上海市复兴高级中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试题

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这是一份上海市复兴高级中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试题，共8页。试卷主要包含了03等内容，欢迎下载使用。

一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．已知集合A={x|-12．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，且sinα=23，把角α的终边绕端点O逆时针方向旋π2弧度，这时终边对应的角是β，则csβ=
3．数列{an}满足an+1=2anan≠0,n∈N*，且a2与a4的等差中项是5，则a1+a2+…+an=
4．已知x-m7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，若a4=-35，则a1+a3+a5+a7=
5．珠穆朗玛峰高达8848.86米，但即使你拥有良好的视力，你也无法在上海看到它. 一个观察者距离珠穆朗玛峰多远，才能在地平面上看到它呢？为了能够通过几何方法解决这个问题，需要利用简单的几何模型表示这个问题情境，在此过程中，有下列假设：①珠穆朗玛峰的形状为等腰梯形；②地球的形状是一个球体；③太阳光沿直线传播；④没有事物可以阻碍人们看到珠穆朗玛峰的视线. 你认为最不重要的一个假设是
6．已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为C=310Q2+3000.设该产品年产量为Q时的平均成本为fQ（单位：元/件），则fQ的最小值是
7．某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x（单位：万千米）对应维修保养费用y（单位：万元）的四组数据，这四组数据如下表：
若用最小二乘法求得回归直线方程为y=0.58x+b，则估计该款汽车行驶里程为6万千米时的维修保养费是
8．已知椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0，双曲线N:x2m2-y2n2=1. 若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M与双曲线N的离心率之和为
9．已知函数fxx∈R满足f-x=2-fx，若函数y=x+1x与y=fx图像的交点为x1,y1、x2,y2、⋯、x2024,y2024，则∑2024i=1xi+yi=
10．一个单位方格的四条边中，若存在三条边染了三种不同的颜色，则称该单位方格是“多彩”的. 如图，一个1×3的方格表的表格线共含10条单位长线段，现要对这10条线段染色，每条线段染为红黄蓝三色之一，使得三个单位方格都是多彩的，这样的染色方式种数为（答案用数值表示）
11．已知a、b、c、d都是平面向量，且a=2a-b=5a-c=1，若=π4,则b-d+c-d的最小值为
12．已知数列{an}满足：对于任意n∈N*有an∈0,π2，且a1=π4,fan+1=f'an，其中fx=tanx，若bn=-1ntanan+1-tanan，数列{bn}的前n项和为Tn，则T120=
二.选择题（本大题共4题，满分20分）
13．已知x<-1，则在下列不等式中，不成立是（）
A．x2-1>0B．x+1x<-2C．sinx-x>0D．csx+x>0
14．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1D的中点，则（）
A．直线MB与直线B1D相交，直线MB⊂平面ABC1
B．直线MB与直线D1C平行，直线MB⊥平面A1C1D
C．直线MB与直线AC异面，直线MB⊥平面ADC1B1
D．直线MB与直线A1D垂直，直线MB//平面B1D1C
15．已知随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，下列四个命题：
甲：PX>m+1>PXm=0.5;
丙：PX≤m=0.5；丁：Pm-1Pm+1如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
16．如图所示，已知直线y=kx与曲线y=fx相切于两点，函数gx=kx+mm>0,
则对函数Fx=gx-fx，描述正确的是（）
A．有极小值点，没有极大值点B．有极大值点，没有极小值点
C．至少有两个极小值点和一个极大值点D．至少有一个极小值点和两个极大值点
三.解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．在△ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知a=22，C=45∘.
（1）若sinA=2sinB，求c;
（2）若B-A=15∘，求△ABC的面积.
18．如图，在三棱锥P-ABC中，AB是△ABC外接圆的直径，△PAC是边长为2的等边三角形，E、F分别是PC、PB的中点，PB=AB,BC=4.
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC;
（2）求直线AB与平面AEF所成角的正弦值.
19．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验. 研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80),[80,100]分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
（1）填写下面的2×2列联表；
（2）根据列联表及α=0.05的独立性检验，判断能否认为射疫后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关（单位：只）
参考公式：χ2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0的左项点为A,过点A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B，以AB为边作矩形ABCD，其中直线CD过原点O. 当点B为椭圆M上的顶点时，△AOB的面积为b，且AB=3b.
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）求矩形ABCD面积S的最大值；
（3）矩形ABCD能否为正方形？请说明理由.
21．已知函数fx=lnx+ax的极小值为1.
（1）求实数a的值；
（2）设函数gx=fx-1x+m1x2-1；
①证明：当00恒成立；
②若函数gx有两个零点，求实数m的取值范围.
【参考答案】
复兴高中高三数学
一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．{x∣-12．-23
【解析】依题意β=α+π2，因为sinα=23. 所以csβ=csα+π2=-sinα=-23.
3．2n-1
【解析】an+1=2anan≠0,n∈N*，则{an}为等比数列，公比为2，又a2+a4=2a1+23⋅a1=10a1=10,
解得：a1=1，所以a1+a2+⋯+an=1-2n1-2=2n-1·
4．64
【解析】由己知得a4=C73-m3=-35，解得m=1 ∴x-17=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7,
令x=1得a0+a1+a2+⋯+a7=0，令x=-1得a0-a1+a2+⋯-a7=-27,
两式相减得2a1+a3+a5+a7=27，得a1+a3+a5+a7=64.
5．①
6．60
【解析】fQ=CQ=310Q2+3000Q=310Q+3000Q≥2310Q⋅3000Q=2×30=60，当且仅当310Q=3000Q，即Q=100时等号成立. 所以fQ的最小值是60.
7．3.34
8．3+1
【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c+3c，再根据椭圆定义得c+3c=2a，所以椭圆M的离心率为ca=21+3=3-1.双曲线N的渐近线方程为y=±nmx，由题意得双曲线N的一条近线的倾斜为π3，∴n2m2=tan2π3=3,∴e2=m2+n2m2=m2+3m2m2=4,∴e=2.则离心率之和为3+1.
9．2024
【解析】由题意得，函数fxx∈R和f-x=2-fx的图像都关于0,1对称，所以两函数的交点也关于0,1对称，对于每一组对称xi,yi和xi',yi'，都有xi+xi'=0，yi+yi'=2. 从而∑2024i=1xi+yi=20242⋅2=2024. 故答案为2024.
10．5184
【解析】任选一个四边形的一条边，当这条边的颜色确定时，这个四边形的染色方法有6C21=12种，同时每种方法都会确认与其相邻的四边形的一条边的颜色，123×3=5184.
11．29-2
【解析】29-2，如图，OA=a，OB=b,
OC=c，OD=d，
由题意，OA=BF=CE=1,
OF=OF'=2,OE=5，∠AOD=π4，OA⊥OF'，
∴b-d+c-d=BD+CD=B'D+CD≥EF'-2=22+52-2=29-2.
12．10
【解析】10，f'x=1cs2x=sin2x+cs2xcs2x=tan2x+1，∴fan+1=f'an⇒tanan+1=tan2an+1⇒tan2an+1-tan2an=1⇒{tan2an}为首项1公差为1的等差数列，∴tan2an=n，∵an∈0,π2，∴tanan=n，∴bn=-1nn+1-n=-1nn+1+n，T120=b1+b2+b3+⋯+b119+b120=-2+1+3+2-4+3+⋯-120+119+121+120=121-1=10.
二.选择题（本大题共4题，满分20分）
13．D
【解析】∵x<-1，则x2-1=x-1x+1>0，x+1x+2=x2+2x+1x=x+12x<0，
又∵sinx、csx∈[-1,1]，∴sinx-x>0,csx+x<0.可得，ABC成立，D不成立. 故选：D.
14．D
15．D
16．C
【解析】由题设，Fx=kx+m-fx，则F'x=k-f'x,
又直线y=kx与曲线y=fx相切于两点且横坐标为x1,x2且x1所以F'x=0的两个零点为x1,x2，由图知：存在x0∈x1,x2使F'x0=0,
综上，F'x有三个不同零点x1由图：0,x1上F'x<0,x1,x0上F'x>0,x0,x2上F'x<0,x2,+∞上F'x>0 所以Fx在0,x1上递减，x1,x0上递增，x0,x2上递减，x2,+∞上递增. 故Fx至少有两个极小值点和一个极大值点. 故选C.
三.解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．（1）由正弦定理得a=2b，则b=2，由余弦定理得c=8+4-2×22×2×22=2.
（2） B-A=15∘B+A=135∘，所以B=75∘，A=60∘，
因为2232=c22，则c=433，
所以S△ABC=12asinB=12×22×433×2+64=2+233.
18．（1）证明：由题意知BC⊥AC，则AB=AC2+BC2=25，
所以PB=AB=25.
又BC=4,PC=2，所以PB2=PC2+BC2，所以PC⊥BC,
又PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC,
又BC⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.
（2）解：以C坐标原点，CA，CB在直线分别为x轴，y轴过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A2,0,0，B0,4,0，P1,0,3，E12,0,32，F12,2,32
所以AE=-32,0,32，EF=0,2,0，AB=-2,4,0.
设平面AEF面的法向量m=x,y,z,则AE→⋅m=-3x2+3z2=0,EF→⋅m=2y=0,
则y=0，取z=3，得m=1,0,3. 设直线AB与平面AEF所成的角为θ，则sinθ=cs=AB⋅mABm=510，所以直线AB与平面AEF所成角的正弦值为510.
19．（1）【解】由频率分布直方图，知列联表如下：单位：只
2分
（2） ①提出原假设H0: 注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
②确定显著性水平为α=0.05. 1分
③根据列联表中数据，得χ2=200×50×20-20×1102160×40×70×130≈4.945，
④统计决断：由Pχ2≥3.841≈0.05，而4.945>3.841，故否定原假设.
因此，认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
20．（1）由题意：a2+b2=3b12ab=b，解得a=2,b=2，
所以椭圆M的标准方程为x24+y22=1；
（2）显然直线AB的斜率存在，设为k且k>0，则直线AB的方程为y=kx+2,即kx-y+2k=0，联立y=kx+2x24+y22=1得1+2k2x2+8k2x+8k2-4=0，
解得xB=2-4k21+2k2，yB=4k1+2k2，所以AB=xB+22+yB2=41+k21+2k2，
直线CD的方程为y=kx，即kx-y=0，所以BC=2k1+k2=2k1+k2，所以矩形ABCD面各S=41+k21+2k2⋅2k1+k2=8k1+2k2=81k+2k≤822=22,
所以当且仅当k=22时，矩形ABCD面积S取最大值为22;
（3）若矩形ABCD为正方形，则AB=BC,即41+k21+2k2=2k1+k2，
则2k3-2k2+k-2=0k>0，令fk=2k3-2k2+k-2k>0,
因为f1=-1<0，f2=8>0，又fk=2k3-2k2+k-2k>0的图像不间断，
所以fk=2k3-2k2+k-2k>0有零点，所以存在矩形ABCD为正方形.
21．（1） fx的定义域为0,+∞，f'x=x-ax2.
当a≤0时，f'x>0恒成立，fx在0,+∞上单调递增，无极小值；
当a>0时，令f'x>0，x>a；令f'x<0，0所以fx在0,a上单调递减，在a,+∞上单调递增.
所以fx的极小值为fa=lna+1=1，即a=1.
综上，a=1.
（2） ① 法一，gx=lnx+m1x2-1，g'x=x2-2mx3.
∵x2-2m∴g'x<0，即gx在0,m1-m上单调递减，
∴gx>gm1-m=lnm1-m+1-2mm=lnm1-m+1-mm-1.
由（1）知，fx的最小值为f1=1，即lnx≥1-1x（当且仅当x=1时，等号成立）.
∴lnm1-m>1-1-mm，即gx>0.
法二：由（1）知，fx的最小值为f1=1.
即lnx≥1-1x（当且仅当x=1时，等号成立）.
因为0所以gx=lnx+m1x2-1>1-1x+m1x2-1=x-1[1-mx-m]x2>0得证.
② g'x=x2-2mx3，
当m≤0时，g'x≥0,gx在0,+∞上单调递增，gx至多有一个零点.
当m>0时，g'x=x+2mx-2mx3.
令g'x>0,x>2m；令g'x<0，0所以gx在0,2m上单调递减，在2m,+∞上单调递增.
所以gx的最小值为g2m=ln2m-m+12=12lnm-m+12+12ln2.
设hm=12lnm-m+12+12ln2，h'm=1-2m2m.
令h'm>0,012.
所以hm在0,12上单调递增，在12,+∞上单调递减.
所以hm的最大值为h12=0.
当m=12时，gxmin=g1=0，gx只有一个零点；
当m>12时,gxmin=g2m<0，又g1=0.gem=me2m>0.
所以gx有两个零点；
当0由①知，当00恒成立，又g1=0,
所以gx有两个零点；
综上：012.行驶里程x/万千米
1
2
4
5
维修保养费用y/万元
0.50
0.90
2.30
2.70
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
Pχ2≥k0
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200