进行计算即可；
（3）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可．
【小问1详解】
解：；
故答案为：；
【小问2详解】
；
故答案为： ；
【小问3详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的化简，解题关键是根据材料提供计算步骤，分析其是利用完全平方公式进行化简，同时运用分母有理化进行裂项相消．
23. 已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰Rt△PCQ，∠PCQ＝90°．探究并解决下列问题：
（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC＝1+，PA＝，求线段PC的长．
（2）如图2，若点P在AB的延长线上，猜想PA2、PB2、PC2之间的数量关系，并证明．
（3）若动点P满足，则的值为 ．
【答案】（1）2；（2）AP2+BP2＝PQ2．理由见解析；（3）或．
【解析】
【分析】（1）在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，从而可求得CD、PD的长，然后在Rt三角形CDP中依据勾股定理可求得PC的长；
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AP=（AD+PD）=（DC+PD），PB=（DP-BD）=（PD-DC），可证明AP2+BP2=2PC2，因为在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；
（3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PD的长（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的长度即可．
【详解】解：（1）如图①所示：
∵△ABC是等腰直直角三角形，AC＝，
∴AB＝ ，
∵PA＝，
∴PB＝AB﹣PA＝，
∵△ABC和△PCQ均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，PC＝CQ，∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACP＝∠BCQ，
在△APC和△BQC中，，
∴△APC≌△BQC（SAS）．
∴BQ＝AP＝，∠CBQ＝∠A＝45°．
∴△PBQ为直角三角形．
∴PQ＝．
∴PC＝PQ＝2．
故答案为2；
（2）AP2+BP2＝PQ2．理由如下：
如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD＝AD＝DB．
∵AP2＝（AD+PD）2＝（DC+PD）2＝CD2+2DC•PD+PD2，
PB2＝（DP﹣BD）2＝（PD﹣DC）2＝DC2﹣2DC•PD+PD2，
∴AP2+BP2＝2CD2+2PD2，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2＝DC2+PD2，
∴AP2+BP2＝2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2＝PQ2．
∴AP2+BP2＝PQ2．
（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
①当点P位于点P1处时．
，
．
．
Rt△CP1D中，由勾股定理得： ，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：，
．
②当点P位于点P2处时．
，
∴P2A＝AB＝DC．
在Rt△CP2D中，由勾股定理得：，
在Rt△ACD中，由勾股定理得： ，
．
综上所述，的比值为或；
故答案为或．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识；解本题的关键是作图辅助线，熟练应用勾股定理和构造全等三角形．