2023-2024学年湖南省永州市零陵区八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省永州市零陵区八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式：13a，1−1x，a−b2，xyx，5+yπ，12x+y，中，是分式的共有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
2.华为一部分Mate40手机将会搭载麒麟1020处理器，这是手机行业首批采用5nm工艺制式的芯片，1nm=0.000000001m，其中5nm用科学记数法表示为( )
A. 5×109B. 5×10−10C. 5×10−8D. 5×10−9
3.如果把分式xyx+y(x>0,y>0)中的字母都扩大2倍，那么分式的值( )
A. 不变B. 扩大2倍C. 缩小为原来的12D. 无法确定
4.若分式|x|−2(x+3)(x−2)的值为0，则x的取值是( )
A. 2B. 2或−2C. −2D. 0
5.下列式子从左到右变形正确的是( )
A. −aa−b=−ab−aB. ab=abb2C. ab=a+5b+5D. ab=a2ab
6.下列各分式中，是最简分式的是( )
A. x2+y2x+yB. x2−y2x+yC. x2+xxyD. xyy2
7.下列计算正确的是( )
A. 3−1=−3B. 5x−2=15x2C. (x−3)2⋅x6=0D. (x3)2÷x−2=x8
8.在正数范围内定义一种运算“※”，其规定则为a※b=1a+1b，如2※4=12+14=34，根据这个规则，则方程3※(x−1)=1的解为( )
A. 12B. −52C. 52D. −12
9.已知A=6x2−9，B=1x+3+13−x，则A，B的关系为( )
A. A=BB. AB=1C. A+B=0D. 不能确定
10.为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球.已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个.如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为( )
A. 1500x+20−800x=5B. 1500x−20−800x=5
C. 800x−1500x+20=5D. 800x−1500x−20=5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若分式x−1x+1有意义，则x的取值范围是 ．
12.计算：(−2xy−1)−2= ______．
13.关于x的分式方程x+mx−2+12−x=3有增根，则m= ______．
14.若关于x的方程axa−x=32的解为x=1，则a等于______．
15.若1x+1y=3，则分式3x+xy+3yx−xy+y的值为______．
16.若3x−2y−3=0，则8x÷4y= ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算．
(1)(−1)2023+(π−3.14)0×(−2)2+(−13)−2；
(2)(−2x2y−3)−2⋅(−xy2)3÷(x−3y)2．
18.(本小题8分)
计算题．
(1)(1x+1−1x−1)÷21−x；
(2)(xz2−y)3⋅(y2xz)4÷(xy−2z)3．
19.(本小题8分)
解方程．
(1)x2x−1+21−2x=3；
(2)4x2−4−1x−2=0．
20.(本小题6分)
先化简(1+3a−1)÷a2−4a−1，再从−1，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．
21.(本小题8分)
若3x−7(2x−3)(x+1)=A2x−3−Bx+1(A、B为常数)，求A−B的值．
22.(本小题8分)
已知关于x的方程2x−1−mx(x−1)(x+2)=1x+2，若该方程无解，试求m的值；
23.(本小题8分)
已知x2−5x+1=0，求：
(1)x+x−1；
(2)x2x4−5x2+1的值．
24.(本小题8分)
某校学生利用双休时间去距学校10km的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．
25.(本小题10分)
阅读下面材料并解答问题
材料：定义：如果将一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.如：将分式−x3−2x2+x+3−x2+1拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．
解：由分母为−x2+1，可设−x3−2x2+x+3=(−x2+1)(x+a)+b，
则−x3−2x2+x+3=−x3−ax2+x+a+b．
∵对任意x上述等式均成立，∴a=2且a+b=3，∴a=2，b=1．
∴−x3−2x2+x+3−x2+1=(−x2+1)(x+2)+1−x2+1=x+2+1−x2+1．
这样，分式−x3−2x2+x+3−x2+1被拆分成了一个整式x+2与一个分式1−x2+1的和．
求：(1)如果分式3x+2x−1的值为整数，求x的整数值．
(2)当−1答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：1−1x，xyx的分母中含有字母，是分式，共2个，
故选：A．
利用分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式，进行解答即可．
此题主要考查了分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．
2.【答案】D
【解析】解：5nm=0.000000005m，
0.000000005=5×10−9．
故选：D．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】B
【解析】解：由题意得：2x⋅2y2x+2y=4xy2(x+y)=2xyx+y，
∴如果把分式xyx+y(x>0,y>0)中的字母都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，
故选：B．
根据分式的基本性质进行计算，即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵分式|x|−2(x+3)(x−2)的值为0，
∴|x|−2=0且(x+3)(x−2)x≠0，
解得x=−2，
故选：C．
根据分式值为零的条件列出方程和不等式，解方程和不等式得到答案．
本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、−aa−b=−a−(b−a)=ab−a，故A不符合题意；
B、ab=abb2，故B符合题意；
C、ab≠a+5b+5，故C不符合题意；
D、ab=a2ab(a≠0)，故D不符合题意；
故选：B．
根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A．x2+y2x+y是最简分式；
B.x2−y2x+y=(x+y)(x−y)x+y=x−y，不符合题意；
C.x2+xxy=x(x+1)xy=x+1y，不符合题意；
D.xyy2=xy，不符合题意；
故选：A．
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，先观察有无相同因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分．
7.【答案】D
【解析】解：A.3−1=13，因此选项A不符合题意；
B.5x−2=5×1x2=5x2，因此选项B不符合题意；
C.(x−3)2⋅x6=x−6⋅x6=x0=1，因此选项C不符合题意；
D.(x3)2÷x−2=x6÷x−2=x6+2=x8，因此选项D符合题意．
故选：D．
根据负整数指数幂，同底数幂的乘除法的计算方法以及幂的乘方与积的乘方的计算方法逐项进行计算即可．
本题考查负整数指数幂，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握负整数指数幂，同底数幂的乘除法的计算方法以及幂的乘方与积的乘方的计算方法是正确解答的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵3※(x−1)=1，
∴13+1x−1=1，
x−1+3=3(x−1)，
解得：x=52，
检验：当x=52时，3(x−1)≠0，
∴x=52是原方程的根，
故选：C．
按照定义的新运算可得：13+1x−1=1，然后按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：A+B=6x2−9+1x+3+13−x
=6(x+3)(x−3)+x−3(x+3)(x−3)−x+3(x+3)(x−3)
=6(x+3)(x−3)+x−3−x−3(x+3)(x−3)
=6(x+3)(x−3)−6(x+3)(x−3)
=0，
故选：C．
根据分式的加减运算法则即可求出答案．
本题考查分式的加减运算法则，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
10.【答案】A
【解析】解：设每个足球的价格为x元，可列方程为：
1500x+20−800x=5．
故选：A．
根据足球价格表示出篮球的价格，再利用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个得出等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．
11.【答案】x≠−1
【解析】解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠−1．
故答案为：x≠−1．
根据分式有意义的条件可得x+1≠0，再解即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为零．
12.【答案】y24x2
【解析】解：原式=(−2)−2x−2y2
=y24x2．
故答案为：y24x2．
先根据积的乘方和幂的乘方法则运算，然后根据负整数指数幂的意义计算．
本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
13.【答案】−1
【解析】解：方程两边同乘(x−2)得：x+m−1=3(x−2)，
由题意得：x=2是该整式方程的解，
∴2+m−1=0，
解得：m=−1，
故答案为：−1．
先去分母，再根据增根的意义列方程求解．
本题考查了分式方程的增根，理解增根的意义是解题的关键．
14.【答案】3
【解析】解：把x=1代入关于x的方程axa−x=32得，aa−1=32，
两边都乘以2(a−1)，得
2a=3(a−1)，
解得a=3，
经检验，a=3是方程的解，
故答案为：3．
根据方程解的定义代入得到aa−1=32，再根据分式方程的解法进行计算即可．
本题考查分式方程的解，理解分式方程解的定义，掌握分式方程的解法是正确解答的关键．
15.【答案】5
【解析】解：∵1x+1y=3，
∴x+y=3xy，
∴3x+xy+3yx−xy+y
=3(x+y)+xy(x+y)−xy
=3×3xy+xy3xy−xy
=10xy2xy
=5，
故答案为：5．
先把已知条件变形为x+y=3xy，然后把要求的分式变形为3(x+y)+xy(x+y)−xy，代入求值即可．
本题考查了分式的值，分式的加减法，得出x+y=3xy是解题的关键．
16.【答案】8
【解析】【分析】
本题考查了同底数幂的除法，先利用幂的乘方得出同底数幂的除法是解题关键，根据幂的乘方，可得同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，可得答案．
【解答】
解：移项，得3x−2y=3．
原式=23x÷22y=23x−2y=23=8．
故答案为8．
17.【答案】解：(1)原式=−1+1×4+9
=12；
(2)原式=14x−4y6×(−x3y6)÷x−6y2
=−14x−4+3−(−6)y6+6−2
=−14x5y10．
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)先算乘方，再算乘除，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)原式=x−1−x−1(x+1)(x−1)⋅−(x−1)2
=−2(x+1)(x−1)⋅−(x−1)2
=1x+1；
(2)原式=x3z6−y3⋅y8x4z4⋅−8z3x3y3
=8y2z5x4．
【解析】(1)先通分算括号内的，把除化为乘，再约分即可；
(2)先算乘方，把除化为乘，再约分即可．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质，把分式通分和约分．
19.【答案】解：(1)原方程去分母得：x−2=3(2x−1)，
去括号得：x−2=6x−3，
移项，合并同类项得：−5x=−1，
系数化为1得：x=15，
经检验，x=15是分式方程的解，
故原方程的解为x=15；
(2)原方程去分母得：4−(x+2)=0，
去括号得：4−x−2=0，
移项，合并同类项得：x=2，
经检验，x=2是分式方程的增根，
故原方程无解．
【解析】利用解分式方程的步骤解各方程即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
20.【答案】解：原式= a−1+3a−1⋅a−1(a−2)(a+2)
=a+2a−1⋅a−1(a−2)(a+2)
=1a−2，
当a=1或2时，分式无意义，
故当a=−1时，原式=−13，
当a=0时，原式=−12．
【解析】直接利用分式的混合运算法则化简，进而把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
21.【答案】解：A2x−3−Bx+1
=A(x+1)(2x−3)(x−1)−B(2x−3)(2x−3)(x−1)
=Ax+A−2Bx+3B(2x−3)(x+1)
=(A−2B)x+A+3B(2x−3)(x+1)，
∵3x−7(2x−3)(x+1)=A2x−3−Bx+1，
∴A−2B=3A+3B=−7，
解得：A=−1B=−2，
∴A−B=−1−(−2)=−1+2=1．
【解析】先求出A2x−3−Bx+1，然后根据计算结果和已知条件，列出关于A，B的方程组，求出A，B，再代入A−B进行计算即可．
本题主要考查了分式的加减，解题关键是熟练掌握分式的通分和合并同类项法则．
22.【答案】解：2x−1−mx(x−1)(x+2)=1x+2，
去分母并整理得(m−1)x=5，
∵原分式方程无解，
∴(x+2)(x−1)=0或m−1=0，
当m−1=0时，
解得m=1；
当(x+2)(x−1)=0时，
解得：x=−2或x=1，
当x=−2时，得m=−32；
当x=1时，得m=6，
∴m的值可能为1或−32或6．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值；由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)由x2−5x+1=0可知x≠0，
两边同时除以x得：x−5+1x=0，
∴x+x−1=x+1x=5；
∴x+x−1的值为5；
(2)∵x+x−1=5，
∴x2x4−5x2+1
=1x2−5+x−2
=1(x+x−1)2−7
=152−7
=118．
【解析】(1)由x2−5x+1=0得x−5+1x=0，故x+x−1的值为5；
(2)将x2x4−5x2+1变形为1(x+x−1)2−7，再结合91)可得答案．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质和完全平方公式的变形应用．
24.【答案】解：设骑车学生的速度为x千米/小时，汽车的速度为2x千米/小时，
可得：10x=102x+2060，
解得：x=15，
经检验x=15是原方程的解，
2x=2×15=30，
答：骑车学生的速度和汽车的速度分别是每小时15km，30km．
【解析】求速度，路程已知，根据时间来列等量关系．关键描述语为：“一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达”，根据等量关系列出方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，得到合适的等量关系是解决问题的关键．
25.【答案】解：(1)3x+2x−1=3x−3+5x−1=3(x−1)+5x−1=3+5x−1；
∴x的整数值是−4，0，2，6；
(2)由分母为−x2+2，可设−x4−2x2+10=(−x2+2)(x2+a)+b，
则−x4−2x2+10=−x4+(2−a)x2+2a+b．
∵对任意x上述等式均成立，
∴2−a=−22a+b=10，
解得：a=4b=2，
∴−x4−2x2+10−x2+2=(−x2+2)(x2+4)+2−x2+2=(x2+4)+2−x2+2，
当x=0时，(x2+4)+2−x2+2取得最小值为5，
∴当−1故答案为5．
【解析】(1)直接把分子变形为3(x−1)+5解答即可：
(2)由分母为−x2+2，可设−x4−2x2+10=(−x2+2)(x2+a)+b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式拆分成一个整式与一个分式的和的形式，然后求出最小值即可．
本题主要考查分式的混合运算，解答本题的关键是理解阅读材料中的方法，并能加以正确应用．