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专题23 双曲线（解答题压轴题）（学生+教师版）--310高考数学压轴题（新高考版）
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这是一份专题23 双曲线（解答题压轴题）（学生+教师版）--310高考数学压轴题（新高考版），文件包含专题23双曲线解答题压轴题教师版docx、专题23双曲线解答题压轴题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27074" ①双曲线的弦长问题 PAGEREF _Tc27074 \h 1
\l "_Tc22081" ②双曲线的中点弦问题 PAGEREF _Tc22081 \h 4
\l "_Tc29044" ③双曲线中的参数及范围问题 PAGEREF _Tc29044 \h 9
\l "_Tc10489" ④双曲线中的最值问题 PAGEREF _Tc10489 \h 14
\l "_Tc9602" ⑤双曲线中面积问题 PAGEREF _Tc9602 \h 21
\l "_Tc19273" ⑥双曲线中定点、定值、定直线问题 PAGEREF _Tc19273 \h 29
\l "_Tc14778" ⑦双曲线中向量问题 PAGEREF _Tc14778 \h 39
\l "_Tc31049" ⑧双曲线综合问题 PAGEREF _Tc31049 \h 43
①双曲线的弦长问题
1．（2023秋·山东青岛·高二校考期末）已知双曲线．请从①②③中选取两个作为条件补充到题中，并完成下列问题．①；②离心率为2；③与椭圆的焦点相同．
(1)求C的方程；
(2)直线与C交于A，B两点，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选①②，可得，，解得，所以C的方程为；
选①③，可得，，解得，所以C的方程为；
选②③，可得，，解得，，所以C的方程为；
（2）设，，联立，消掉y，整理得，
所以，因为，
所以．
2．（2023秋·广西柳州·高二校考期末）已知双曲线C：经过点，焦点F到渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，当l过双曲线C的右焦点时，求弦长|AB|的值．
【答案】(1)
(2)24
【详解】（1）若焦点F（c，0），其到渐近线的距离，
又因为双曲线C：经过点，
所以，解得a＝2，所以双曲线C的方程为；
（2）由（1）知双曲线的右焦点为，所以直线l方程为：
设点，，
联立，
得，
所以，，
从而.
所以弦长|AB|的值为24．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝x+2与双曲线交于A，B两点，求弦长|AB|．
【答案】(1)y2＝1
(2)2
【详解】（1）由已知得a，c＝2，
再由c2＝a2+b2，得b2＝1，
所以双曲线C的方程为y2＝1．
（2）由直线与双曲线联立得2x2+12x+15＝0，
解得x＝﹣3±,
,
∴|AB|2．
4．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍.
得，且，又，
解得,
所以，
所以双曲线方程为.
（2）由（1）可知双曲线的右焦点为，所以直线的方程为，
设，
由，得，
所以，
所以.
②双曲线的中点弦问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，直线相交于点M，且它们的斜率之积是3.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过点能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【详解】（1）设，
∵，，
∴，整理得
即点M的轨迹C的方程．
（2）若能作出直线m，则直线m的斜率存在，设为k，设
则，两式相减得
整理可
∵N是线段的中点，即，
故直线m的方程为，即，
将直线方程代入双曲线方程可得
，此时直线与双曲线不相交．
故不能作出这样的直线m．
2．（2023秋·内蒙古包头·高二统考期末）如图1、2，已知圆方程为，点．M是圆上动点，线段的垂直平分线交直线于点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)记点的轨迹为曲线，过点是否存在一条直线，使得直线与曲线交于两点，且是线段中点．
【答案】(1)
(2)不存在这样的直线
【详解】（1）由中垂线性质知，
所以
所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线
设此双曲线方程为，则
所以点的轨迹方程为．
（2）设可得
两式相减得
由题意，所以
直线方程为，
由，得
∵．∴不存在这样的直线．
3．（2023秋·高二课时练习）已知焦点在轴上的双曲线实轴长为，其一条渐近线斜率为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于、两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）解：因为双曲线的焦点在轴上，设该双曲线的标准方程为，
因为该双曲线的实轴长为，一条渐近线斜率为，则，解得，
因此，该双曲线的标准方程为.
（2）解：假定直线存在，设以为中点的弦的两端点为、，
则有，．
根据双曲线的对称性知．由点、在双曲线上，
得，，
两式相减得，
所以，所以，
即以为中点的弦所在直线的斜率，
故直线的方程为，即．
联立，消去得，
，
因此直线与双曲线无交点，故满足条件的直线不存在．
4．（2023·全国·高二专题练习）中心在原点的双曲线的焦点在x轴上，且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：
①该曲线经过点；
②该曲线的渐近线与圆相切；
③点在该双曲线上，，为该双曲线的左、右焦点，当点的纵坐标为时，以，为直径的圆经过点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过定点能否作直线，使与此双曲线相交于两点，且是弦的中点?若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）设双曲线的标准方程为，
选①，由题意可知，双曲线的两个焦点分别为，，
由双曲线的定义可得，故，
则，所以双曲线的标准方程为.
选②，因为圆的方程为，圆心为，半径为，
双曲线的渐近线方程为，
由题意可得，解得，即，
因为，则，
因此双曲线的标准方程为.
选③，因为以为直径的圆经过点，所以，
由勾股定理可得，则，
所以，
从而，则，
故，
所以双曲线的标准方程为.
（2）假设满足条件的直线存在，设点，，
则，由题意可得，
两式作差并化简得，
所以直线的斜率为，
从而直线的方程为，即，
联立，整理可得，
易得，因此直线不存在.
5．（2023·全国·高二专题练习）双曲线的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为2．
(1)求C的方程；
(2)是否存在直线l，经过点且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；.
【详解】（1）双曲线的渐近线为，
因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，所以双曲线方程为
（2）假设存在，由题意知：直线的斜率存在，设，，直线的斜率为，则，，
所以，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以直线的方程为.
③双曲线中的参数及范围问题
1．（2023春·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期中）已知双曲线：的离心率为；
(1)求此双曲线的渐近线方程；
(2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）双曲线的离心率为．，可得，所以．
可得双曲线．
可得双曲线的渐近线方程为：．
（2）设经过点的直线方程为，，，，，
联立方程组，消去得：，
，解得．
的中点为，
线段的中垂线方程为：，
令得截距．
即线段的中垂线在轴上截距的取值范围是．
2．（2023秋·浙江杭州·高二校考期末）已知点分别为双曲线的左顶点和右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线第一象限部分交于点，的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，记，的面积分别为，（为坐标原点）．若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知，所以，，
由已知，可得，
则，
解得，
所以双曲线的方程为.
（2）设，
联立，整理可得
所以，解得，
由，可得，
，
原点到直线的距离，
所以
设，，易知渐近线方程为，
不妨设在渐近线上，
由得，同理，
所以，
到直线的距离，
所以
所以，
，则
令，则
故的取值范围是
3．（2023春·贵州黔西·高二校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【详解】解：（1）因为双曲线为等轴双曲线，
所以，设双曲线的焦距为2c，，
故，即．
因为BC过右焦点F，且垂直于x轴，
将代入，可得，故．
将的面积为，
所以，即，
所以，，故双曲线E的方程为．
（2）依题意，直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，
联立方程组消去y可得，，
所以解得，且
所以
．
联立方程组得，同理，
所以．
所以，其中，
所以．
4．（2023·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）已知椭圆的左、右两个顶点分别为、，曲线是以、两点为顶点，焦距为的双曲线，设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点.
（1）求曲线的方程；
（2）设、两点的横坐标分别为、，求证为一定值；
（3）设△与△（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）.
【详解】（1）由椭圆方程可得：，，即双曲线中，
又双曲线焦距为
曲线的方程为：
（2）由题意可知，直线斜率存在，则可设
联立得：
，
椭圆与直线联立得：可得：
，即为定值
（3）由（2）可设，
则，
又点在双曲线上 ，解得：
又位于第一象限
，
令
在上单调递减，在上单调递增
，
的取值范围为
④双曲线中的最值问题
1．（2023·江苏·高二假期作业）在直角坐标系中,直线是双曲线的一条渐近线,点在双曲线上,设为双曲线上的动点,直线与轴相交于点,点关于轴的对称点为,直线与轴相交于点.
(1)求双曲线的方程;
(2)在轴上是否存在一点,使得,若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)求点的坐标,使得的面积最小.
【答案】(1)
(2)存在或
(3)的坐标是或或或
【详解】（1）由已知得,解得,所以双曲线的方程为.
（2）设,如图:
根据题意得:,令得,
因为点关于轴的对称点为,所以,
则,令得,
因为,平方可得,
因为,
则,
因为,所以,
则,即,
所以存在或满足条件;
（3）如图:
因为,
由（2）知,即,代入上式得:
,
当且仅当,即时等号成立,
此时,
所以的坐标是或或或时,的面积最小.
2．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线的右顶点为，虚轴长为，两准线间的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)设动直线与双曲线交于两点，已知，设点到动直线的距离为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：依题意可得，解得，所以双曲线方程为
（2）解：由（1）可知，依题意可知，设，，，，则有，，所以，，所以，，
作差得，又的方程为，所以过定点，所以，即的最大值为；
3．（2023秋·江苏·高二校联考阶段练习）已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程
（2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且，求的最小值．
【答案】（1）；（2）24.
【详解】因为，所以，．
所以双曲线的方程为，即．
因为点在双曲线上，所以，所以．
所以所求双曲线的方程为．
设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，
由，得，
所以．
同理可得，，
所以．
设，
则，
所以，即当且仅当时取等号．
所以当时，取得最小值24．
4．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期中）.已知点，，动点满足条件.记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）
由双曲线定义可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支
，，
的方程为：
（2）①当直线斜率不存在时，设直线方程为：
此时，
②当直线斜率存在时，设直线方程为：
代入双曲线方程可得：
可知上式有两个不等的正实数根
解得：
由得：
综上所述，的最小值为
5．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，焦距为4，右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R，S两点，且∠RAS＝60°.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，的角平分线记为l，过点M做l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点N，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知：△ARS是正三角形，
所以点A到渐近线的距离为
所以，解得，
所以双曲线标准方程是：
（2）方法①：由双曲线的光学性质，可知点Q处的切线即为的角平分线.
设点，，则
设直线的方程是：，
由得：，
，解得：，
，
，，，，即直线：，
即：
由点到直线的距离公式得：
直线方程：，即：
由，得：
所以，由都在双曲线右支上，得：
所以
所以
所以，令，则
当，即时，的最大值为.
方法②：如图，由题意知点Q在双曲线左支上，设，则.
易知直线的斜率存在，设直线的斜率为k，
记，又为的平分线，则.
因为，，所以，
同理，又，
代入，得，
化简得.又，，所以，
由，，得，，
所以，.
所以直线的方程为，，
由点到直线的距离公式得：，
又直线MN的斜率为，且过点M，所以直线的方程为：
，
将其与联立得.
设，则，.
易知点N在第四象限，所以，得：，
.
故，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当且仅当时， 的最大值为.
⑤双曲线中面积问题
1．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知双曲线为其左右焦点，点为其右支上一点，在处作双曲线的切线.
(1)若的坐标为，求证：为的角平分线；
(2)过分别作的平行线，其中交双曲线于两点，交双曲线于两点，求和的面积之积的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）解：由题意点处的切线为，
所以过点处的切线方程为，
交轴于点，则，
即，所以为的角平分线；
（2）过的切线，
当时，即不为右顶点时，，
即，
（或由直线与单支有两个交点，则也可）
联立
设，则
所以
又
所以，
，
当时，即点为右顶点时，，
所以，
所以的最小值为.
2．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知点在双曲线的渐近线上，点在上，直线交于B，C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为0．
(1)求直线的斜率；
(2)若M为双曲线E上任意一点，过点M作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于点P，Q，求△MPQ的面积．
【答案】(1)6
(2)4
【详解】（1）如图，
双曲线的渐近线方程为，代入点的，
又点在双曲线上，即，联立解得，
故双曲线的方程为．
设点，，已知直线AB、AC的斜率一定存在，
所以设直线AB的方程为，即，
代入双曲线的方程得，
所以，则，
所以
由直线AB与AC斜率之和为0，可设AC的方程为：
同理可得
所以，所以直线l的斜率为6．
（2）设M点坐标为，过M作渐近线的平行线分别为，
由（1）知，双曲线E的渐近线方程为，故可设的方程分别为，．
联立解得
所以
同理可得
又由，得，所以
，又点M在双曲线E上，则，
所以，即
故△MPQ的面积为4．
3．（2023·全国·高二专题练习）P是双曲线右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．
(1)记P，Q的纵坐标分别为，求的值；
(2)记的面积分别为，当时，求的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【详解】（1）由已知条件得：，设PA，PB的斜率分别为，
则QA，QB的斜率分别为，
由即有．
由即有
而，
．
（2）由于，
显然P，Q，B，A四点共圆，
PO为直径，PQ中点为圆心，
又
则，
①，又 ②，
得：，解得．
由，，而．
．
因为，根据单调性，求得
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点在双曲线上，且C的离心率为．
(1)求C的方程；
(2)直线交C的左支于P，Q两点，且直线AP，AQ的斜率之和为0，若，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，解得
所以双曲线的方程为．
（2）不妨设直线AP，AQ的倾斜角分别为，，
因为，
所以．
因为，
所以，
即，解得或（舍），
所以直线，
直线．
在直线中，令，得，
所以，
同理得，
所以，
所以的面积为．
5．（2023·全国·高二专题练习）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线与直线垂直，A为垂足且位于第一象限，直线与直线垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)已知是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线，的斜率之和为1，，求的面积.
【答案】(1)（）
(2)
【详解】（1）设动点，由题意知M只能在直线与直线所夹的范围内活动.
， ，
动点在右侧，有，同理有，
∵四边形的面积为8，∴，即 ，
所以所求轨迹C方程为（）.
（2）如图，设直线的倾斜角为，斜率为k，直线倾斜角为，则斜率为，
，，在曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点，
则或，同时或，解得或.
，解得或（舍去）.
时，直线的方程为，
联立，消y得：，则或，得.
直线的方程为，
联立，消y得：，则或，得，
，
点Q到直线的距离 ，
.
方法二： ，
，
，则，
.
⑥双曲线中定点、定值、定直线问题
1．（2023秋·山东·高三校联考开学考试）如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，求的值；
(3)证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)
(3)直线过定点,证明见解析.
【详解】（1）因为点和点在双曲线上，
所以，解得，所以双曲线的标准方程为.
（2）由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为，
设，
联立，整理得，
若，即，直线的斜率为，与渐近线平行，
此时直线与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以，
所以
，
，
因为,所以
，所以.
（3）（i）当轴时，且，
所以，则，
联立，整理得，
即，解得或，
当时，，所以，
由于对称性，，此时直线过定点；
（ii）当不垂直于轴时，以下证明直线仍过定点设为，
因为，所以联立，
即，所以，
解得或，
当时，，
所以,
同理，将上述过程中替换为可得，
所以，，
因为，所以，
所以，
所以三点共线，即此时直线恒过定点，
综上直线过定点.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为.
(1)求C的方程；
(2)证明：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）根据题意有，C的一条渐近线方程为，
将代入C的方程有，，
所以M，N到直线的距离之和为，
所以，C的方程为.
（2）
方法1：当l垂直于x轴时，由（1）可知，，
且由双曲的定义可知，故.
当l不垂直于x轴时，由双曲线的定义可知，，
故.
设，代入C的方程有：，
设，，则，，
所以，
所以.
综上，的值为6.
方法2：当l垂直于x轴时，由（1）可知，，
且由双曲的定义可知，
故.
当l不垂直于x轴时，设，
代入C的方程有：.
设，，则，，
所以.
综上，的值为6.
3．（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知点在双曲线上．
(1)点，为的左右顶点，为双曲线上异于，的点，求的值；
(2)点，在上，且，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
【答案】(1);
(2)证明见解析.
【详解】（1）解：因为点在双曲线上，
所以，解得，
所以双曲线，则．
设点坐标为，则，
所以．
因为点在曲线上，
所以，
所以，
所以的值为．
（2）证明：依题意，直线的斜率存在，
故设其方程为，设，
联立，消得，
显然，否则不可能有两个交点，
，
由韦达定理得，
因为直线的斜率之积为，
所以，
所以，
即，
所以有，
将韦达定理代入化简得，
而当，此时直线为，
易知恒过定点，故舍去，
所以，此时满足且直线过定点，（如图所示）
又因为为垂足，所以为直角三角形，为直角，
所以当点为斜边的中点时，为定值．
综上所述，存在定点，使得为定值．
4．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知双曲线的左、右顶点分别为、，为双曲线上异于、的任意一点，直线、的斜率乘积为．双曲线的焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线的方程；
(2)设不同于顶点的两点、在双曲线的右支上，直线、在轴上的截距之比为．试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)过定点，定点坐标为
【详解】（1）设，
由可得，又，
，
又焦点到其一条渐近线的距离为，解得：．
所以双曲线的方程：.
（2）设直线的方程为，如图，
由得，
，
，直线，则直线在轴上的截距为，
直线，则直线在轴上的截距为，
由题得：，又，
所以．
所以，则，
，
，
，化简得：或．
若，直线过顶点，舍去．．
则直线的方程为，
所以直线过定点．
5．（2023春·黑龙江·高三校联考开学考试）已知双曲线Γ：，，为Γ的左、右顶点，为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为．过点且不垂直于x轴的直线l与Γ交于M，N两点．
(1)求Γ的方程；
(2)若点E，F为直线上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上．
【答案】(1)；
(2)详见解析.
【详解】（1）由题意得，又为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为，
所以，解得，
所以双曲线Γ的标准方程为；
（2）设直线MN的方程为，
由，可得，则
，，
设，，，，，
所以，
直线：，：，
联立两方程，可得：
，
解得，
当直线与x轴重合时，则，
：，：，联立可得，
综上，直线ME与NF的交点在定直线上.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若是线段的中点，求直线的方程；
(3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.
【答案】(1)
(2)或
(3)直线PM与QN的交点在定直线，理由见解析
【详解】（1）由题意得：，，.
解得，，所以双曲线的标准方程为.
（2）方法1：设，则
依题意有解得，
所以直线的方程为或.
方法2：设直线的方程为，与双曲线的方程联立得：
.
当时
设，，得，.
又因为，所以，，解得.
此时，所以直线MN的方程为或.
（3）方法1：设，，
直线PM的方程为，直线ON的方程，
联立两方程，可得①
结合（2）方法2，可得
代入①得
故.
所以直线PM与QN的交点在定直线上.
方法2设直线MN的方程为，与双曲线的方程联立得：
.
设，，，，由根与系数的关系，得
，.
：，：，联立两方程，可得：
，
解得
所以直线PM与QN的交点在定直线上.
⑦双曲线中向量问题
1．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）双曲线的渐近线化为，设双曲线的方程为，
即，又双曲线的右焦点，则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由（1）知，，设直线的方程为，显然，
由消去整理得，显然，，
而，则
，
化简得，即，而，解得，
所以直线的方程为，即.
2．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的双曲线C过点，且有一条倾斜角为的渐近线.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设点F为双曲线C的右焦点，点P在C的右支上，点Q满足，直线交双曲线C于A，B两点，若，求点P的坐标.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设双曲线C的标准方程为，渐近线方程为，
则由题意可得，，且， 解得，
则双曲线C的标准方程为；
（2）双曲线的方程为，所以的右焦点，
点Q满足，则P为OQ的中点，设，则，
若直线AB的斜率不存在，则其方程为，
此时，m＝1，Q与F重合，不合题意；
若直线AB的斜率存在，设，m≠1，
∵，∴，∴，
∵点P在双曲线C上，∴，∴，即，
联立消去得．
所以，
设，则，
∵，∴，
∴，
∴，即
∴，
解得，，符合题意，
所以，点P的坐标．
3．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线：（，）的左顶点为，到的一条渐近线的距离为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于，两点，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【详解】（1）由题意知，的一条渐近线方程为，即，
所以到的一条渐近线的距离为，所以，
又，解得，所以的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易得，或，，
所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立，得，
所以，解得，
所以，，
所以
．
综上，．
4．（2023春·山东济南·高二统考期末）已知双曲线经过，两点．
(1)求C的标准方程；
(2)若直线与C交于M，N两点，且C上存在点P﹐满足，求实数t的值．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由已知可得，，解得，
所以C的标准方程为.
（2）设，，.
联立直线与双曲线的方程，
整理可得.
由韦达定理可得，所以.
所以，.
则由可得，，解得，即.
因为点在双曲线上，所以有，整理可得，解得.
⑧双曲线综合问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知是双曲线上的两个点，且关于原点对称．的两条渐近线互相垂直．
(1)求的方程；
(2)设是双曲线上一点，直线分别与直线交于两点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，，因为两条渐近线互相垂直，
可得，所以双曲线方程为；
（2）设，则，
所以，，
设，所以，
所以；
设，，
所以；
令，
所以，则时，单调递增；
时，单调递减；
所以，即时，取最小值为．
2．（2023秋·辽宁阜新·高三阜新市高级中学校考阶段练习）已知双曲线的两条渐近线分别为.
(1)求双曲线E的离心率；
(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）因为双曲线E的渐近线分别为和，所以，故，解得，从而双曲线E的离心率.
（2）由（1）知，双曲线E的方程为.
设直线与x轴相交于点C，
当轴时，若直线与双曲线E有且只有一个公共点，则，又因为的面积为8，所以，此时双曲线E的方程为.
若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为.
以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.
设直线的方程为，依题意，得或，则，记.
由，得，同理得.
由得，即.
由得， .因为，所以，又因为，所以，即与双曲线E有且只有一个公共点.
因此，存在总与有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为.
3．（2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知双曲线与直线有唯一的公共点M.
(1)若点在直线l上，求直线l的方程；
(2)过点M且与直线l垂直的直线分别交x轴于，y轴于两点.是否存在定点G，H，使得M在双曲线上运动时，动点使得为定值.
【答案】(1)
(2)存在定点，，使得当点M运动时，为定值13
【详解】（1）点在直线上，则有，
联立，则，
由，则，可得，
所以：，解得，
当时，；所以直线l的方程：
（2）联立，则，
因为，M是双曲线与直线的唯一公共点，
所以，化简得，
解得点M的坐标为，即为，
于是，过点M且与l垂直的直线为，
可得，，，即，，
于是，
即P的轨迹方程为：，由双曲线的定义可知，
存在定点，，使得当点M运动时，为定值13.
4．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且，若C上的点M满足恒成立.
(1)求C的方程；
(2)若过点M的直线l与C的两条渐近线交于P，Q两点，且.
（i）证明：l与C有且仅有一个交点；
（ii）求的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析（ii）
【详解】（1）由双曲线定义可知，∴，
又由，∴，
∵，∴，
∴双曲线C的方程为.
（2）（i）设，，，
双曲线的渐近线方程为①，②，
将①＋②可得，将①－②可得，
由于且，相减可得，
∴，即，
由题可知，∴，，
∴，即，
∴直线PQ的方程为，即，
又∵点M在C上，∴，则，
将方程联立，得，
∴，由可知方程有且仅有一个解，
∴l与C有且仅有一个交点.
（ii）由（2）（i）联立，可得，同理可得，
∴，
∴，当且仅当即时取等号.
又∵，
∴的取值范围为.
5．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，且．
(1)求双曲线的方程．
(2)已知点，两个不重合的动点，在双曲线上，直线，分别与轴交于点，，点在直线上，且，试问是否存在定点，使得为定值？若是，求出点的坐标和；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；，为定值
【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，双曲线上一点到渐近线距离之积为，
由题知，．
因为，所以，故双曲线的方程为．
（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
联立方程组整理得，
则，，，，
直线的方程为，
令，则，得，同理得，
由，可得，所以，
所以
，
整理得．
当，即时，直线的方程为，过点，
与矛盾，舍去；
当时，直线的方程为，恒过点，
设的中点为，则，因为，所以，为定值．
故存在，使为定值．
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27074" ①双曲线的弦长问题 PAGEREF _Tc27074 \h 1
\l "_Tc22081" ②双曲线的中点弦问题 PAGEREF _Tc22081 \h 4
\l "_Tc29044" ③双曲线中的参数及范围问题 PAGEREF _Tc29044 \h 9
\l "_Tc10489" ④双曲线中的最值问题 PAGEREF _Tc10489 \h 14
\l "_Tc9602" ⑤双曲线中面积问题 PAGEREF _Tc9602 \h 21
\l "_Tc19273" ⑥双曲线中定点、定值、定直线问题 PAGEREF _Tc19273 \h 29
\l "_Tc14778" ⑦双曲线中向量问题 PAGEREF _Tc14778 \h 39
\l "_Tc31049" ⑧双曲线综合问题 PAGEREF _Tc31049 \h 43
①双曲线的弦长问题
1．（2023秋·山东青岛·高二校考期末）已知双曲线．请从①②③中选取两个作为条件补充到题中，并完成下列问题．①；②离心率为2；③与椭圆的焦点相同．
(1)求C的方程；
(2)直线与C交于A，B两点，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选①②，可得，，解得，所以C的方程为；
选①③，可得，，解得，所以C的方程为；
选②③，可得，，解得，，所以C的方程为；
（2）设，，联立，消掉y，整理得，
所以，因为，
所以．
2．（2023秋·广西柳州·高二校考期末）已知双曲线C：经过点，焦点F到渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，当l过双曲线C的右焦点时，求弦长|AB|的值．
【答案】(1)
(2)24
【详解】（1）若焦点F（c，0），其到渐近线的距离，
又因为双曲线C：经过点，
所以，解得a＝2，所以双曲线C的方程为；
（2）由（1）知双曲线的右焦点为，所以直线l方程为：
设点，，
联立，
得，
所以，，
从而.
所以弦长|AB|的值为24．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝x+2与双曲线交于A，B两点，求弦长|AB|．
【答案】(1)y2＝1
(2)2
【详解】（1）由已知得a，c＝2，
再由c2＝a2+b2，得b2＝1，
所以双曲线C的方程为y2＝1．
（2）由直线与双曲线联立得2x2+12x+15＝0，
解得x＝﹣3±,
,
∴|AB|2．
4．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍.
得，且，又，
解得,
所以，
所以双曲线方程为.
（2）由（1）可知双曲线的右焦点为，所以直线的方程为，
设，
由，得，
所以，
所以.
②双曲线的中点弦问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，直线相交于点M，且它们的斜率之积是3.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过点能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【详解】（1）设，
∵，，
∴，整理得
即点M的轨迹C的方程．
（2）若能作出直线m，则直线m的斜率存在，设为k，设
则，两式相减得
整理可
∵N是线段的中点，即，
故直线m的方程为，即，
将直线方程代入双曲线方程可得
，此时直线与双曲线不相交．
故不能作出这样的直线m．
2．（2023秋·内蒙古包头·高二统考期末）如图1、2，已知圆方程为，点．M是圆上动点，线段的垂直平分线交直线于点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)记点的轨迹为曲线，过点是否存在一条直线，使得直线与曲线交于两点，且是线段中点．
【答案】(1)
(2)不存在这样的直线
【详解】（1）由中垂线性质知，
所以
所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线
设此双曲线方程为，则
所以点的轨迹方程为．
（2）设可得
两式相减得
由题意，所以
直线方程为，
由，得
∵．∴不存在这样的直线．
3．（2023秋·高二课时练习）已知焦点在轴上的双曲线实轴长为，其一条渐近线斜率为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于、两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）解：因为双曲线的焦点在轴上，设该双曲线的标准方程为，
因为该双曲线的实轴长为，一条渐近线斜率为，则，解得，
因此，该双曲线的标准方程为.
（2）解：假定直线存在，设以为中点的弦的两端点为、，
则有，．
根据双曲线的对称性知．由点、在双曲线上，
得，，
两式相减得，
所以，所以，
即以为中点的弦所在直线的斜率，
故直线的方程为，即．
联立，消去得，
，
因此直线与双曲线无交点，故满足条件的直线不存在．
4．（2023·全国·高二专题练习）中心在原点的双曲线的焦点在x轴上，且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：
①该曲线经过点；
②该曲线的渐近线与圆相切；
③点在该双曲线上，，为该双曲线的左、右焦点，当点的纵坐标为时，以，为直径的圆经过点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过定点能否作直线，使与此双曲线相交于两点，且是弦的中点?若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）设双曲线的标准方程为，
选①，由题意可知，双曲线的两个焦点分别为，，
由双曲线的定义可得，故，
则，所以双曲线的标准方程为.
选②，因为圆的方程为，圆心为，半径为，
双曲线的渐近线方程为，
由题意可得，解得，即，
因为，则，
因此双曲线的标准方程为.
选③，因为以为直径的圆经过点，所以，
由勾股定理可得，则，
所以，
从而，则，
故，
所以双曲线的标准方程为.
（2）假设满足条件的直线存在，设点，，
则，由题意可得，
两式作差并化简得，
所以直线的斜率为，
从而直线的方程为，即，
联立，整理可得，
易得，因此直线不存在.
5．（2023·全国·高二专题练习）双曲线的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为2．
(1)求C的方程；
(2)是否存在直线l，经过点且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；.
【详解】（1）双曲线的渐近线为，
因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，所以双曲线方程为
（2）假设存在，由题意知：直线的斜率存在，设，，直线的斜率为，则，，
所以，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以直线的方程为.
③双曲线中的参数及范围问题
1．（2023春·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期中）已知双曲线：的离心率为；
(1)求此双曲线的渐近线方程；
(2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）双曲线的离心率为．，可得，所以．
可得双曲线．
可得双曲线的渐近线方程为：．
（2）设经过点的直线方程为，，，，，
联立方程组，消去得：，
，解得．
的中点为，
线段的中垂线方程为：，
令得截距．
即线段的中垂线在轴上截距的取值范围是．
2．（2023秋·浙江杭州·高二校考期末）已知点分别为双曲线的左顶点和右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线第一象限部分交于点，的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，记，的面积分别为，（为坐标原点）．若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知，所以，，
由已知，可得，
则，
解得，
所以双曲线的方程为.
（2）设，
联立，整理可得
所以，解得，
由，可得，
，
原点到直线的距离，
所以
设，，易知渐近线方程为，
不妨设在渐近线上，
由得，同理，
所以，
到直线的距离，
所以
所以，
，则
令，则
故的取值范围是
3．（2023春·贵州黔西·高二校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【详解】解：（1）因为双曲线为等轴双曲线，
所以，设双曲线的焦距为2c，，
故，即．
因为BC过右焦点F，且垂直于x轴，
将代入，可得，故．
将的面积为，
所以，即，
所以，，故双曲线E的方程为．
（2）依题意，直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，
联立方程组消去y可得，，
所以解得，且
所以
．
联立方程组得，同理，
所以．
所以，其中，
所以．
4．（2023·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）已知椭圆的左、右两个顶点分别为、，曲线是以、两点为顶点，焦距为的双曲线，设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点.
（1）求曲线的方程；
（2）设、两点的横坐标分别为、，求证为一定值；
（3）设△与△（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）.
【详解】（1）由椭圆方程可得：，，即双曲线中，
又双曲线焦距为
曲线的方程为：
（2）由题意可知，直线斜率存在，则可设
联立得：
，
椭圆与直线联立得：可得：
，即为定值
（3）由（2）可设，
则，
又点在双曲线上 ，解得：
又位于第一象限
，
令
在上单调递减，在上单调递增
，
的取值范围为
④双曲线中的最值问题
1．（2023·江苏·高二假期作业）在直角坐标系中,直线是双曲线的一条渐近线,点在双曲线上,设为双曲线上的动点,直线与轴相交于点,点关于轴的对称点为,直线与轴相交于点.
(1)求双曲线的方程;
(2)在轴上是否存在一点,使得,若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)求点的坐标,使得的面积最小.
【答案】(1)
(2)存在或
(3)的坐标是或或或
【详解】（1）由已知得,解得,所以双曲线的方程为.
（2）设,如图:
根据题意得:,令得,
因为点关于轴的对称点为,所以,
则,令得,
因为,平方可得,
因为,
则,
因为,所以,
则,即,
所以存在或满足条件;
（3）如图:
因为,
由（2）知,即,代入上式得:
,
当且仅当,即时等号成立,
此时,
所以的坐标是或或或时,的面积最小.
2．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线的右顶点为，虚轴长为，两准线间的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)设动直线与双曲线交于两点，已知，设点到动直线的距离为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：依题意可得，解得，所以双曲线方程为
（2）解：由（1）可知，依题意可知，设，，，，则有，，所以，，所以，，
作差得，又的方程为，所以过定点，所以，即的最大值为；
3．（2023秋·江苏·高二校联考阶段练习）已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程
（2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且，求的最小值．
【答案】（1）；（2）24.
【详解】因为，所以，．
所以双曲线的方程为，即．
因为点在双曲线上，所以，所以．
所以所求双曲线的方程为．
设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，
由，得，
所以．
同理可得，，
所以．
设，
则，
所以，即当且仅当时取等号．
所以当时，取得最小值24．
4．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期中）.已知点，，动点满足条件.记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）
由双曲线定义可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支
，，
的方程为：
（2）①当直线斜率不存在时，设直线方程为：
此时，
②当直线斜率存在时，设直线方程为：
代入双曲线方程可得：
可知上式有两个不等的正实数根
解得：
由得：
综上所述，的最小值为
5．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，焦距为4，右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R，S两点，且∠RAS＝60°.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，的角平分线记为l，过点M做l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点N，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知：△ARS是正三角形，
所以点A到渐近线的距离为
所以，解得，
所以双曲线标准方程是：
（2）方法①：由双曲线的光学性质，可知点Q处的切线即为的角平分线.
设点，，则
设直线的方程是：，
由得：，
，解得：，
，
，，，，即直线：，
即：
由点到直线的距离公式得：
直线方程：，即：
由，得：
所以，由都在双曲线右支上，得：
所以
所以
所以，令，则
当，即时，的最大值为.
方法②：如图，由题意知点Q在双曲线左支上，设，则.
易知直线的斜率存在，设直线的斜率为k，
记，又为的平分线，则.
因为，，所以，
同理，又，
代入，得，
化简得.又，，所以，
由，，得，，
所以，.
所以直线的方程为，，
由点到直线的距离公式得：，
又直线MN的斜率为，且过点M，所以直线的方程为：
，
将其与联立得.
设，则，.
易知点N在第四象限，所以，得：，
.
故，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当且仅当时， 的最大值为.
⑤双曲线中面积问题
1．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知双曲线为其左右焦点，点为其右支上一点，在处作双曲线的切线.
(1)若的坐标为，求证：为的角平分线；
(2)过分别作的平行线，其中交双曲线于两点，交双曲线于两点，求和的面积之积的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）解：由题意点处的切线为，
所以过点处的切线方程为，
交轴于点，则，
即，所以为的角平分线；
（2）过的切线，
当时，即不为右顶点时，，
即，
（或由直线与单支有两个交点，则也可）
联立
设，则
所以
又
所以，
，
当时，即点为右顶点时，，
所以，
所以的最小值为.
2．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知点在双曲线的渐近线上，点在上，直线交于B，C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为0．
(1)求直线的斜率；
(2)若M为双曲线E上任意一点，过点M作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于点P，Q，求△MPQ的面积．
【答案】(1)6
(2)4
【详解】（1）如图，
双曲线的渐近线方程为，代入点的，
又点在双曲线上，即，联立解得，
故双曲线的方程为．
设点，，已知直线AB、AC的斜率一定存在，
所以设直线AB的方程为，即，
代入双曲线的方程得，
所以，则，
所以
由直线AB与AC斜率之和为0，可设AC的方程为：
同理可得
所以，所以直线l的斜率为6．
（2）设M点坐标为，过M作渐近线的平行线分别为，
由（1）知，双曲线E的渐近线方程为，故可设的方程分别为，．
联立解得
所以
同理可得
又由，得，所以
，又点M在双曲线E上，则，
所以，即
故△MPQ的面积为4．
3．（2023·全国·高二专题练习）P是双曲线右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．
(1)记P，Q的纵坐标分别为，求的值；
(2)记的面积分别为，当时，求的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【详解】（1）由已知条件得：，设PA，PB的斜率分别为，
则QA，QB的斜率分别为，
由即有．
由即有
而，
．
（2）由于，
显然P，Q，B，A四点共圆，
PO为直径，PQ中点为圆心，
又
则，
①，又 ②，
得：，解得．
由，，而．
．
因为，根据单调性，求得
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点在双曲线上，且C的离心率为．
(1)求C的方程；
(2)直线交C的左支于P，Q两点，且直线AP，AQ的斜率之和为0，若，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，解得
所以双曲线的方程为．
（2）不妨设直线AP，AQ的倾斜角分别为，，
因为，
所以．
因为，
所以，
即，解得或（舍），
所以直线，
直线．
在直线中，令，得，
所以，
同理得，
所以，
所以的面积为．
5．（2023·全国·高二专题练习）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线与直线垂直，A为垂足且位于第一象限，直线与直线垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)已知是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线，的斜率之和为1，，求的面积.
【答案】(1)（）
(2)
【详解】（1）设动点，由题意知M只能在直线与直线所夹的范围内活动.
， ，
动点在右侧，有，同理有，
∵四边形的面积为8，∴，即 ，
所以所求轨迹C方程为（）.
（2）如图，设直线的倾斜角为，斜率为k，直线倾斜角为，则斜率为，
，，在曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点，
则或，同时或，解得或.
，解得或（舍去）.
时，直线的方程为，
联立，消y得：，则或，得.
直线的方程为，
联立，消y得：，则或，得，
，
点Q到直线的距离 ，
.
方法二： ，
，
，则，
.
⑥双曲线中定点、定值、定直线问题
1．（2023秋·山东·高三校联考开学考试）如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，求的值；
(3)证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)
(3)直线过定点,证明见解析.
【详解】（1）因为点和点在双曲线上，
所以，解得，所以双曲线的标准方程为.
（2）由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为，
设，
联立，整理得，
若，即，直线的斜率为，与渐近线平行，
此时直线与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以，
所以
，
，
因为,所以
，所以.
（3）（i）当轴时，且，
所以，则，
联立，整理得，
即，解得或，
当时，，所以，
由于对称性，，此时直线过定点；
（ii）当不垂直于轴时，以下证明直线仍过定点设为，
因为，所以联立，
即，所以，
解得或，
当时，，
所以,
同理，将上述过程中替换为可得，
所以，，
因为，所以，
所以，
所以三点共线，即此时直线恒过定点，
综上直线过定点.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为.
(1)求C的方程；
(2)证明：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）根据题意有，C的一条渐近线方程为，
将代入C的方程有，，
所以M，N到直线的距离之和为，
所以，C的方程为.
（2）
方法1：当l垂直于x轴时，由（1）可知，，
且由双曲的定义可知，故.
当l不垂直于x轴时，由双曲线的定义可知，，
故.
设，代入C的方程有：，
设，，则，，
所以，
所以.
综上，的值为6.
方法2：当l垂直于x轴时，由（1）可知，，
且由双曲的定义可知，
故.
当l不垂直于x轴时，设，
代入C的方程有：.
设，，则，，
所以.
综上，的值为6.
3．（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知点在双曲线上．
(1)点，为的左右顶点，为双曲线上异于，的点，求的值；
(2)点，在上，且，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
【答案】(1);
(2)证明见解析.
【详解】（1）解：因为点在双曲线上，
所以，解得，
所以双曲线，则．
设点坐标为，则，
所以．
因为点在曲线上，
所以，
所以，
所以的值为．
（2）证明：依题意，直线的斜率存在，
故设其方程为，设，
联立，消得，
显然，否则不可能有两个交点，
，
由韦达定理得，
因为直线的斜率之积为，
所以，
所以，
即，
所以有，
将韦达定理代入化简得，
而当，此时直线为，
易知恒过定点，故舍去，
所以，此时满足且直线过定点，（如图所示）
又因为为垂足，所以为直角三角形，为直角，
所以当点为斜边的中点时，为定值．
综上所述，存在定点，使得为定值．
4．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知双曲线的左、右顶点分别为、，为双曲线上异于、的任意一点，直线、的斜率乘积为．双曲线的焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线的方程；
(2)设不同于顶点的两点、在双曲线的右支上，直线、在轴上的截距之比为．试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)过定点，定点坐标为
【详解】（1）设，
由可得，又，
，
又焦点到其一条渐近线的距离为，解得：．
所以双曲线的方程：.
（2）设直线的方程为，如图，
由得，
，
，直线，则直线在轴上的截距为，
直线，则直线在轴上的截距为，
由题得：，又，
所以．
所以，则，
，
，
，化简得：或．
若，直线过顶点，舍去．．
则直线的方程为，
所以直线过定点．
5．（2023春·黑龙江·高三校联考开学考试）已知双曲线Γ：，，为Γ的左、右顶点，为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为．过点且不垂直于x轴的直线l与Γ交于M，N两点．
(1)求Γ的方程；
(2)若点E，F为直线上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上．
【答案】(1)；
(2)详见解析.
【详解】（1）由题意得，又为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为，
所以，解得，
所以双曲线Γ的标准方程为；
（2）设直线MN的方程为，
由，可得，则
，，
设，，，，，
所以，
直线：，：，
联立两方程，可得：
，
解得，
当直线与x轴重合时，则，
：，：，联立可得，
综上，直线ME与NF的交点在定直线上.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若是线段的中点，求直线的方程；
(3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.
【答案】(1)
(2)或
(3)直线PM与QN的交点在定直线，理由见解析
【详解】（1）由题意得：，，.
解得，，所以双曲线的标准方程为.
（2）方法1：设，则
依题意有解得，
所以直线的方程为或.
方法2：设直线的方程为，与双曲线的方程联立得：
.
当时
设，，得，.
又因为，所以，，解得.
此时，所以直线MN的方程为或.
（3）方法1：设，，
直线PM的方程为，直线ON的方程，
联立两方程，可得①
结合（2）方法2，可得
代入①得
故.
所以直线PM与QN的交点在定直线上.
方法2设直线MN的方程为，与双曲线的方程联立得：
.
设，，，，由根与系数的关系，得
，.
：，：，联立两方程，可得：
，
解得
所以直线PM与QN的交点在定直线上.
⑦双曲线中向量问题
1．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）双曲线的渐近线化为，设双曲线的方程为，
即，又双曲线的右焦点，则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由（1）知，，设直线的方程为，显然，
由消去整理得，显然，，
而，则
，
化简得，即，而，解得，
所以直线的方程为，即.
2．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的双曲线C过点，且有一条倾斜角为的渐近线.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设点F为双曲线C的右焦点，点P在C的右支上，点Q满足，直线交双曲线C于A，B两点，若，求点P的坐标.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设双曲线C的标准方程为，渐近线方程为，
则由题意可得，，且， 解得，
则双曲线C的标准方程为；
（2）双曲线的方程为，所以的右焦点，
点Q满足，则P为OQ的中点，设，则，
若直线AB的斜率不存在，则其方程为，
此时，m＝1，Q与F重合，不合题意；
若直线AB的斜率存在，设，m≠1，
∵，∴，∴，
∵点P在双曲线C上，∴，∴，即，
联立消去得．
所以，
设，则，
∵，∴，
∴，
∴，即
∴，
解得，，符合题意，
所以，点P的坐标．
3．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线：（，）的左顶点为，到的一条渐近线的距离为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于，两点，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【详解】（1）由题意知，的一条渐近线方程为，即，
所以到的一条渐近线的距离为，所以，
又，解得，所以的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易得，或，，
所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立，得，
所以，解得，
所以，，
所以
．
综上，．
4．（2023春·山东济南·高二统考期末）已知双曲线经过，两点．
(1)求C的标准方程；
(2)若直线与C交于M，N两点，且C上存在点P﹐满足，求实数t的值．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由已知可得，，解得，
所以C的标准方程为.
（2）设，，.
联立直线与双曲线的方程，
整理可得.
由韦达定理可得，所以.
所以，.
则由可得，，解得，即.
因为点在双曲线上，所以有，整理可得，解得.
⑧双曲线综合问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知是双曲线上的两个点，且关于原点对称．的两条渐近线互相垂直．
(1)求的方程；
(2)设是双曲线上一点，直线分别与直线交于两点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，，因为两条渐近线互相垂直，
可得，所以双曲线方程为；
（2）设，则，
所以，，
设，所以，
所以；
设，，
所以；
令，
所以，则时，单调递增；
时，单调递减；
所以，即时，取最小值为．
2．（2023秋·辽宁阜新·高三阜新市高级中学校考阶段练习）已知双曲线的两条渐近线分别为.
(1)求双曲线E的离心率；
(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）因为双曲线E的渐近线分别为和，所以，故，解得，从而双曲线E的离心率.
（2）由（1）知，双曲线E的方程为.
设直线与x轴相交于点C，
当轴时，若直线与双曲线E有且只有一个公共点，则，又因为的面积为8，所以，此时双曲线E的方程为.
若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为.
以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.
设直线的方程为，依题意，得或，则，记.
由，得，同理得.
由得，即.
由得， .因为，所以，又因为，所以，即与双曲线E有且只有一个公共点.
因此，存在总与有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为.
3．（2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知双曲线与直线有唯一的公共点M.
(1)若点在直线l上，求直线l的方程；
(2)过点M且与直线l垂直的直线分别交x轴于，y轴于两点.是否存在定点G，H，使得M在双曲线上运动时，动点使得为定值.
【答案】(1)
(2)存在定点，，使得当点M运动时，为定值13
【详解】（1）点在直线上，则有，
联立，则，
由，则，可得，
所以：，解得，
当时，；所以直线l的方程：
（2）联立，则，
因为，M是双曲线与直线的唯一公共点，
所以，化简得，
解得点M的坐标为，即为，
于是，过点M且与l垂直的直线为，
可得，，，即，，
于是，
即P的轨迹方程为：，由双曲线的定义可知，
存在定点，，使得当点M运动时，为定值13.
4．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且，若C上的点M满足恒成立.
(1)求C的方程；
(2)若过点M的直线l与C的两条渐近线交于P，Q两点，且.
（i）证明：l与C有且仅有一个交点；
（ii）求的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析（ii）
【详解】（1）由双曲线定义可知，∴，
又由，∴，
∵，∴，
∴双曲线C的方程为.
（2）（i）设，，，
双曲线的渐近线方程为①，②，
将①＋②可得，将①－②可得，
由于且，相减可得，
∴，即，
由题可知，∴，，
∴，即，
∴直线PQ的方程为，即，
又∵点M在C上，∴，则，
将方程联立，得，
∴，由可知方程有且仅有一个解，
∴l与C有且仅有一个交点.
（ii）由（2）（i）联立，可得，同理可得，
∴，
∴，当且仅当即时取等号.
又∵，
∴的取值范围为.
5．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，且．
(1)求双曲线的方程．
(2)已知点，两个不重合的动点，在双曲线上，直线，分别与轴交于点，，点在直线上，且，试问是否存在定点，使得为定值？若是，求出点的坐标和；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；，为定值
【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，双曲线上一点到渐近线距离之积为，
由题知，．
因为，所以，故双曲线的方程为．
（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
联立方程组整理得，
则，，，，
直线的方程为，
令，则，得，同理得，
由，可得，所以，
所以
，
整理得．
当，即时，直线的方程为，过点，
与矛盾，舍去；
当时，直线的方程为，恒过点，
设的中点为，则，因为，所以，为定值．
故存在，使为定值．
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