2023—2024学年浙江省嘉兴市九年级上学期期末数学试题

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一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确）
1. 已知，则的值（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设a=3k，b=7k，代入化简即可．
【详解】解：∵，
∴a=3k，b=7k，
∴=，
故选A．
【点睛】本题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个参，把题目中的几个量用所设的参数表示出来，然后消掉所设的参数，即可求得所给代数式的值．
2. 如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，若，则的度数为（ ）
A. 70°B. 60°C. 40°D. 20°
【答案】D
【解析】
【分析】由AB是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠C的度数，又由∠ABC=70°，利用直角三角形中两锐角互余，即可求得∠BAC的度数．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90，
∵∠ABC=70，
∴∠BAC=90-70=20，
故选：D．
【点睛】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握直径所对的圆周角是直角定理的应用，注意数形结合思想的应用．
3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 在地面上向空中抛一石头，石头终将下落B. 嘉兴明天最高气温是15℃
C. 射击运动员射击一次，命中10环D. 一匹马奔跑的速度是70米/秒
【答案】A
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A是必然事件；
B是随机事件；
C是随机事件；
D是随机事件；
故选：A．
【点睛】此题考查了必然事件的定义：一定能发生或不能发生的事件是必然事件，熟记定义是解题的关键．
4. 若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】
【详解】点在圆内，点到圆心的距离小于半径，
又因为圆的半径为6，
所以OP的长小于6，
因为5＜6，所以选项A符合题意，
故选A
5. 如图，在中，D，E分别是边AB，AC上的点，，若S四边形DBCE=1：8，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，求得，再由DE∥BC证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出的值．
【详解】解：∵S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，
∴S△ADE＝S△ABC，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴＝，
∴＝，
∴的值为，
故选：B．
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，证明△ADE∽△ABC并求出△ADE与△ABC的面积的比是解题的关键．
6. 将二次函数y=(x﹣1)2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为( )
A. y=(x+2)2﹣2B. y=(x﹣4)2+2
C. y=(x﹣1)2﹣1D. y=(x﹣1)2+5
【答案】D
【解析】
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】由“上加下减”的原则可知，将二次函数的图象向上平移3个单位长度，
所得抛物线的解析式为：，即；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
7. 如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP=2，则CD的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据AB=12求出OP的长，连接OC，在Rt△OPC中，利用勾股定理即可求出PC的长，进而可得出CD的长．
【详解】解：连接OC，
∵AB=12
∴OB=
又BP=2
∴OP=OB-PB=6-2=4
在Rt△OPC中，，
∵OB过圆心，OB⊥CD
∴CD=2PC=2×
故选：C
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A的坐标是（ ）
A. （2，）B. （1，2）
C. （4，8）或（﹣4，﹣8）D. （1，2）或（﹣1，﹣2）
【答案】D
【解析】
【分析】利用位似的性质求出A点的对称点.
【详解】以O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，
则点A的对应点A′的坐标为（2×，4×）或[2×（﹣），4×（﹣）]，
即（1，2）或（﹣1，﹣2），
故选D．
【点睛】位似与相似：①位似与相似既有联系又有区别,相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点.②如果两个图形是位似图形那么这两个图形必是相似图形,但是相似的两个图形不一定是位似图形,因此位似是相似的特殊情况.利用位似,可以把一个图形放大或缩小.
9. 如图，在中，，，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S四边形DGCH=S四边形DMCN，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．
【详解】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴DC=AB=1，四边形DMCN是正方形，DM=．
则扇形FDE的面积是：．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB中点，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN，
则在△DMG和△DNH中，
，
∴△DMG≌△DNH（AAS），
∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=．
则阴影部分的面积是：-．
【点睛】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN是关键．
10. 已知抛物线交x轴于点，．，是抛物线上两个点．若，则下列结论一定正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，若a＞0时，抛物线开口向上，|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，由于点到对称轴的距离越大，函数值越大，所以y1＞y2＞0；若a＜0时，抛物线开口向下，|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，利用点到对称轴的距离越大，函数值越小得到y1＜y2＜0，从而得到|y1|＞|y2|．
【详解】解：∵抛物线与x轴的交点坐标为A（1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
若a＞0时，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，
∴y1＞y2＞0；
若a＜0时，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，
∴y1＜y2＜0，
∴|y1|＞|y2|．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性以及函数的增减性，理解抛物线开口向上，点到对称轴的距离越大，函数值越大；抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，函数值越小是解题的关键．
二、填空题（本题有10小题）
11. 正五边形的每一个内角都等于___．
【答案】108°
【解析】
【分析】先根据多边形的内角和公式（n-2）×180°求出内角和，然后除以5即可；
【详解】解：（5-2）×180°=540°，540°÷5=108°；
故答案为：108°．
12. 若抛物线与x轴只有一个交点，则k的值为______．
【答案】＃＃0.25
【解析】
【分析】令y=0得到关于x的一元二次方程，由抛物线与x轴只有一个交点，得到方程根的判别式等于0，计算求解即可．
【详解】解：令，得到．
∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴，解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题的关键在于明确交点个数与判别式的关系．
13. 如图，C是⊙O上一点，若，则的度数是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆周角定理可得答案．
【详解】解：由圆周角定理可得，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，掌握“同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半”是解题的关键．
14. 如图，点D在△ABC的边AC上，若要使△ABD与△ACB相似，可添加的一个条件是_____（只需写出一个）．
【答案】∠ABD＝∠C
【解析】
【分析】两组对应角相等，两三角形相似．在本题中，两三角形共用一个角，因此再添一组对应角即可．
【详解】要使△ABC与△ABD相似，还需具备的一个条件是∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC等．
故答案为∠ABD=∠C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定．注意掌握有两角对应相等的两个三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
15. 已知点P是线段的黄金分割点，，那么________．
【答案】
【解析】
【分析】设的长为，由黄金分割点可知，有，求出符合要求的解即可．
【详解】解：设的长为，由黄金分割点可知
∴
去分母得：
解得（舍去）或
经检验是方程的解
∴的长为cm
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割，分式方程的应用．解题的关键在于列正确的分式方程并求解．
16. 随机抽检一批衬衣的合格情况，得到如下的频数表．
则出售这批衬衣2000件，估计次品大约有______件．
【答案】100
【解析】
【分析】用最终频率的稳定值即可估计其概率，再用总数乘以次品对应的频率即可．
【详解】解：由表格知，任意抽一件衬衣是合格品的概率为0.95；
所以估计次品的数量为2000×（1-0.95）=100（件）．
故答案为：100．
【点睛】本题主要考查频率分布表和利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
17. 如图，矩形ABCD∽矩形BCEF，若AB=8，BC=6，则CE的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用相似多边形的性质求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD∽矩形BCEF，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质．
18. 如图，在直角三角形纸片ABC中，，，，D是BC上一动点，连结AD，将沿AD折叠，点C落在点E处，连结DE交AB于点F，当时，DF的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用勾股定理及翻折性质可以求得：BC=4，DB=1，之后证明出四边形ACDE为正方形，可得DF∥AC，，根据相似三角形性质可求得DF．
【详解】解：∵在中，由勾股定理得：，
∵，
由折叠的性质可得，∠CAD=∠EAD
∵∠ACB=90°
∴，
∴，∠CAE=90°
即：，
∴四边形ACDE为矩形，
∵，
∴四边形ACDE为正方形，
∴DE=CD=3，BD=1，
∵DF∥AC，
∴．
∴，
∴，
解得：DF=．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点有翻折的性质，勾股定理，正方形的判定，相似三角形的性质与判定，找到对应的相似三角形时解题的关键．
19. 甲、乙两人研究二次函数与反比例函数，甲说：“二次函数图象一定过第一象限的一个定点．”乙说：“二次函数图象的顶点及这个定点都在该反比例函数图象上．”若甲、乙两人的描述正确，则a的值为______．
【答案】##-075
【解析】
【分析】根据二次函数过定点，则与a的取值无关，得出定点和顶点再进行解答．
【详解】解：∵y=ax2-4ax+3=ax(x-4)+3，
∴当x=4时，y=3，
∴二次函数图象一定过第一象限的一个定点（4，3），
∵y=ax2-4ax+3=a（x-2）2+3-4a，
∴顶点为（2，3-4a），
∵二次函数的顶点及这个定点都在反比例函数图象上，
∴2×（3-4a）=4×3，
∴a=-．
故答案为：-．
【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象和性质，确定出二次函数过定点（4，3）是解答本题的关键．
20. 如图，⊙O的直径，C为⊙O上动点，连结CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连结OD，则OD的最大值为______．
【答案】+1
【解析】
【分析】作EO⊥AB交⊙O于点E，重足为O，连接BE、ED、OC、BD，由勾股定理推出，，得到，证得∠OBC= ∠EBD，推出△OBC∽△EBD，得到，求出，D点轨迹在以E点为圆心，长为半径的圆上，当O、E、D三点共线时，OD最大，由 OD=DE+OE求出答案．
【详解】解：作EO⊥AB交⊙O于点E，重足为O，连接BE、ED、OC、BD，
在⊙O中，OB=OE，，
∴，
∴，
在△BCD中，BC=CD，，
∴，
∴，
∵∠OBE= ∠CBD= 45° ，
∴∠OBE+∠EBC = ∠EBC +∠CBD，即∠OBC= ∠EBD，
∴△OBC∽△EBD，
∴，
∵，
∴，
则D点轨迹在以E点为圆心，长为半径的圆上，当O、E、D三点共线时，OD最大，此时OD=DE+OE=+1，
故答案为+1．
．
【点睛】此题考查了勾股定理，圆的半径相等的性质，相似三角形的判定及性质，动点问题，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
三、解答题（本题有6小题）
21. 已知二次函数y=x2-2x+m的图象过点A（3，0）．
（1）求m的值；
（2）自变量x在什么范围时，y随x的增大而增大？
【答案】（1）m=-3；
（2）当x＞1时，y随x的增大而增大．
【解析】
【分析】（1）把点A（3，0）代入y=x2-2x+m得到关于m的方程，解方程即可求得；
（2）根据二次函数的性质即可求得．
【小问1详解】
解：∵二次函数y=x2-2x+m的图象过点A（3，0），
∴0=9-6+m，
∴m=-3；
【小问2详解】
解：y=x2-2x+m=（x-1）2+m-1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
22. “红船精神”是建党100周年学习的重要精神，现将质地大小完全相同，上面标有“红”“船”“精”“神”字样的四个彩球放入同一个不透明的袋子．问：
（1）小慧在袋子中随机摸出一个彩球，不放回，再摸出一个彩球，请用树状图或者列表法列举出两次摸球可能出现的各种结果；
（2）在（1）的条件下能拼出“红船”的概率是多少？
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）画树状图，即可得出答案；
（2）由（1）得：共有12种等可能的结果，能拼出“红船”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
把标有“红”“船”“精”“神”字样的四个彩球分别记为A、B、C、D，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，分别为：“红船”、“红精”、“红神”、“船红”、“船精”、“船神”、“精红”、“精船”、“精神”、“神红”、“神船”、“神精”；
【小问2详解】
由（1）得：共有12种等可能结果，能拼出“红船”的结果有2种，
∴能拼出“红船”的概率为：．
【点睛】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23. 在的方格纸中，点A，B，C，D，E都在格点上．
（1）在图1中，AB交格子线于点P，求的值；
（2）如图2，只用无刻度的直尺，作出的重心G．
【答案】（1）；
（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解即可；
（2）三角形中线的交点即为所求中心．
【小问1详解】
解：如图1中，
∵AE∥FB，
∴．
【小问2详解】
如图2，分别作CE、DE的中线，交于点G，
点G即为所求．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，三角形的重心，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24. 如图，AD为的角平分线，点E，F在边AB上，，FC交AD于点G．若，，，．
（1）求的度数．
（2）求BD的长．
【答案】（1）60；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由“SAS”可证，可得∠ADE=∠ADC=60，即可求解；
（2）通过证明△BDE∽△CDG，可得，即可求解．
【小问1详解】
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
在△EAD和△CAD中，，
∴（SAS），
∴∠ADE=∠ADC=60
∴∠BDE=180-∠ADE-∠ADC=180-60-60=60；
【小问2详解】
解：∵FB=FC，
∴∠EBD=∠GCD；
∵∠BDE=∠CDG=60，
∴△BDE∽△CDG，
∴，
∵，
∴DE=CD=3，
∵DG=2，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
25. 外出佩戴医用口罩能有效预防新型冠状病毒．某公司生产医用口罩供应市场，每件制造成本为1.8元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系满足下表．
（1）在你学过的一次函数、反比例函数和二次函数等三种函数中，哪种函数能恰当地描述y与x的变化规律，并直接写出函数表达式；
（2）当销售单价为多少元时，公司每月获得的利润为4.4万元？
（3）如果公司每月的制造成本不超过5.4万元，那么当销售单价为多少元时，公司每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？
【答案】（1）y与x之间的函数关系式为y=-2x+10；
（2）当销售单价为4元或2.8元时，公司每月获得的利润为4.4万元；
（3）当销售单价为3.5元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为5.1万
【解析】
【分析】（1）通过表中数据，设出y与x的函数解析式，利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据利润=销售量×（销售单价-成本），代入代数式求出函数关系式，令利润z=4.4，求出x的值；
（3）根据厂商每月的制造成本不超过5.4万元，以及成本价1.8元，得出销售单价的取值范围，进而得出最大利润．
【小问1详解】
由表格中数据可得：y与x之间的函数关系式为一次函数，
设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
把（2，6），（3.4）代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y=-2x+10；
【小问2详解】
设总利润为z，由题意得，
z=y（x-1.8）
=（-2x+10）（x-1.8）
=-2x2+13.6x-18；
当z=4.4时，
-2x2+13.6x-18=4.4，
解得：x1=4，x2=2.8，
答：当销售单价为4元或2.8元时，公司每月获得的利润为4.4万元；
【小问3详解】
∵公司每月的制造成本不超过5.4万元，每件制造成本为1.8元，
∴每月的生产量为：小于等于=3万件，
y=-2x+10≤3，
解得：x≥3.5，
∵z=-2x2+13.6x-18=-2（x-3.4）2+5.12，
∴图象开口向下，对称轴右侧z随x的增大而减小，
∴x=3.5时，z最大，最大值为5.1．
当销售单价为3.5元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为5.1万
【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值．
26. 如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C，以AB为直径的圆，经过点O，C，交x轴于点D，连结AO，AC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）点E在x轴上，连结BD，BE．当与相似时，求满足条件的OE长．
【答案】（1）；
（2）（2，0）； （3）10或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）连接AD，设点D的坐标为（x，0），根据圆周角定理得到，列得，即，求出x，即可得到点D的坐标；
（3）先根据抛物线的解析式求出C的坐标，过点A作AF⊥y轴于F，过点B作BG⊥x轴于G，则F（0，5），G（5，0），根据正切值求出，分两种情况：①当△BDE∽△ACO时，得到，求出DE，即可求出OE；②当△EBD∽△AOC时，得到，求出DE，即可求出OE．
【小问1详解】
解：将点，代入，得
，
解得，
∴抛物线的函数表达式是；
【小问2详解】
解：连接AD，设点D的坐标为（x，0），
∵AB为圆的直径，
∴，
∴，
∴，
解得x=2或x=0（舍去），
∴点D的坐标为（2，0）；
【小问3详解】
解：∵交y轴于点C，
∴C（0,8）,
过点A作AF⊥y轴于F，过点B作BG⊥x轴于G，则F（0，5），G（5，0），
∴，，
∴，
①当△BDE∽△ACO时，如图1，
则，
∵，，
∴，
∴DE=CO=8，
∴OE=OD+DE=2+8=10；
②当△EBD∽△AOC时，如图2，
则，
∵，，OC=8，
∴，
∴DE=，
∴OE=OD+DE=2+=；
综上，OE长为10或．
．
【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，圆周角定理即勾股定理，相似三角形的性质，角的正切值的计算公式，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键．抽取件数（件）
100
150
200
500
800
1000
合格频数
900
141
189
474
760
950
合格频率
0.90
0.94
0.945
0.948
0.95
0.95
销售单价x（元/件）
…
2
2.5
3
4
…
每月销售量y（万件）
…
6
5
4
2
…