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高考数学二轮复习压轴题专题10 利用导数研究双变量问题（全题型压轴题）（2份打包，原卷版+教师版）
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这是一份高考数学二轮复习压轴题专题10 利用导数研究双变量问题（全题型压轴题）（2份打包，原卷版+教师版），文件包含高考数学二轮复习压轴题专题10利用导数研究双变量问题全题型压轴题原卷版doc、高考数学二轮复习压轴题专题10利用导数研究双变量问题全题型压轴题教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc21522" ② SKIPIF 1 < 0 型（或 SKIPIF 1 < 0 型） PAGEREF _Tc21522 \h 8
\l "_Tc5301" ③构造函数法 PAGEREF _Tc5301 \h 15
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① SKIPIF 1 < 0 型
1．（2023春·四川宜宾·高二四川省高县中学校校考期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的取值范围是 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，函数的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，函数的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
2．（2023秋·吉林长春·高三长春市第五中学校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）．
A．1B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】解：由题意，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
3．（多选）（2023春·广东潮州·高二统考期末）对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C．若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，则 SKIPIF 1 < 0
D．设 SKIPIF 1 < 0 ，若对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【详解】对于A选项， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以A选项错误；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由 SKIPIF 1 < 0 两边乘以 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以B选项正确；
对于C选项，令 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以在区间 SKIPIF 1 < 0 递减，
在区间 SKIPIF 1 < 0 递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
由此画出 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，
由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，
即当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，所以C选项错误；
对于D选项，由上述分析可知， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
要使“对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立”，
则需 SKIPIF 1 < 0 ，所以D选项正确．
故选：BD.
4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数，若存在实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：记 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 单调，
所以有， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ；
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取极大值也是最大值，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)记函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
（i）求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
（ii）若存在实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)（i） SKIPIF 1 < 0 ；（ii） SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0
（i） SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 有两异号实数根，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 有唯一零点 SKIPIF 1 < 0 .
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在上 SKIPIF 1 < 0 递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
代入可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
（ii） SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
不妨令 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 有两异号实数根，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 有唯一零点 SKIPIF 1 < 0 .且 SKIPIF 1 < 0 .
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，所以 SKIPIF 1 < 0 .
其中 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 （当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ），所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
6．（2023·高二课时练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恰有两个不同的实数根，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，总存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恰有两个不同的实数根，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恰有两个不同的实数根，
当 SKIPIF 1 < 0 时，等式不成立，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有 SKIPIF 1 < 0 个实数根，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上均为增函数；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
综上可得： SKIPIF 1 < 0
（3）由（1）中 SKIPIF 1 < 0 得：
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数为减函数；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数为增函数；
故当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
由对任意 SKIPIF 1 < 0 ，总存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
满足对任意 SKIPIF 1 < 0 ，总存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
由对任意 SKIPIF 1 < 0 ，总存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
综上可得： SKIPIF 1 < 0
7．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，总存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为A， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为B.
依题意得： SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时取得极小值，由于只有一个极小值也就是最小值.
由题设知 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以
（1）当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以需要满足 SKIPIF 1 < 0 ，此方程组无解，故舍去.
（2）当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以需要满足 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
（3）当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意.
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
② SKIPIF 1 < 0 型（或 SKIPIF 1 < 0 型）
1．（2023春·四川绵阳·高二期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
故存在唯一 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2．（2023春·上海闵行·高一校考期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值，并求出取得最大值时所有 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，设 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，求实数a的取值范围.
【答案】(1)1， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,
所以当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，所以 SKIPIF 1 < 0 ,此时 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
所以 m 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ;
（3）因为 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ,
则有 SKIPIF 1 < 0 图像是开口向下，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 的抛物线，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ;
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ,
综上所述： SKIPIF 1 < 0 所以实数 a 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
3．（2023春·天津静海·高二静海一中校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数）
(1)求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程.
(2)存在 SKIPIF 1 < 0 成立，求a的取值范围.
(3)对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即切点坐标 SKIPIF 1 < 0 ，切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴原题意等价于存在 SKIPIF 1 < 0 成立，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）因为对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 开口向下，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，则有：
①当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围 SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023·全国·高三专题练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )．设 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】“对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立”，等价于
“在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 的最大值大于或等于 SKIPIF 1 < 0 的最大值”．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立， SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
5．（2023春·河南焦作·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在零点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若a＞1，且对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，求a的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
则由零点存在定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
因为a＞1，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
当1＜a＜2时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不符合条件，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，符合条件，
所以a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2023春·河南信阳·高一校考期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值，并用单调性的定义判断 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性；
(2)在（1）的条件下，若对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是单调增函数．
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 为偶函数，∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，经验检 ， SKIPIF 1 < 0 满足题意，
设任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是单调增函数．
（2） SKIPIF 1 < 0 ．
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立．
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
由 SKIPIF 1 < 0 有意义，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 有意义，得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立．
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立．
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
③构造函数法
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得出 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
2．（2023·全国·高二专题练习）若对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C．
3．（多选）（2023春·广东云浮·高三校考阶段练习）若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则m的值可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】BCD
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则只需要 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减即可，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以BCD符合，
故选：BCD.
4．（2023·青海西宁·统考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)任取两个正数 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
综上所述，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
（2）证明：由题意得， SKIPIF 1 < 0 .
要证 SKIPIF 1 < 0 ，
只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以只需证 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即证 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
5．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与 SKIPIF 1 < 0 轴平行，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(3)证明：若 SKIPIF 1 < 0 ，则对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)答案不唯一，具体见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 的导数为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增．
SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 单调递增．
SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 单调递增．
（3）欲证 SKIPIF 1 < 0 成立，
即证明 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设函数 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调增加，
从而当 SKIPIF 1 < 0 时有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 成立．
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\l "_Tc21522" ② SKIPIF 1 < 0 型（或 SKIPIF 1 < 0 型） PAGEREF _Tc21522 \h 8
\l "_Tc5301" ③构造函数法 PAGEREF _Tc5301 \h 15
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① SKIPIF 1 < 0 型
1．（2023春·四川宜宾·高二四川省高县中学校校考期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的取值范围是 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，函数的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，函数的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
2．（2023秋·吉林长春·高三长春市第五中学校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）．
A．1B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】解：由题意，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
3．（多选）（2023春·广东潮州·高二统考期末）对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C．若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，则 SKIPIF 1 < 0
D．设 SKIPIF 1 < 0 ，若对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【详解】对于A选项， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以A选项错误；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由 SKIPIF 1 < 0 两边乘以 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以B选项正确；
对于C选项，令 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以在区间 SKIPIF 1 < 0 递减，
在区间 SKIPIF 1 < 0 递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
由此画出 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，
由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，
即当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，所以C选项错误；
对于D选项，由上述分析可知， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
要使“对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立”，
则需 SKIPIF 1 < 0 ，所以D选项正确．
故选：BD.
4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数，若存在实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：记 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 单调，
所以有， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ；
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取极大值也是最大值，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)记函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
（i）求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
（ii）若存在实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)（i） SKIPIF 1 < 0 ；（ii） SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0
（i） SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 有两异号实数根，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 有唯一零点 SKIPIF 1 < 0 .
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在上 SKIPIF 1 < 0 递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
代入可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
（ii） SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
不妨令 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 有两异号实数根，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 有唯一零点 SKIPIF 1 < 0 .且 SKIPIF 1 < 0 .
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，所以 SKIPIF 1 < 0 .
其中 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 （当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ），所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
6．（2023·高二课时练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恰有两个不同的实数根，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，总存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恰有两个不同的实数根，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恰有两个不同的实数根，
当 SKIPIF 1 < 0 时，等式不成立，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有 SKIPIF 1 < 0 个实数根，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上均为增函数；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
综上可得： SKIPIF 1 < 0
（3）由（1）中 SKIPIF 1 < 0 得：
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数为减函数；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数为增函数；
故当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
由对任意 SKIPIF 1 < 0 ，总存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
满足对任意 SKIPIF 1 < 0 ，总存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
由对任意 SKIPIF 1 < 0 ，总存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
综上可得： SKIPIF 1 < 0
7．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，总存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为A， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为B.
依题意得： SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时取得极小值，由于只有一个极小值也就是最小值.
由题设知 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以
（1）当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以需要满足 SKIPIF 1 < 0 ，此方程组无解，故舍去.
（2）当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以需要满足 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
（3）当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意.
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
② SKIPIF 1 < 0 型（或 SKIPIF 1 < 0 型）
1．（2023春·四川绵阳·高二期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
故存在唯一 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2．（2023春·上海闵行·高一校考期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值，并求出取得最大值时所有 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，设 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，求实数a的取值范围.
【答案】(1)1， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,
所以当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，所以 SKIPIF 1 < 0 ,此时 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
所以 m 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ;
（3）因为 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ,
则有 SKIPIF 1 < 0 图像是开口向下，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 的抛物线，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ;
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ,
综上所述： SKIPIF 1 < 0 所以实数 a 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
3．（2023春·天津静海·高二静海一中校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数）
(1)求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程.
(2)存在 SKIPIF 1 < 0 成立，求a的取值范围.
(3)对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即切点坐标 SKIPIF 1 < 0 ，切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴原题意等价于存在 SKIPIF 1 < 0 成立，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）因为对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 开口向下，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，则有：
①当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围 SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023·全国·高三专题练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )．设 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】“对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立”，等价于
“在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 的最大值大于或等于 SKIPIF 1 < 0 的最大值”．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立， SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
5．（2023春·河南焦作·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在零点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若a＞1，且对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，求a的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
则由零点存在定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
因为a＞1，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
当1＜a＜2时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不符合条件，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，符合条件，
所以a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2023春·河南信阳·高一校考期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值，并用单调性的定义判断 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性；
(2)在（1）的条件下，若对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是单调增函数．
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 为偶函数，∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，经验检 ， SKIPIF 1 < 0 满足题意，
设任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是单调增函数．
（2） SKIPIF 1 < 0 ．
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立．
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
由 SKIPIF 1 < 0 有意义，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 有意义，得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立．
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立．
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
③构造函数法
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得出 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
2．（2023·全国·高二专题练习）若对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C．
3．（多选）（2023春·广东云浮·高三校考阶段练习）若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则m的值可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】BCD
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则只需要 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减即可，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以BCD符合，
故选：BCD.
4．（2023·青海西宁·统考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)任取两个正数 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
综上所述，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
（2）证明：由题意得， SKIPIF 1 < 0 .
要证 SKIPIF 1 < 0 ，
只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以只需证 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即证 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
5．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与 SKIPIF 1 < 0 轴平行，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(3)证明：若 SKIPIF 1 < 0 ，则对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)答案不唯一，具体见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 的导数为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增．
SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 单调递增．
SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 单调递增．
（3）欲证 SKIPIF 1 < 0 成立，
即证明 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设函数 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调增加，
从而当 SKIPIF 1 < 0 时有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 成立．
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