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高考数学二轮复习压轴题专题23 双曲线（解答题压轴题）（2份打包，原卷版+教师版）
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这是一份高考数学二轮复习压轴题专题23 双曲线（解答题压轴题）（2份打包，原卷版+教师版），文件包含高考数学二轮复习压轴题专题23双曲线解答题压轴题原卷版doc、高考数学二轮复习压轴题专题23双曲线解答题压轴题教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27074" ①双曲线的弦长问题 PAGEREF _Tc27074 \h 1
\l "_Tc22081" ②双曲线的中点弦问题 PAGEREF _Tc22081 \h 2
\l "_Tc29044" ③双曲线中的参数及范围问题 PAGEREF _Tc29044 \h 4
\l "_Tc10489" ④双曲线中的最值问题 PAGEREF _Tc10489 \h 6
\l "_Tc9602" ⑤双曲线中面积问题 PAGEREF _Tc9602 \h 8
\l "_Tc19273" ⑥双曲线中定点、定值、定直线问题 PAGEREF _Tc19273 \h 10
\l "_Tc14778" ⑦双曲线中向量问题 PAGEREF _Tc14778 \h 12
\l "_Tc31049" ⑧双曲线综合问题 PAGEREF _Tc31049 \h 13
①双曲线的弦长问题
1．（2023秋·山东青岛·高二校考期末）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ．请从①②③中选取两个作为条件补充到题中，并完成下列问题．① SKIPIF 1 < 0 ；②离心率为2；③与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点相同．
(1)求C的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与C交于A，B两点，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
2．（2023秋·广西柳州·高二校考期末）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，焦点F到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，当l过双曲线C的右焦点时，求弦长|AB|的值．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（ SKIPIF 1 < 0 ，0）．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝x+2与双曲线交于A，B两点，求弦长|AB|．
4．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦距为6，且虚轴长是实轴长的 SKIPIF 1 < 0 倍.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线l与双曲线交于A，B两点，求 SKIPIF 1 < 0 .
②双曲线的中点弦问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点M，且它们的斜率之积是3.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由．
2．（2023秋·内蒙古包头·高二统考期末）如图1、2，已知圆 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ．M是圆 SKIPIF 1 < 0 上动点，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；
(2)记点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 是否存在一条直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于两点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 中点．
3．（2023秋·高二课时练习）已知焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的双曲线实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，其一条渐近线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 能否作直线 SKIPIF 1 < 0 ，使直线 SKIPIF 1 < 0 与所给双曲线交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，且点 SKIPIF 1 < 0 是弦 SKIPIF 1 < 0 的中点？如果直线 SKIPIF 1 < 0 存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．
4．（2023·全国·高二专题练习）中心在原点的双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点在x轴上，且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：
①该曲线经过点 SKIPIF 1 < 0 ；
②该曲线的渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切；
③点 SKIPIF 1 < 0 在该双曲线上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为该双曲线的左、右焦点，当点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 时，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过定点 SKIPIF 1 < 0 能否作直线 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 与此双曲线相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 是弦 SKIPIF 1 < 0 的中点?若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，说明理由．
5．（2023·全国·高二专题练习）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，一个焦点到该渐近线的距离为2．
(1)求C的方程；
(2)是否存在直线l，经过点 SKIPIF 1 < 0 且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．
③双曲线中的参数及范围问题
1．（2023春·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期中）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ；
(1)求此双曲线的渐近线方程；
(2)若经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支交于不同两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求线段 SKIPIF 1 < 0 的中垂线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
2．（2023秋·浙江杭州·高二校考期末）已知点 SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左顶点和右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线与双曲线第一象限部分交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的左、右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与双曲线的两条渐近线分别交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）．若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
3．（2023春·贵州黔西·高二校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
4．（2023·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右两个顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点为顶点，焦距为 SKIPIF 1 < 0 的双曲线，设点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限且在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交于另一点 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点的横坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求证 SKIPIF 1 < 0 为一定值；
（3）设△ SKIPIF 1 < 0 与△ SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
④双曲线中的最值问题
1．（2023·江苏·高二假期作业）在直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中,直线 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线,点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上,设 SKIPIF 1 < 0 为双曲线上的动点,直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程;
(2)在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ,若存在,求 SKIPIF 1 < 0 点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)求 SKIPIF 1 < 0 点的坐标,使得 SKIPIF 1 < 0 的面积最小.
2．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，虚轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，两准线间的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设动直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，已知 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 到动直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
3．（2023秋·江苏·高二校联考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，O为坐标原点，离心率 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上．
（1）求双曲线的方程 SKIPIF 1 < 0
（2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
4．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期中）.已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足条件 SKIPIF 1 < 0 .记动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的不同两点， SKIPIF 1 < 0 是坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
5．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，焦距为4，右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R，S两点，且∠RAS＝60°.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限， SKIPIF 1 < 0 的角平分线记为l，过点M做l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点N，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
⑤双曲线中面积问题
1．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 为其左右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 为其右支上一点，在 SKIPIF 1 < 0 处作双曲线的切线 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的角平分线；
(2)过 SKIPIF 1 < 0 分别作 SKIPIF 1 < 0 的平行线 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 交双曲线于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 交双曲线于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的面积之积 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
2．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线上，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于B，C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为0．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率；
(2)若M为双曲线E上任意一点，过点M作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于点P，Q，求△MPQ的面积．
3．（2023·全国·高二专题练习）P是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．
(1)记P，Q的纵坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，且C的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求C的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 交C的左支于P，Q两点，且直线AP，AQ的斜率之和为0，若 SKIPIF 1 < 0 ，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
5．（2023·全国·高二专题练习）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，A为垂足且位于第一象限，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形 SKIPIF 1 < 0 （O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为1， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
⑥双曲线中定点、定值、定直线问题
1．（2023秋·山东·高三校联考开学考试）如图，已知点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且不与 SKIPIF 1 < 0 轴重合的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 分别交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .过 SKIPIF 1 < 0 的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求C的方程；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 为定值.
3．（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的左右顶点， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的点，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为垂足，证明：存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值．
4．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线上异于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的任意一点，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率乘积为 SKIPIF 1 < 0 ．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设不同于顶点的两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距之比为 SKIPIF 1 < 0 ．试问直线 SKIPIF 1 < 0 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
5．（2023春·黑龙江·高三校联考开学考试）已知双曲线Γ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为Γ的左、右顶点， SKIPIF 1 < 0 为Γ上一点， SKIPIF 1 < 0 的斜率与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ．过点 SKIPIF 1 < 0 且不垂直于x轴的直线l与Γ交于M，N两点．
(1)求Γ的方程；
(2)若点E，F为直线 SKIPIF 1 < 0 上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称的两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.
⑦双曲线中向量问题
1．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知双曲线C的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当 SKIPIF 1 < 0 时，求直线l的方程.
2．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，焦点在x轴上的双曲线C过点 SKIPIF 1 < 0 ，且有一条倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的渐近线.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设点F为双曲线C的右焦点，点P在C的右支上，点Q满足 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线C于A，B两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求点P的坐标.
3．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
4．（2023春·山东济南·高二统考期末）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．
(1)求C的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与C交于M，N两点，且C上存在点P﹐满足 SKIPIF 1 < 0 ，求实数t的值．
⑧双曲线综合问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的两个点，且关于原点对称． SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线互相垂直．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上一点，直线 SKIPIF 1 < 0 分别与直线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
2．（2023秋·辽宁阜新·高三阜新市高级中学校考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线分别为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线E的离心率；
(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 分别在第一，四象限），且 SKIPIF 1 < 0 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由.
3．（2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 有唯一的公共点M.
(1)若点 SKIPIF 1 < 0 在直线l上，求直线l的方程；
(2)过点M且与直线l垂直的直线分别交x轴于 SKIPIF 1 < 0 ，y轴于 SKIPIF 1 < 0 两点.是否存在定点G，H，使得M在双曲线上运动时，动点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 为定值.
4．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若C上的点M满足 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
(1)求C的方程；
(2)若过点M的直线l与C的两条渐近线交于P，Q两点，且 SKIPIF 1 < 0 .
（i）证明：l与C有且仅有一个交点；
（ii）求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
5．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）过双曲线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 作两条渐近线的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
(2)已知点 SKIPIF 1 < 0 ，两个不重合的动点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，试问是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值？若是，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标和 SKIPIF 1 < 0 ；若不存在，请说明理由．
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27074" ①双曲线的弦长问题 PAGEREF _Tc27074 \h 1
\l "_Tc22081" ②双曲线的中点弦问题 PAGEREF _Tc22081 \h 2
\l "_Tc29044" ③双曲线中的参数及范围问题 PAGEREF _Tc29044 \h 4
\l "_Tc10489" ④双曲线中的最值问题 PAGEREF _Tc10489 \h 6
\l "_Tc9602" ⑤双曲线中面积问题 PAGEREF _Tc9602 \h 8
\l "_Tc19273" ⑥双曲线中定点、定值、定直线问题 PAGEREF _Tc19273 \h 10
\l "_Tc14778" ⑦双曲线中向量问题 PAGEREF _Tc14778 \h 12
\l "_Tc31049" ⑧双曲线综合问题 PAGEREF _Tc31049 \h 13
①双曲线的弦长问题
1．（2023秋·山东青岛·高二校考期末）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ．请从①②③中选取两个作为条件补充到题中，并完成下列问题．① SKIPIF 1 < 0 ；②离心率为2；③与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点相同．
(1)求C的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与C交于A，B两点，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
2．（2023秋·广西柳州·高二校考期末）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，焦点F到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，当l过双曲线C的右焦点时，求弦长|AB|的值．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（ SKIPIF 1 < 0 ，0）．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝x+2与双曲线交于A，B两点，求弦长|AB|．
4．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦距为6，且虚轴长是实轴长的 SKIPIF 1 < 0 倍.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线l与双曲线交于A，B两点，求 SKIPIF 1 < 0 .
②双曲线的中点弦问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点M，且它们的斜率之积是3.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由．
2．（2023秋·内蒙古包头·高二统考期末）如图1、2，已知圆 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ．M是圆 SKIPIF 1 < 0 上动点，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；
(2)记点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 是否存在一条直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于两点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 中点．
3．（2023秋·高二课时练习）已知焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的双曲线实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，其一条渐近线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 能否作直线 SKIPIF 1 < 0 ，使直线 SKIPIF 1 < 0 与所给双曲线交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，且点 SKIPIF 1 < 0 是弦 SKIPIF 1 < 0 的中点？如果直线 SKIPIF 1 < 0 存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．
4．（2023·全国·高二专题练习）中心在原点的双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点在x轴上，且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：
①该曲线经过点 SKIPIF 1 < 0 ；
②该曲线的渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切；
③点 SKIPIF 1 < 0 在该双曲线上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为该双曲线的左、右焦点，当点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 时，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过定点 SKIPIF 1 < 0 能否作直线 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 与此双曲线相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 是弦 SKIPIF 1 < 0 的中点?若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，说明理由．
5．（2023·全国·高二专题练习）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，一个焦点到该渐近线的距离为2．
(1)求C的方程；
(2)是否存在直线l，经过点 SKIPIF 1 < 0 且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．
③双曲线中的参数及范围问题
1．（2023春·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期中）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ；
(1)求此双曲线的渐近线方程；
(2)若经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支交于不同两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求线段 SKIPIF 1 < 0 的中垂线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
2．（2023秋·浙江杭州·高二校考期末）已知点 SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左顶点和右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线与双曲线第一象限部分交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的左、右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与双曲线的两条渐近线分别交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）．若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
3．（2023春·贵州黔西·高二校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
4．（2023·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右两个顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点为顶点，焦距为 SKIPIF 1 < 0 的双曲线，设点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限且在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交于另一点 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点的横坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求证 SKIPIF 1 < 0 为一定值；
（3）设△ SKIPIF 1 < 0 与△ SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
④双曲线中的最值问题
1．（2023·江苏·高二假期作业）在直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中,直线 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线,点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上,设 SKIPIF 1 < 0 为双曲线上的动点,直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程;
(2)在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ,若存在,求 SKIPIF 1 < 0 点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)求 SKIPIF 1 < 0 点的坐标,使得 SKIPIF 1 < 0 的面积最小.
2．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，虚轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，两准线间的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设动直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，已知 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 到动直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
3．（2023秋·江苏·高二校联考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，O为坐标原点，离心率 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上．
（1）求双曲线的方程 SKIPIF 1 < 0
（2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
4．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期中）.已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足条件 SKIPIF 1 < 0 .记动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的不同两点， SKIPIF 1 < 0 是坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
5．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，焦距为4，右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R，S两点，且∠RAS＝60°.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限， SKIPIF 1 < 0 的角平分线记为l，过点M做l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点N，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
⑤双曲线中面积问题
1．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 为其左右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 为其右支上一点，在 SKIPIF 1 < 0 处作双曲线的切线 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的角平分线；
(2)过 SKIPIF 1 < 0 分别作 SKIPIF 1 < 0 的平行线 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 交双曲线于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 交双曲线于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的面积之积 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
2．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线上，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于B，C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为0．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率；
(2)若M为双曲线E上任意一点，过点M作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于点P，Q，求△MPQ的面积．
3．（2023·全国·高二专题练习）P是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．
(1)记P，Q的纵坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，且C的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求C的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 交C的左支于P，Q两点，且直线AP，AQ的斜率之和为0，若 SKIPIF 1 < 0 ，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
5．（2023·全国·高二专题练习）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，A为垂足且位于第一象限，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形 SKIPIF 1 < 0 （O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为1， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
⑥双曲线中定点、定值、定直线问题
1．（2023秋·山东·高三校联考开学考试）如图，已知点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且不与 SKIPIF 1 < 0 轴重合的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 分别交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .过 SKIPIF 1 < 0 的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求C的方程；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 为定值.
3．（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的左右顶点， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的点，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为垂足，证明：存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值．
4．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线上异于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的任意一点，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率乘积为 SKIPIF 1 < 0 ．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设不同于顶点的两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距之比为 SKIPIF 1 < 0 ．试问直线 SKIPIF 1 < 0 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
5．（2023春·黑龙江·高三校联考开学考试）已知双曲线Γ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为Γ的左、右顶点， SKIPIF 1 < 0 为Γ上一点， SKIPIF 1 < 0 的斜率与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ．过点 SKIPIF 1 < 0 且不垂直于x轴的直线l与Γ交于M，N两点．
(1)求Γ的方程；
(2)若点E，F为直线 SKIPIF 1 < 0 上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称的两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.
⑦双曲线中向量问题
1．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知双曲线C的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当 SKIPIF 1 < 0 时，求直线l的方程.
2．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，焦点在x轴上的双曲线C过点 SKIPIF 1 < 0 ，且有一条倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的渐近线.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设点F为双曲线C的右焦点，点P在C的右支上，点Q满足 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线C于A，B两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求点P的坐标.
3．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
4．（2023春·山东济南·高二统考期末）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．
(1)求C的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与C交于M，N两点，且C上存在点P﹐满足 SKIPIF 1 < 0 ，求实数t的值．
⑧双曲线综合问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的两个点，且关于原点对称． SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线互相垂直．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上一点，直线 SKIPIF 1 < 0 分别与直线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
2．（2023秋·辽宁阜新·高三阜新市高级中学校考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线分别为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线E的离心率；
(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 分别在第一，四象限），且 SKIPIF 1 < 0 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由.
3．（2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 有唯一的公共点M.
(1)若点 SKIPIF 1 < 0 在直线l上，求直线l的方程；
(2)过点M且与直线l垂直的直线分别交x轴于 SKIPIF 1 < 0 ，y轴于 SKIPIF 1 < 0 两点.是否存在定点G，H，使得M在双曲线上运动时，动点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 为定值.
4．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若C上的点M满足 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
(1)求C的方程；
(2)若过点M的直线l与C的两条渐近线交于P，Q两点，且 SKIPIF 1 < 0 .
（i）证明：l与C有且仅有一个交点；
（ii）求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
5．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）过双曲线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 作两条渐近线的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
(2)已知点 SKIPIF 1 < 0 ，两个不重合的动点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，试问是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值？若是，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标和 SKIPIF 1 < 0 ；若不存在，请说明理由．
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