江苏省无锡市梁溪区江南中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 3D. -3
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义即可解答．
【详解】解：相反数为．
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键．
2. 在，，…（每两个之间依次多一个），，，无理数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义，理解“无限不循环小数叫无理数”的相关概念是解题的关键．根据无理数的定义，即可判定．
【详解】解：是有限小数，不属于无理数；
是无限不循环小数，属于无理数；
…（每两个之间依次多一个）是无限不循环小数，属于无理数；
是整数，不属于无理数；
是有限小数，不属于无理数，
所以，，…（每两个之间依次多一个）是无限不循环小数，则无理数共2个．
故选：．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减法，掌握合并同类项法则是解题关键．根据合并同类法则逐一计算，即可得出答案．
【详解】解：A、，原计算正确，符合题意；
B、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：A．
4. 若关于x的方程的解是，则a的值是（ ）
A. B. 5C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】将x=−4代入方程2x+a=x－1中得到一个关于a的方程，解方程即可．
【详解】解：∵关于x的方程2x+a=x－1的解是－4，
∴2×(－4)+a=−4－1，
解得a=3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解和解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的概念是解题的关键．
5. 下列四个图中，是三棱锥的表面展开图的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三棱锥是由四个三角形组成，即可求解
【详解】解：A是四棱柱，故该选项不正确，不符合题意；
B是三棱锥，故该选项正确，符合题意；
C是四棱锥，故该选项不正确，不符合题意；
D是三棱柱，故该选项不正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】．本题考查了三棱锥的侧面展开图，解题的关键是掌握三棱锥是由四个三角形组成．
6. 如果与的和是单项式，则的值为（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了利用同类项的概念求解字母参数的值，求解代数式的值，掌握“利用同类项的概念列方程”是解题的关键．由与的和是单项式，可得单项式与是同类项，即可求解．
【详解】解：与的和是单项式，
，，
解得：，，
．
故选：．
7. 下列说法中：①不相交的两条直线叫做平行线；②若线段与线段没有交点，则；③两点确定一条直线，④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，其中说法正确的个数有（ ）
A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了直线的性质，平行线和相交线的定义，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握定义，根据定义逐项进行判断即可．
【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故①说法错误；
②在同一平面内，若线段所在的直线与线段所在的直线没有交点，则．故②说法错误；
③两点确定一条直线，故③说法正确；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到该直线的距离．故④说法错误．
综上所述，正确的有③．
故选：A．
8. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出数量关系是解题关键．设清酒x斗，则醑酒斗，根据题意正确列方程即可．
【详解】解：设清酒x斗，则醑酒斗，
由题意可得：，
故选：A．
9. 已知线段，点C在直线上，，，若点M是线段的中点，则线段的长为（ ）
A. 7B. 8C. 7或2D. 8或3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了两点间的距离，解题关键是进行分类讨论．分类讨论：C在线段上，C在线段的延长线上，根据已知线段长可得的长，根据中点的性质可得答案．
【详解】解：如图，C在线段的延长时，

∵，，
∴，
∵点M是线段的中点，
∴；
C线段上时，如图所示：

∵，，
∴，
为线段的中点，
，
综上分析可知，的长为7或2．
故选：C．
10. 一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：
①；
②；
③；
④；
其中，正确的结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①②③C. ①④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数字类规律探索，根据题意找出一般规律是解题关键．由题意归纳可知，机器人每5秒为一个循环，完成一个前进或后退程序，每次循环的第一个数为循环的次数，即第次循环时，对应的数分别为、、、、，据此逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，机器人每5秒为一个循环，完成一个前进或后退程序，
前10秒对应的数为1、2、3、2、1、2、3、4、3、2，
，，①②结论正确；
观察可知，每次循环的第一个数为循环的次数，即第次循环时，对应的数分别为、、、、，
，
秒对应的数为第22次循环第一个数，即，
，
秒对应的数为第21次循环第三个数，即，
，③结论正确；
，
秒对应的数为第406次循环第一个数，即；
，
秒对应的数为第405次循环第三个数，即，
，④结论正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 2022年上半年，无锡市的总额达到了671500000000元，将671500000000用科学记数法表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法．熟练掌握科学记数法的定义是解决问题的关键．科学记数法的定义：把一个数表示为的形式（其中，n为整数），这种记数方法叫做科学记数法，当表示的数的绝对值大于10时，，n为正整数，n的值等于原数的整数部分的位数减1；当表示的数的绝对值小于1时，，n为负整数，n的值等于原数的第一个非0数字前面所有0（包括小数点前面的那个0）的个数的相反数．
根据科学记数法的表现形式解答，其中，
【详解】解：．
故答案为：．
12. 多项式的次数是_____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了多项式的次数，次数最高的项的次数即为该多项式的次数，将该项所有字母的指数相加，即可得到答案．
【详解】解：多项式的次数是，
故答案为：4．
13. 若关于x的方程是一元一次方程，则k＝_____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．据此即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程，
∴，
∴．
故答案为：2．
14. 一个角的余角比这个角少，则这个角为_______ 度．
【答案】
【解析】
【分析】设这个角的度数为x度，再根据“一个角的余角比这个角少”求出x．
【详解】解：设这个角的度数为x度，
则，
解得：，
故答案为：55
【点睛】本题主要考查的是余角和补角的定义，明确互余的两个角相加得90度，依据题意列出关于x的方程是解题的关键．
15. 若，则_______．
【答案】25
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，利用整体代入法是解题关键．将代入变形后的代数式，即可计算求值．
【详解】解：，
故答案为：25．
16. 有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则_______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，代数式的符号的判定，绝对值的化简，有理数的加减运算的应用，掌握以上知识是解题的关键．由题意可知，，从而去绝对值，即可得到答案．
【详解】解：依题意，得
，，
．
故答案为：．
17. 已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解_____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解，得出关于y的一元一次方程中，即可得出答案．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为，
∴关于y的一元一次方程中，
解得：．
故答案为：2．
18. 如图，若，，，射线绕点O以每秒逆时针旋转，射线绕点O以每秒顺时针旋转，射线绕点O每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动，运动_____秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线．
【答案】或或8
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，一元一次方程的应用，角度的计算，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．由题意可得，在旋转过程中，，，，根据角平分线的定义分四种情况讨论，分别解方程求解即可．
【详解】解：设经过的时间为x秒，
，，，
在旋转过程中，，，，
令，，
解得：，．
即当时，三条射线停止运动．
①当为、夹角的角平分线时，
．
，
解得：，
此时，不合题意；
②当为、夹角的角平分线时，
．
，
解得：；
③当为、夹角的角平分线时，
．
解得：；
④当为、夹角的角平分线时，
．
解得：；
综上可知，运动或或秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线，
故答案为：或或8．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算或解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）2 （2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算以及解一元一次方程，熟练掌握相关法则和解题步骤是关键．
（1）根据有理数混合运算法则计算即可；
（2）先化简乘方和绝对值，再计算除法，最后计算加减法即可；
（3）依次去括号、移项、合并同类项，即可解方程；
（4）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：；
【小问4详解】
解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化成1，得．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，10
【解析】
【分析】本题考查了整式加减的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．先去括号，再合并同类项，然后将、的值代入计算即可．
【详解】解：
当时，原式．
21. 如图是由大小相等的5个正方体组成的简单几何体．
（1）在所给的方框中画出该几何体的主视图，左视图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，那么最多可以再添加 个正方体．
【答案】（1）见解析 （2）5．
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，
（1）根据题中几何体的形状，画出主视图，左视图即可；
（2）结合主视图和左视图，借助俯视图求解即可
【小问1详解】
解：如图所示．
【小问2详解】
解：在如图位置添加相应数量的小正方体，可以保持主视图和左视图不变，
即最多可以再添加5个正方体，
故答案为：5．
22. 在如图所示的方格中，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点均在格点处．
（1）找一个格点，过点画的平行线；（标出点）
（2）找一个格点，过点画的垂线，垂足为；（标出点，）
（3）比较大小：线段 线段（用“＞”“＜”“＝”号连接），依据是 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）＞，垂线段最短
【解析】
【分析】本题考查了画平行线，画垂线，点到直线的距离，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据平行线的判定画出对应的平行线即可得到答案；
（2）根据垂直的定义画出对应的图形即可；
（3）根据点到直线的距离垂线段最短求解即可．
【小问1详解】
解：如图，点即为所求．
【小问2详解】
如图，点．
【小问3详解】
由垂线段最短可知，线段＞线段．
故答案为：＞；垂线段最短．
23. 如图，线段，C是线段上一点，，D、E分别是、的中点．
（1）求线段的长；
（2）求线段长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据线段的中点求得，根据即可求解；
（2）先根据线段的和差可得，根据线段的中点求得，根据求解即可
【小问1详解】
是的中点，
【小问2详解】
，
是的中点，
【点睛】本题考查了线段中点的性质，线段和差的计算，数形结合是解题的关键．
24. 如图，直线与相交于点O，平分，平分．
（1）的补角是 ；
（2）若，求；
（3）判断射线与射线有什么位置关系，并说明理由．
【答案】（1）和
（2）
（3），见解析
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的计算、补角以及对顶角，掌握相关概念是解题关键．
（1）根据角平分线的定义和补角的定义求解即可；
（2）由对顶角相等可知，，再利用角平分线的定义求解即可；
（3）由角平分线的定义可知，，，进而得出，即可得出射线与射线的位置关系．
【小问1详解】
解：平分，
，
，
°，
即的补角是和，
故答案为：和；
【小问2详解】
解：，
，
平分，
；
【小问3详解】
解：，理由如下：
平分，平分，
，，
，
，
．
25. 下表是中国移动两种套餐计费方式（月租费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费）
（1）若某月小张主叫通话时间为240分钟，上网流量为，则他按套餐一计费需 元，按套餐二计费需 元；
（2）若某月小张接套餐二计费需82元，主叫通话时间为360分钟，则小张该月上网流量为多少G？
（3）若某月小张上网流量为，是否存在某主叫通话时间t（分钟），按套餐一和套餐二的计费相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）56，60；
（2）小张该月上网流量为；
（3）存在，t的值为210
【解析】
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，正确理解两种计费方式是解题关键．
（1）根据套餐一和套餐二的计费方式分别列式计算即可；
（2）设小张该月上网流量为，根据套餐二的计费方式列一元一次方程求解即可；
（3）分两种情况讨论：和，根据两种计费方式分别列方程求解即可．
【小问1详解】
解：若主叫通话时间为240分钟，上网流量为4G，
则按套餐一计费需（元），
按套餐二计费需元，
故答案为：56，60；
【小问2详解】
解：设小张该月上网流量为，
由题意得：，
解得：，
即小张该月上网流量为；
【小问3详解】
解：存在，理由如下：
当时，，
解得：
当时，，
解得：（舍）
综上所述，t的值为210．
26. 【探索新知】
如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段、称作互为圆周率伴侣线段．
（1）若，则
（2）若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则与的数量关系为
【深入研究】
如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．
（3）若点M、N均为线段的圆周率点，求线段的长度；
（4）在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．点P追上点Q时，停止运动，当P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，请求出t的值．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）t的值为或或或．
【解析】
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．
（1）由题意可得，即可求出的长；
（2）根据圆周率点的定义可得，，进而得出，即可得到与的数量关系；
（3）由题意可得，，设点离点近，且，根据圆周率点的定义列方程，求得，由（2）可知，，即可求出线段的长度；
（4）由题意可知，点P表示的数为，点Q表示的数为，据圆周率点的定义，根四种情况讨论，分别列方程求解即可．
【详解】解：（1）,，
，
，
故答案：；
（2）点D异于点C，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）圆的直径为1，
圆的周长为，
，
M、N均为线段的圆周率点，
设点离点近，且，
则，
解得：，
由（2）可知，，
；
（4）以每秒3个单位长度运动，
，点P表示的数为，
以每秒2个单位长度的速度运动，
，点Q表示的数为，
①当点C位于之间，且为靠近点Q的圆周率点时，此时，
，
；
②当点C位于之间，且为靠近点P的圆周率点时，此时
，
；
③当点P位于之间，且为靠近点C的圆周率点时，此时，
，
；
④当点P位于之间，且为靠近点Q的圆周率点时，此时，
，
综上可知，t的值为或或或．
月租费（元）
主叫通活（分钟）
上网流量（G）
接听
主叫超时部分（元/分钟）
超出流量部分（元/G）
套餐一
38
200
3
免费
0.20
10
套餐二
60
300
6
免费
0.10
8