2023届上海市复兴高级中学高三适应性练习数学试题含解析

2023届上海市复兴高级中学高三适应性练习数学试题

一、填空题

1．已知集合，若，则实数__________.

【答案】1

【分析】根据元素与集合的关系，将代入方程中，即可求得答案.

【详解】由，可得，

故答案为：1

2．不等式的解集为_________.

【答案】

【分析】利用零点分段法，分三种情况进行求解，得到答案.

【详解】，当时，，解得，故解集为，

当时，，解集为，

当时，，解得，故解集为，

综上：不等式的解集为.

故答案为：

3．的二项展开式中项的系数为___________.

【答案】

【分析】根据二项式展开式的通项，即可求得答案.

【详解】由题意知的展开式的通项为，

故展开式中项的系数为，

故答案为；

4．已知是关于x的方程的一个根，则q=____________.

【答案】4

【分析】根据实系数一元方程复数根互为共轭复数，可求得另一个根，在利用韦达定理结合复数的乘法运算求出.

【详解】因为是关于的方程的一个根，

所以时方程的另一个根，

则.

故答案为：4.

5．曲线在处的切线的倾斜角大小为___________.

【答案】

【分析】先求出，根据导数的几何意义即可求解.

【详解】由，所以，

所以 ，即处的切线的斜率为，

故切线的倾斜角为.    

故答案为：

6．将向量绕坐标原点O顺时针旋转得到，则___________.

【答案】

【分析】由条件求，再由数量积的坐标运算公式求.

【详解】因为，所以点的坐标为，

记点在轴上的投影为，则，

所以，又，

所以点的坐标为，

所以向量，

所以，

故答案为：.

7．供电公司为了分析某小区的用电量y（单位:kw·h）与气温x（单位:℃）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表:

利用最小二乘法得到的回归方程为，则____________.

【答案】

【分析】利用样本中心点在回归直线上即可求解.

【详解】由题意可知，，

，

所以样本中心点的坐标为.

将代入，得，解得.

故答案为：.

8．从，，，，中随机选取三个不同的数，在这三个数之积为偶数的条件下，它们的和不小于9的概率为____________.

【答案】

【分析】根据题意，由列举法分析从，，，，中随机选取三个不同的数的取法，进而可得其中三个数的积为偶数和三个数的和不小于的取法数目，由条件概率公式计算即可.

【详解】根据题意，

从，，，，中随机选取三个不同的数，

取法有、、、、、

、、、、，共种，

其中三个数的积为偶数的有种，

分别为、、、、

、、、、，

三个数的和不小于的有种，

分别为、、、、，

则三个数之积为偶数的条件下，

它们的和不小于9的概率为.

故答案为：

9．已知，则的最小值为____________．

【答案】4

【分析】将构造变形为，然后利用基本不等式即可求解．

【详解】由，

当且仅当，即时等号成立，故最小值为4，

故答案为：4．

10．如图，已知，是相互垂直的两条异面直线，直线与，均相互垂直，且，动点，分别位于直线，上，若直线与所成的角，三棱锥的体积的最大值为________.

【答案】/

【分析】根据直线三条直线两两垂直，将图形还原为长方体，再根据，可得即为直线与所成的角的平面角，由此可求得，从而可得，再根据棱锥的体积公式结合基本不等式即可得解.

【详解】因为直线三条直线两两垂直，

如图，将图形还原为长方体，

因为，所以即为直线与所成的角的平面角，

则，

因为平面，平面，所以，

在中，由，得，

所以，

，

当且仅当时，取等号，

所以三棱锥的体积的最大值为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：根据直线三条直线两两垂直，将图形还原为长方体，从特殊几何体入手是解决本题的关键.

11．如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡P（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点，若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为A，椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率e=___________.

【答案】

【分析】建立平面直角坐标系，结合直线方程和点到直线距离公式得到与，解出，求出离心率.

【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

由题意得，，

则直线，即，

设，则，

所以点到直线的距离为，解得，

所以，即，

直线，即，

所以点到直线的距离为，解得或，

因为，所以，即直线，

令得，即，

所以，即，

联立与，解得，

故椭圆离心率为.

故答案为：

12．已知定义在R上的偶函数满足.若，且在单调递增，则满足的x的取值范围是__________.

【答案】

【分析】由题意可知，是周期为的周期函数，的最小正周期为8，结合与的单调性，易知在一个周期内，由，可得，再结合周期求出范围即可.

【详解】因为是偶函数，所以，

由，可得关于对称，

因为，所以，

则，

因为是偶函数，所以，

因为，所以，

则，

所以函数是周期为的周期函数.

因为是偶函数，且在单调递增，所以在单调递减，

令中，则，则，

又因为关于对称，所以在上单调递增，上单调递减，

结合函数是周期为的周期函数，

综上可得在，上单调递增，，上单调递减.

因为的最小正周期为，结合图象可知，

在，上单调递增，在上单调递减，

令中，则，则，

当，又，所以，

当，又，所以，

所以当时，，解得.

又因为与均为周期函数，且8均为其周期，

所以的x的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题解题的关键是求出与的周期性，由，，结合函数的单调性和周期性求解即可.

二、单选题

13．数列{}中，“”是“{}是公比为2的等比数列”的（    ）.

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】结合等比数列的定义，判断“”和“{}是公比为2的等比数列”之间逻辑推理关系，即得答案.

【详解】对数列{}，，若，则可得，

此时{}不是公比为2的等比数列；

若{}是公比为2的等比数列，则，即，

故”是“{}是公比为2的等比数列”的必要而不充分条件，

故选：B

14．下列命题中不正确是（    ）

A．中位数就是第百分位数

B．已知随机变量，若，则

C．已知随机变量，且数为偶函数，则

D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为132.25

【答案】B

【分析】根据题意，由百分位数的定义即可判断A，由二项分布的方差性质即可判断B，由正态分布密度曲线的性质即可判断C，由方差的计算公式即可判断D.

【详解】对于A：中位数就是第百分位数，选项A正确；

对于B：，则，因此，故B错误；

对于C：，函数为偶函数，

则，

区间与关于对称，

故，故C正确；

对于D：分层抽样的平均数，

按分成抽样样本方差的计算公式，故D正确.

故选：B.

15．在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（    ）

①圆的面积为；

②椭圆的长轴长为；

③双曲线两渐近线的夹角正切值为；

④抛物线的焦点到准线的距离为

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】对于①，利用圆锥的几何性质确定圆的半径，即可求得圆的面积；对于②，结合圆锥的轴截面可求得椭圆的长轴长；对于③，建立平面直角坐标系，设双曲线方程，确定双曲线上的点的坐标，即可求得双曲线方程，进而求得双曲线两渐近线的夹角正切值；对于④，建立平面直角坐标系，设抛物线方程，确定抛物线上的点的坐标，即可求得参数，由此可判断出答案.

【详解】对于①，M为母线的中点，因此截面圆的半径为底面圆的半径的，

即截面圆半径为2，则圆的面积为，故①正确；

对于②，如图，在圆锥的轴截面中，作,垂足为C，

由题意可得M为母线的中点，则,

故椭圆的长轴长为,②正确；

对于③，如图，在与平面垂直且过点M的平面内，建立平面直角坐标系，

坐标原点与点P到底面距离相等，

则点M坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为D，其坐标为，

则设双曲线方程为，

则，将代入双曲线方程，得，

设双曲线的渐近线与轴的夹角为，则，

故双曲线两渐近线的夹角正切值为，③错误；

对于④，如图，建立平面直角坐标系，

设抛物线与底面圆的一个交点为H，

则，则,

设抛物线方程为，则，

即抛物线的焦点到准线的距离为，④错误，

故正确的命题有2个，

故选：B

16．已知，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于正整数n，甲:；乙:为严格减数列，则（    ）.

A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误

C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误

【答案】A

【分析】将函数的极值点转化为两个函数图像的交点的横坐标，由图象判断命题甲，结合函数图像利用极限思想判断命题乙.

【详解】函数的定义域为，导函数，

令，得，

所以函数的极值点为函数与函数的图象的交点的横坐标，

在同一平面直角坐标系中，分别画出函数与函数的图象，

如图所示，由图可知，在区间内，函数函数与函数的图象，有且仅有个交点，且，

所以命题甲正确；

因为，函数为增函数，

所以，

所以随着的增大，与越来越接近，距离越来越小，

所以数列为递减数列，命题乙正确.

故选：A.

【点睛】知识点点睛：本题考查的知识点有极值点的定义，余弦函数的图象，反比例函数的图象，利用图象研究方程的根等，考查数形结合，极限等数学思想，属于综合题.

三、解答题

17．设.

(1)判断函数的奇偶性，并写出最小正周期；

(2)求函数在上的最大值.

【答案】(1)非奇非偶函数，

(2)

【分析】（1）根据三角函数恒等变换化简，结合函数奇偶性的定义以及正弦函数的周期，即可求得答案；

（2）化简，结合，求得，结合正弦函数的性质，即可求得答案.

【详解】（1）由题意得，

故

，令，,

由于不恒等于，也不等于，

故为非奇非偶函数，

其最小正周期为；

（2）由题意可得

，

因为，所以，故，

故的最大值为，

即函数在上的最大值为.

18．如图，在三棱锥中，，O为AC的中点．

(1)证明：⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且二面角为，求的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由等腰三角形三线合一得到，由勾股定理逆定理得到，从而证明出线面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设，利用空间向量及二面角列出方程，求出答案.

【详解】（1）在中，，O为AC的中点．

则中线，且；

同理在中有，则；

因为，O为AC的中点．

所以且；

在中有，则，

因为，平面ABC，

所以⊥平面ABC．

（2）由（1）得⊥平面ABC，故建立如图所示空间直角坐标系，

则，

设，则，

而，

，

，

设平面PAM的一个法向量为，

由得，，

令，

又x轴所在直线垂直于平面PAC，

∴取平面PAC的一个法向量，

，

平方得，令，

，

．

19．新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是岁以上人群.该病毒进入人体后有潜伏期.潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.现对个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为，方差为.如果认为超过天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：

（1）是否有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；

（2）假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.

（i）现在很多省市对入境旅客一律要求隔离天，请用概率的知识解释其合理性；

（ii）以题目中的样本频率估计概率，设个病例中恰有个属于“长期潜伏”的概率是，当为何值时，取得最大值.

附：

若，则，，.

【答案】（1）有；（2）（i）答案见解析；（ii）250.

【分析】（1）根据列联表中的数据，利用求得，与临界表值对比下结论；

（2）(ⅰ)根据，利用小概率事件判断； (ⅱ)易得一个患者属于“长潜伏期”的概率是，进而得到，然后判断其单调性求解.

【详解】（1）依题意有，

由于，故有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；

（2）(ⅰ)若潜伏期，

由，

得知潜伏期超过天的概率很低，因此隔离天是合理的；

(ⅱ)由于个病例中有个属于长潜伏期，

若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是，

于是，

则，

，

当时，；

当时，；

∴，.

故当时，取得最大值.

【点睛】方法点睛：利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．

20．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线、的斜率分别为、，且．

①求证：直线经过定点．

②设和的面积分别为、，求的最大值．

【答案】(1)

(2)①证明见解析；②

【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；

（2）①分析可知直线不与轴垂直，设直线的方程为，可知，设点、.将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用求出的值，即可得出直线所过定点的坐标；

②写出关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值.

【详解】（1）解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值，

且最大值为，

由题意可得，解得，

所以，椭圆的标准方程为.

（2）解：①设点、.

若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意.

设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右焦点，则，

联立可得，

，可得，

由韦达定理可得，，则，

所以，

，解得，

即直线的方程为，故直线过定点.

②由韦达定理可得，，

所以，

，

，则，

因为函数在上单调递增，故，

所以，，当且仅当时，等号成立，

因此，的最大值为.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.

21．已知.

(1)求函数的极小值；

(2)当时，求证:；

(3)设），记函数在区间上的最大值为，当最小时，求a的值.

【答案】(1)函数的极小值为；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】（1）首先求导函数，求导函数的零点，分析零点两侧导数值的符号，由此确定极值点；

（2）由题意证得，即可证得题中的结论；

（3）由题意结合（2）中的结论分类讨论即可求得a的值.

【详解】（1）函数的定义域为，导函数，

令可得，，解得或，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

当时，函数取极小值，极小值为；

（2）设，，

令得或者，

所以当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

而，，，

所以当时，，

所以；

（3）由（2）知，

所以，

又，

设，则，

函数在区间上的最大值为在时的最大值，

所以是中的较大者，

若，即时，；

若，即时，；

所以当最小时，，此时.

【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的极值，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.