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北师大版七年级数学下册重难点专题提优训练专题16难点探究专题：全等三角形中的动态问题(原卷版+解析)(3大动态)
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这是一份北师大版七年级数学下册重难点专题提优训练专题16难点探究专题：全等三角形中的动态问题(原卷版+解析)(3大动态)，共28页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19201" 【典型例题】 PAGEREF _Tc19201 \h 1
\l "_Tc7697" 【考点一 利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题】 PAGEREF _Tc7697 \h 1
\l "_Tc1915" 【考点二 利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题】 PAGEREF _Tc1915 \h 7
\l "_Tc3611" 【考点三 全等三角形中的动点综合问题】 PAGEREF _Tc3611 \h 13
【典型例题】
【考点一 利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）已知：如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿向终点A运动，当点P运动___________秒时，和全等．
【变式训练】
1．（2022·江苏·景山中学七年级期末）如图，，垂足为，cm，cm，射线，垂足为，动点 从点出发以2 cm/s的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动______秒时，与全等．
2．（2022·八年级单元测试）如图, 在 中, ．点 在直线 上, 动点 从 点出发 沿 的路径向终点 运动; 动点 从 点出发沿 路径向终点 运动．点 和 点 分别以每秒 和 的运动速度同时开始运动, 其中一点到达终点时另一点也停 止运动, 分别过点 和 作 直线 于 直线 于 ．当点 运动时间为___________秒时, 与 全等．
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=24cm，AC=16cm，∠BAD=∠CAD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，动点P以每秒2cm的速度从A点向B点运动，动点Q以每秒1cm的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求证：△AED≌△AFD；
（2）若AE=10cm，当t取何值时，△DEP与△DFQ全等．
4．（2023春·七年级课时练习）如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．
(1)求证：；
(2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．
①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值；
②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．
【考点二 利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题】
例题：（2023春·七年级课时练习）如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为________．
【变式训练】
1．（2022秋·八年级课时练习）如图，在等边中，是的平分线，点是的中点，点是上的一个动点，连接，，当的值最小时，的度数为__________．
2．（2023春·七年级课时练习）如图，点B为线段上的动点，，以为边作等边，以为底边作等腰三角形，则的最小值为______．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，在等腰中，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则_____．
4．（2023春·七年级课时练习）如图，边长为9的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是______．
【考点三 全等三角形中的动点综合问题】
例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在中，．点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），，连接．
(1)如图1，当点D在线段上时，直接写出与之间的数量关系；
(2)如图2，当点D在边的延长线上时，请探究线段与之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
(3)如图3，若点D在边的延长线上，且点A，E分别在直线的两侧，其他条件不变，若，直接写出的长度．
【变式训练】
1．（2022秋·江西新余·八年级校考阶段练习）等腰直角三角形ABC中，，，P为射线BC上的一个动点（不与点B，C重合），连接AP，以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，使，连接CD．
(1)如图①，当点P在线段BC上时，求证：；
(2)如图②，当点P在线段BC的延长线上时，请直接写出线段BP和CD的数量关系与位置关系．
2．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，点是直线上的一动点（不和重合），于，交直线于．
(1)当点在边上时，
①证明：；
②证明：；
(2)点在的延长线上时，请你探索这三条线段之间的数量关系，画出图形并证明你的结论．
3．（2022秋·福建泉州·八年级泉州七中校考期中）如图，中，，E点为射线CB上一动点，连接AE，作且．
(1)①如图1，过F点作交AC于D点，求证：；
②如图2，在①的条件下，连接BF交AC于G点，若E点为BC中点，求证：；
(2)当直线BF与直线AC交于G点，若，请求出的值．
专题16 难点探究专题：全等三角形中的动态问题
【考点导航】
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19201" 【典型例题】 PAGEREF _Tc19201 \h 1
\l "_Tc7697" 【考点一 利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题】 PAGEREF _Tc7697 \h 1
\l "_Tc1915" 【考点二 利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题】 PAGEREF _Tc1915 \h 7
\l "_Tc3611" 【考点三 全等三角形中的动点综合问题】 PAGEREF _Tc3611 \h 13
【典型例题】
【考点一 利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）已知：如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿向终点A运动，当点P运动___________秒时，和全等．
【答案】2或14##14或2
【分析】分三种情况：点在上，点在上，点在上，分别进行求解即可．
【详解】解：当点在上时，
，，
当时，，
∴，
当点在上时，不是直角三角形，
∴和全等不可能成立，
当点在上时，
，，
当时，，
∴，
故答案为：2或14．
【点睛】本题考查全等三角形的判定．解题的关键是选择合适的方法证明三角形全等．
【变式训练】
1．（2022·江苏·景山中学七年级期末）如图，，垂足为，cm，cm，射线，垂足为，动点 从点出发以2 cm/s的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动______秒时，与全等．
【答案】0或2或4或6
【解析】
【分析】
根据题意可分点P在点B的左侧和右侧进行分类求解即可．
【详解】
解：设点P的运动时间为t秒，由题意得：CP=2tcm，
①当t=0时，即点C与点P重合，满足△ACB≌△NBP，
②当点P在点B的左侧时，且满足AC=BP=2cm，
∵，
∴，
∵CP=2tcm，
∴，即，
解得：；
③当点P在点B的右侧时，且满足AC=BP=2cm，则，
∴，即，
解得：；
④当点P在点B的右侧时，且满足BC=BP=6cm，则，
∴，即，
解得：；
综上所述：当或0或4或6秒时，与全等．
故答案为0或2或4或6．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2022·八年级单元测试）如图, 在 中, ．点 在直线 上, 动点 从 点出发 沿 的路径向终点 运动; 动点 从 点出发沿 路径向终点 运动．点 和 点 分别以每秒 和 的运动速度同时开始运动, 其中一点到达终点时另一点也停 止运动, 分别过点 和 作 直线 于 直线 于 ．当点 运动时间为___________秒时, 与 全等．
【答案】2或6##6或2
【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；
【详解】解：如图1所示：
与全等，
，
，
解得∶；
如图2所示：
点与点重合，
与全等，
，
解得∶；
故答案为∶或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=24cm，AC=16cm，∠BAD=∠CAD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，动点P以每秒2cm的速度从A点向B点运动，动点Q以每秒1cm的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求证：△AED≌△AFD；
（2）若AE=10cm，当t取何值时，△DEP与△DFQ全等．
【答案】（1）见解析；（2）t=4或
【分析】（1）利用直接证明△AED≌△AFD即可；
（2）先求解 再分三种情况讨论，①当0＜t＜5时，点P在线段AE上，点Q在线段CF上，②当5≤t＜6时，点P在线段BE上，点Q在线段CF上，③当6≤t＜12时，点P在线段BE上，点Q在线段AF上，再利用全等三角形的对应边相等建立方程，解方程即可得到答案.
【详解】解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠AED=∠AFD=90°．
∵ ∠BAD=∠CAD，AD=AD．
∴ △AED≌△AFD(AAS)．
（2）∵△AED≌△AFD
∴ DE=DF，AF=AE=10．
∴CF=6
若△DEP与△DFQ全等，且DE=DF，∠DEP=∠DFQ=90°，
∴EP=FQ，
①当0＜t＜5时，点P在线段AE上，点Q在线段CF上，
∴EP=10﹣2t，FQ=6﹣t
∴10﹣2t＝6﹣t，
∴t=4；
②当5≤t＜6时，点P在线段BE上，点Q在线段CF上，
∴EP=2t-10，FQ=6﹣t
∴2t-10=6﹣t，
∴t=
③当6≤t＜12时，点P在线段BE上，点Q在线段AF上，
∴EP=2t-10，FQ=t﹣6
∴2t-10=t-6，
∴t=4（不合题意，舍去）．
综上所述，当t=4或时，△DEP与△DFQ全等．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，动态三角形全等问题，清晰的分类讨论是解题的关键.
4．（2023春·七年级课时练习）如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．
(1)求证：；
(2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．
①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值；
②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．
【答案】(1)见解析
(2)①；②存在，或
【分析】（1）①先证Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），推出∠BAC＝∠BCA．再由角平分线的定义得∠BAM＝∠BAC，等量代换即可证明；
（2）①作BH⊥AM，垂足为M．先证△AHB≌△ADB（AAS），推出BH＝BD，再由S△ABP＝S△BQC，推出，结合P，Q运动方向及速度即可求解；②分“点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上”，以及“点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上”两种情况讨论，利用三角形全等得出AP与CQ的关系即可求解．
【详解】（1）证明：∵BD⊥AC，
∴，
在Rt△BDA和Rt△BDC中，
∴Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），
∴∠BAC＝∠BCA．
∵AB平分∠MAN，
∴∠BAM＝∠BAC，
∴∠BAM＝∠BCA．
（2）解：①如下图所示，作BH⊥AM，垂足为M．
∵BH⊥AM，BD⊥AC，
∴∠AHB＝∠ADB＝90°，
在△AHB和△ADB中，
∴△AHB≌△ADB（AAS），
∴BH＝BD，
∵S△ABP＝S△BQC，
∴，
∴，
∴，
∴．
②存在，理由如下：
当点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上时，如下图所示，
∵AB＝BC，
又由（1）得∠BAM＝∠BCA，
∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，
∴，
∴；
当点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上时，如下图所示，
由（1）得∠BAM＝∠BCA，
∴∠BAP＝∠BCQ，
又∵AB＝BC，
∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，
∴，
∴．
综上所述，当或时，△APB和△CQB全等．
【点睛】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，并注意分类讨论是解题的关键．
【考点二 利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题】
例题：（2023春·七年级课时练习）如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为________．
【答案】
【分析】在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案．
【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，
平分，
，
，
∴，
，
，
∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，
，
，
即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·八年级课时练习）如图，在等边中，是的平分线，点是的中点，点是上的一个动点，连接，，当的值最小时，的度数为__________．
【答案】60°##60度
【分析】由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA＝PC，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值，然后根据等边三角形的性质求出∠EPB＝60°，再通过△BPE≌△CPE得出∠EPC＝∠EPB＝60°．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，BD是∠ABC的平分线，
∴点D为AC的中点，BD⊥AC，
∴点A、点C关于BD对称，
如图，连接AE，交BD于P，线段AE的长即为PE+PC最小值，
∵点E是边BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠PBE＝30°，
∴∠BPE＝60°，
∵在△BPE和△CPE中，
，
∴△BPE≌△CPE（SAS），
∴∠EPC＝∠BPE＝60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．
2．（2023春·七年级课时练习）如图，点B为线段上的动点，，以为边作等边，以为底边作等腰三角形，则的最小值为______．
【答案】2
【分析】连接，证明，得，从而点P在射线上运动，再利用垂线段最短解决问题．
【详解】解：连接,
∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴,
∴，
∴，
∴点P在射线上运动，
∴当时，的值最小，
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，点的运动轨迹问题，证明点P在射线上运动是解题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，在等腰中，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则_____．
【答案】
【分析】作，交的延长线于H，利用证明，得，，再证明，得，从而解决问题．
【详解】解：作，交的延长线于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
4．（2023春·七年级课时练习）如图，边长为9的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是______．
【答案】
【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转可以证明，可得，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，由直角三角形的性质可求得线段长度的最小值．
【详解】解：如图，取的中点G，连接，
∵线段绕点逆时针旋转得到，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
即，
∴，
∵是等边三角形的高，
∴，
∴，
又∵旋转到，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
根据垂线段最短，当时，最短，即最短，
此时，
∴，
∴，
∴．
∴线段长度的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
【考点三 全等三角形中的动点综合问题】
例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在中，．点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），，连接．
(1)如图1，当点D在线段上时，直接写出与之间的数量关系；
(2)如图2，当点D在边的延长线上时，请探究线段与之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
(3)如图3，若点D在边的延长线上，且点A，E分别在直线的两侧，其他条件不变，若，直接写出的长度．
【答案】(1)CE+CD=BC，证明见解析
(2)CE=BC+CD，证明见解析
(3)CE=4
【解析】
【分析】
（1）根据条件AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD和CE之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得到CE+CD=BC；
（2）根据已知条件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，再根据BD=BC+CD，即可得到CE=BC+CD；
（3）根据条件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，即可解决问题．
(1)
解：如图1，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BC=BD+CD=CE+CD，
(2)
线段BC，CD与CE之间存在的数量关系为BC=CE-CD．
理由：如图2中，由（1）同理可得，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即∠BAD=∠CAE，
∴在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BD=BC+CD，即CE=BC+CD．
(3)
如图3，
由（1）同理可得， ∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE， 即∠BAD=∠EAC，
同理，△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∵CD=10，BC=6，
∴DB=DC-BC=4，
∴CE=4．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质．解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等．
【变式训练】
1．（2022秋·江西新余·八年级校考阶段练习）等腰直角三角形ABC中，，，P为射线BC上的一个动点（不与点B，C重合），连接AP，以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，使，连接CD．
(1)如图①，当点P在线段BC上时，求证：；
(2)如图②，当点P在线段BC的延长线上时，请直接写出线段BP和CD的数量关系与位置关系．
【答案】(1)见解析
(2)；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，用SAS即可进行证明；
（2）证明，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：∵在等腰直角三角形BAC与等腰直角三角形PAD中，·
∴，
∴
在△CAD与△BAP中，
∴．
（2）∵在等腰直角三角形BAC与等腰直角三角形PAD中，·
∴，
∴
在△CAD与△BAP中，
∴，
∴，∠PBA=∠DCA，
∵∠PBA+∠BCA=90°，
∴∠DCA+∠BCA=90°，即∠BCD=90°，
∴
综上：；
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关内容是解题的关键．
2．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，点是直线上的一动点（不和重合），于，交直线于．
(1)当点在边上时，
①证明：；
②证明：；
(2)点在的延长线上时，请你探索这三条线段之间的数量关系，画出图形并证明你的结论．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)，图见解析，理由见解析
【分析】（1）①根据等角的余角相等，得出，进而证明根据全等三角形的性质即可得证；
②根据得出，则；
（2）结论为，根据题意画出图形，证明，得出，根据，即可得证．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴；
（2）结论为．画图如下．
证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
则．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
3．（2022秋·福建泉州·八年级泉州七中校考期中）如图，中，，E点为射线CB上一动点，连接AE，作且．
(1)①如图1，过F点作交AC于D点，求证：；
②如图2，在①的条件下，连接BF交AC于G点，若E点为BC中点，求证：；
(2)当直线BF与直线AC交于G点，若，请求出的值．
【答案】(1)（1）①见解析；②见解析
(2)或
【分析】（1）①通过“”证明即可；
②过F点作交于D点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，即可解题；
（3）分两种情况：过F作的延长线交于点，易证，由（1）（2）可知，，可得，，即可求得的值，即可解题．
【详解】（1）解：①证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
②证明：∵，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）解：过F作的延长线交于点D，如图3，\
∵，，，
∴，
由（1）（2）知：，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理，当点E在线段BC上时，
．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证、是解题的关键．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19201" 【典型例题】 PAGEREF _Tc19201 \h 1
\l "_Tc7697" 【考点一 利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题】 PAGEREF _Tc7697 \h 1
\l "_Tc1915" 【考点二 利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题】 PAGEREF _Tc1915 \h 7
\l "_Tc3611" 【考点三 全等三角形中的动点综合问题】 PAGEREF _Tc3611 \h 13
【典型例题】
【考点一 利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）已知：如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿向终点A运动，当点P运动___________秒时，和全等．
【变式训练】
1．（2022·江苏·景山中学七年级期末）如图，，垂足为，cm，cm，射线，垂足为，动点 从点出发以2 cm/s的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动______秒时，与全等．
2．（2022·八年级单元测试）如图, 在 中, ．点 在直线 上, 动点 从 点出发 沿 的路径向终点 运动; 动点 从 点出发沿 路径向终点 运动．点 和 点 分别以每秒 和 的运动速度同时开始运动, 其中一点到达终点时另一点也停 止运动, 分别过点 和 作 直线 于 直线 于 ．当点 运动时间为___________秒时, 与 全等．
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=24cm，AC=16cm，∠BAD=∠CAD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，动点P以每秒2cm的速度从A点向B点运动，动点Q以每秒1cm的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求证：△AED≌△AFD；
（2）若AE=10cm，当t取何值时，△DEP与△DFQ全等．
4．（2023春·七年级课时练习）如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．
(1)求证：；
(2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．
①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值；
②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．
【考点二 利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题】
例题：（2023春·七年级课时练习）如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为________．
【变式训练】
1．（2022秋·八年级课时练习）如图，在等边中，是的平分线，点是的中点，点是上的一个动点，连接，，当的值最小时，的度数为__________．
2．（2023春·七年级课时练习）如图，点B为线段上的动点，，以为边作等边，以为底边作等腰三角形，则的最小值为______．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，在等腰中，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则_____．
4．（2023春·七年级课时练习）如图，边长为9的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是______．
【考点三 全等三角形中的动点综合问题】
例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在中，．点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），，连接．
(1)如图1，当点D在线段上时，直接写出与之间的数量关系；
(2)如图2，当点D在边的延长线上时，请探究线段与之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
(3)如图3，若点D在边的延长线上，且点A，E分别在直线的两侧，其他条件不变，若，直接写出的长度．
【变式训练】
1．（2022秋·江西新余·八年级校考阶段练习）等腰直角三角形ABC中，，，P为射线BC上的一个动点（不与点B，C重合），连接AP，以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，使，连接CD．
(1)如图①，当点P在线段BC上时，求证：；
(2)如图②，当点P在线段BC的延长线上时，请直接写出线段BP和CD的数量关系与位置关系．
2．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，点是直线上的一动点（不和重合），于，交直线于．
(1)当点在边上时，
①证明：；
②证明：；
(2)点在的延长线上时，请你探索这三条线段之间的数量关系，画出图形并证明你的结论．
3．（2022秋·福建泉州·八年级泉州七中校考期中）如图，中，，E点为射线CB上一动点，连接AE，作且．
(1)①如图1，过F点作交AC于D点，求证：；
②如图2，在①的条件下，连接BF交AC于G点，若E点为BC中点，求证：；
(2)当直线BF与直线AC交于G点，若，请求出的值．
专题16 难点探究专题：全等三角形中的动态问题
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19201" 【典型例题】 PAGEREF _Tc19201 \h 1
\l "_Tc7697" 【考点一 利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题】 PAGEREF _Tc7697 \h 1
\l "_Tc1915" 【考点二 利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题】 PAGEREF _Tc1915 \h 7
\l "_Tc3611" 【考点三 全等三角形中的动点综合问题】 PAGEREF _Tc3611 \h 13
【典型例题】
【考点一 利用分类讨论思想求全等三角形中的动点中的时间问题】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）已知：如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿向终点A运动，当点P运动___________秒时，和全等．
【答案】2或14##14或2
【分析】分三种情况：点在上，点在上，点在上，分别进行求解即可．
【详解】解：当点在上时，
，，
当时，，
∴，
当点在上时，不是直角三角形，
∴和全等不可能成立，
当点在上时，
，，
当时，，
∴，
故答案为：2或14．
【点睛】本题考查全等三角形的判定．解题的关键是选择合适的方法证明三角形全等．
【变式训练】
1．（2022·江苏·景山中学七年级期末）如图，，垂足为，cm，cm，射线，垂足为，动点 从点出发以2 cm/s的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动______秒时，与全等．
【答案】0或2或4或6
【解析】
【分析】
根据题意可分点P在点B的左侧和右侧进行分类求解即可．
【详解】
解：设点P的运动时间为t秒，由题意得：CP=2tcm，
①当t=0时，即点C与点P重合，满足△ACB≌△NBP，
②当点P在点B的左侧时，且满足AC=BP=2cm，
∵，
∴，
∵CP=2tcm，
∴，即，
解得：；
③当点P在点B的右侧时，且满足AC=BP=2cm，则，
∴，即，
解得：；
④当点P在点B的右侧时，且满足BC=BP=6cm，则，
∴，即，
解得：；
综上所述：当或0或4或6秒时，与全等．
故答案为0或2或4或6．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2022·八年级单元测试）如图, 在 中, ．点 在直线 上, 动点 从 点出发 沿 的路径向终点 运动; 动点 从 点出发沿 路径向终点 运动．点 和 点 分别以每秒 和 的运动速度同时开始运动, 其中一点到达终点时另一点也停 止运动, 分别过点 和 作 直线 于 直线 于 ．当点 运动时间为___________秒时, 与 全等．
【答案】2或6##6或2
【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；
【详解】解：如图1所示：
与全等，
，
，
解得∶；
如图2所示：
点与点重合，
与全等，
，
解得∶；
故答案为∶或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=24cm，AC=16cm，∠BAD=∠CAD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，动点P以每秒2cm的速度从A点向B点运动，动点Q以每秒1cm的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求证：△AED≌△AFD；
（2）若AE=10cm，当t取何值时，△DEP与△DFQ全等．
【答案】（1）见解析；（2）t=4或
【分析】（1）利用直接证明△AED≌△AFD即可；
（2）先求解 再分三种情况讨论，①当0＜t＜5时，点P在线段AE上，点Q在线段CF上，②当5≤t＜6时，点P在线段BE上，点Q在线段CF上，③当6≤t＜12时，点P在线段BE上，点Q在线段AF上，再利用全等三角形的对应边相等建立方程，解方程即可得到答案.
【详解】解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠AED=∠AFD=90°．
∵ ∠BAD=∠CAD，AD=AD．
∴ △AED≌△AFD(AAS)．
（2）∵△AED≌△AFD
∴ DE=DF，AF=AE=10．
∴CF=6
若△DEP与△DFQ全等，且DE=DF，∠DEP=∠DFQ=90°，
∴EP=FQ，
①当0＜t＜5时，点P在线段AE上，点Q在线段CF上，
∴EP=10﹣2t，FQ=6﹣t
∴10﹣2t＝6﹣t，
∴t=4；
②当5≤t＜6时，点P在线段BE上，点Q在线段CF上，
∴EP=2t-10，FQ=6﹣t
∴2t-10=6﹣t，
∴t=
③当6≤t＜12时，点P在线段BE上，点Q在线段AF上，
∴EP=2t-10，FQ=t﹣6
∴2t-10=t-6，
∴t=4（不合题意，舍去）．
综上所述，当t=4或时，△DEP与△DFQ全等．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，动态三角形全等问题，清晰的分类讨论是解题的关键.
4．（2023春·七年级课时练习）如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．
(1)求证：；
(2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．
①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值；
②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．
【答案】(1)见解析
(2)①；②存在，或
【分析】（1）①先证Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），推出∠BAC＝∠BCA．再由角平分线的定义得∠BAM＝∠BAC，等量代换即可证明；
（2）①作BH⊥AM，垂足为M．先证△AHB≌△ADB（AAS），推出BH＝BD，再由S△ABP＝S△BQC，推出，结合P，Q运动方向及速度即可求解；②分“点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上”，以及“点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上”两种情况讨论，利用三角形全等得出AP与CQ的关系即可求解．
【详解】（1）证明：∵BD⊥AC，
∴，
在Rt△BDA和Rt△BDC中，
∴Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），
∴∠BAC＝∠BCA．
∵AB平分∠MAN，
∴∠BAM＝∠BAC，
∴∠BAM＝∠BCA．
（2）解：①如下图所示，作BH⊥AM，垂足为M．
∵BH⊥AM，BD⊥AC，
∴∠AHB＝∠ADB＝90°，
在△AHB和△ADB中，
∴△AHB≌△ADB（AAS），
∴BH＝BD，
∵S△ABP＝S△BQC，
∴，
∴，
∴，
∴．
②存在，理由如下：
当点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上时，如下图所示，
∵AB＝BC，
又由（1）得∠BAM＝∠BCA，
∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，
∴，
∴；
当点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上时，如下图所示，
由（1）得∠BAM＝∠BCA，
∴∠BAP＝∠BCQ，
又∵AB＝BC，
∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，
∴，
∴．
综上所述，当或时，△APB和△CQB全等．
【点睛】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，并注意分类讨论是解题的关键．
【考点二 利用全等三角形中的动点求线段长及最值问题】
例题：（2023春·七年级课时练习）如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为________．
【答案】
【分析】在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案．
【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，
平分，
，
，
∴，
，
，
∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，
，
，
即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·八年级课时练习）如图，在等边中，是的平分线，点是的中点，点是上的一个动点，连接，，当的值最小时，的度数为__________．
【答案】60°##60度
【分析】由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA＝PC，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值，然后根据等边三角形的性质求出∠EPB＝60°，再通过△BPE≌△CPE得出∠EPC＝∠EPB＝60°．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，BD是∠ABC的平分线，
∴点D为AC的中点，BD⊥AC，
∴点A、点C关于BD对称，
如图，连接AE，交BD于P，线段AE的长即为PE+PC最小值，
∵点E是边BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠PBE＝30°，
∴∠BPE＝60°，
∵在△BPE和△CPE中，
，
∴△BPE≌△CPE（SAS），
∴∠EPC＝∠BPE＝60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．
2．（2023春·七年级课时练习）如图，点B为线段上的动点，，以为边作等边，以为底边作等腰三角形，则的最小值为______．
【答案】2
【分析】连接，证明，得，从而点P在射线上运动，再利用垂线段最短解决问题．
【详解】解：连接,
∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴,
∴，
∴，
∴点P在射线上运动，
∴当时，的值最小，
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，点的运动轨迹问题，证明点P在射线上运动是解题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，在等腰中，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则_____．
【答案】
【分析】作，交的延长线于H，利用证明，得，，再证明，得，从而解决问题．
【详解】解：作，交的延长线于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
4．（2023春·七年级课时练习）如图，边长为9的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是______．
【答案】
【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转可以证明，可得，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，由直角三角形的性质可求得线段长度的最小值．
【详解】解：如图，取的中点G，连接，
∵线段绕点逆时针旋转得到，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
即，
∴，
∵是等边三角形的高，
∴，
∴，
又∵旋转到，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
根据垂线段最短，当时，最短，即最短，
此时，
∴，
∴，
∴．
∴线段长度的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
【考点三 全等三角形中的动点综合问题】
例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在中，．点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），，连接．
(1)如图1，当点D在线段上时，直接写出与之间的数量关系；
(2)如图2，当点D在边的延长线上时，请探究线段与之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
(3)如图3，若点D在边的延长线上，且点A，E分别在直线的两侧，其他条件不变，若，直接写出的长度．
【答案】(1)CE+CD=BC，证明见解析
(2)CE=BC+CD，证明见解析
(3)CE=4
【解析】
【分析】
（1）根据条件AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD和CE之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得到CE+CD=BC；
（2）根据已知条件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，再根据BD=BC+CD，即可得到CE=BC+CD；
（3）根据条件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，即可解决问题．
(1)
解：如图1，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BC=BD+CD=CE+CD，
(2)
线段BC，CD与CE之间存在的数量关系为BC=CE-CD．
理由：如图2中，由（1）同理可得，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即∠BAD=∠CAE，
∴在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BD=BC+CD，即CE=BC+CD．
(3)
如图3，
由（1）同理可得， ∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE， 即∠BAD=∠EAC，
同理，△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∵CD=10，BC=6，
∴DB=DC-BC=4，
∴CE=4．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质．解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等．
【变式训练】
1．（2022秋·江西新余·八年级校考阶段练习）等腰直角三角形ABC中，，，P为射线BC上的一个动点（不与点B，C重合），连接AP，以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，使，连接CD．
(1)如图①，当点P在线段BC上时，求证：；
(2)如图②，当点P在线段BC的延长线上时，请直接写出线段BP和CD的数量关系与位置关系．
【答案】(1)见解析
(2)；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，用SAS即可进行证明；
（2）证明，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：∵在等腰直角三角形BAC与等腰直角三角形PAD中，·
∴，
∴
在△CAD与△BAP中，
∴．
（2）∵在等腰直角三角形BAC与等腰直角三角形PAD中，·
∴，
∴
在△CAD与△BAP中，
∴，
∴，∠PBA=∠DCA，
∵∠PBA+∠BCA=90°，
∴∠DCA+∠BCA=90°，即∠BCD=90°，
∴
综上：；
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关内容是解题的关键．
2．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，点是直线上的一动点（不和重合），于，交直线于．
(1)当点在边上时，
①证明：；
②证明：；
(2)点在的延长线上时，请你探索这三条线段之间的数量关系，画出图形并证明你的结论．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)，图见解析，理由见解析
【分析】（1）①根据等角的余角相等，得出，进而证明根据全等三角形的性质即可得证；
②根据得出，则；
（2）结论为，根据题意画出图形，证明，得出，根据，即可得证．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴；
（2）结论为．画图如下．
证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
则．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
3．（2022秋·福建泉州·八年级泉州七中校考期中）如图，中，，E点为射线CB上一动点，连接AE，作且．
(1)①如图1，过F点作交AC于D点，求证：；
②如图2，在①的条件下，连接BF交AC于G点，若E点为BC中点，求证：；
(2)当直线BF与直线AC交于G点，若，请求出的值．
【答案】(1)（1）①见解析；②见解析
(2)或
【分析】（1）①通过“”证明即可；
②过F点作交于D点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，即可解题；
（3）分两种情况：过F作的延长线交于点，易证，由（1）（2）可知，，可得，，即可求得的值，即可解题．
【详解】（1）解：①证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
②证明：∵，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）解：过F作的延长线交于点D，如图3，\
∵，，，
∴，
由（1）（2）知：，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理，当点E在线段BC上时，
．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证、是解题的关键．
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