河南省洛阳市偃师区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1. 2020年春，“新冠病毒”肆虐，全国上下齐心协力、众志成城，坚决打赢“新冠肺炎”阻击战，下列防疫的图标中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据这一定义依次进行判断即可．
【详解】A选项，图标不符合轴对称图形的定义，故不符合题意；
B选项，图标不符合轴对称图形定义，故不符合题意；
C选项，图标符合轴对称图形的定义，故符合题意；
D选项，图标不符合轴对称图形的定义，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解答本题的关键是掌握轴对称图形的定义，并熟练运用．
2. 肥皂泡的泡壁厚度大约是，用科学记数法表示为（ ）．
A. 7×10-4B. 7×10-5C. 0.7×10-4D. 0.7×10-5
【答案】B
【解析】
【分析】小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00007=7×10-5．
故选B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，先把原式变形为，再分别计算单项式除以单项式，最后合并同类项即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
故选A．
4. 已知正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的边数是（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．
【详解】解：∵正多边形的一个内角是135°，
∴该正多边形的一个外角为45°，
∵多边形的外角之和为360°，
∴边数＝，
∴这个正多边形的边数是8．
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形的内角和与外角和的知识，知道正多边形的外角之和为360°是解题关键．
5. 一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查三角形外角定理，利用外角定理求解即可．
【详解】解：如图，
根据题意得，，，则．
故选：B．
6. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD．再作出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，通过证明ΔABC≌ΔEDC，得到DE的长就等于AB的长，这里证明三角形全等的依据是（ ）
A HLB. SASC. SSSD. ASA
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，根据已知选择判断方法．
【详解】因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD=BC，∠ABC=∠EDC=90，∠ACB=∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选D
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7. 练习中，小亮同学做了如下4道因式分解题，你认为小亮做得正确的有
① ②
③ ④
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【详解】试题解析：①x3+x=x（x2+1），不符合题意；
②x2-2xy+y2=（x-y）2，符合题意；
③a2-a+1不能分解，不符合题意；
④x2-16y2=（x+4y）（x-4y），符合题意，
故选B
8. 如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点H，画射线AH交DC于点M．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据矩形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角平分线的尺规作图可得，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可得．
【详解】解：四边形是长方形，
，
，
由题意可知，平分，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、角平分线的尺规作图，熟练掌握角平分线的尺规作图是解题关键．
9. 下列多项式不能用公式法进行因式分解的是（ ）
A. 1  a2B. C. x2  2xy  y2D. 4x2  4x  1
【答案】B
【解析】
【分析】利用平方差公式与完全平方公式逐一分析各选项即可．
【详解】解：， 故A不符合题意；
不能用公式法分解因式，故B符合题意；
x2  2xy  y2， 故C不符合题意；
， 故D不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查的是利用平方差公式，完全平方公式分解因式，掌握“平方差与完全平方公式”是解本题的关键．
10. 如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点重合），连接，点分别在线段的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（ ）
A. 不变B. 一直变小C. 先变大后变小D. 先变小后变大
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，由“”可证，由全等三角形的性质可得，可得周长，即可求解．
【详解】是等边三角形，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
则周长为，
在点D从B运动到C的过程中，长不变，长先变小后变大，其中当点D运动到的中点位置时，最小，
在点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是先变小后变大，
故选：D．
二．填空题（共5题，总计 15分）
11. 因式分解：2ab3﹣2a3b＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】原式
故答案为：2ab（b+a）（b﹣a）．
【点睛】本题考查了提公因式、公式法分解因式，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键．
12. 一个多边形的每一个内角都是120°，则此多边形从一个顶点出发可以引__________条对角线．
【答案】3
【解析】
【分析】根据多边形的外角和为360°求得多边形的边数，然后根据n边形从一个顶点出发可以引（n-3）条对角线即可求得答案．
【详解】解：∵一个多边形的每个内角都是120°，
∴这个多边形的每个外角都是60°
∴该多边形的边数为：360°÷60°=6，
∴从这个多边形的一个顶点出发可以画对角线条数为：6﹣3=3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查多边形的外角和与对角线，解此题的关键在于熟练掌握多边形的外角和，多边形从一个顶点出发引对角线条数公式．
13. 若一个直角三角形的两边长分别是4cm，3cm，则第三条边长是________cm．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：①直角三角形的两边长分别是4cm，3cm，则
第三条边长（cm）；
②当直角边为3cm，斜边长为4cm时,第三条边长（cm）
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
14. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解答本题的关键．根据是的垂直平分线，，可得，，再根据的周长为，可得，从而可得答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，，
∴，，
又∵的周长为，
∴，
∴，
即的周长为．
故答案为：．
15. 对实数a、b，定义运算☆如下：a☆b=，例如：2☆3=2﹣3=，则计算：[2☆（﹣4）]☆1=_____．
【答案】16
【解析】
【分析】判断算式a☆b中，a与b的大小，转化为对应的幂运算即可求得答案.
【详解】由题意可得：
[2☆（﹣4）]☆1
=2﹣4☆1
=☆1
=（）﹣1
=16，
故答案为16．
【点睛】本题考查了新定义运算、负整数指数幂，弄清题意，理解新定义运算的规则是解决此类题目的关键.
三．解答题（共8题，总计75分）
16. （1）因式分解：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）提公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解；
（2）根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式进行计算即可．
【详解】解：（1）原式＝
；
（2）原式＝
．
【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，整式乘法混合运算，掌握乘法公式是解题的关键．
17. 先化简，再求值：（2﹣a）（3+a）+（a﹣5）2，其中a＝4．
【答案】﹣11a+31，-13.
【解析】
【分析】根据多项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：（2﹣a）（3+a）+（a﹣5）2
＝6+2a﹣3a﹣a2+a2﹣10a+25
＝﹣11a+31，
当a＝4时，原式＝﹣11×4+31＝﹣44+31＝﹣13．
【点睛】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
18. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为：，

（1）若与关于y轴对称，请写出点的坐标（直接写答案）： ； ； ；
（2）的面积为 ；
（3）在y轴上画出点P，使最小．
【答案】（1）
（2）6.5 （3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的对称变换、三角形的三边关系，理解掌握点的坐标的对称变换是解题关键．
（1）根据点关于y轴对称的性质“横坐标变为相反数，纵坐标不变”即可得；
（2）三角形面积矩形面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）由题意可得y轴是线段的垂直平分线，则，因此；又根据三角形的三边关系得，所以当三点共线时，最小，且最小值为．
【小问1详解】
解：根据点关于y轴对称的性质得：，
故答案为：；
【小问2详解】
如图可知，
，
则，
故答案为：6.5；
【小问3详解】
解：由题意可得y轴是线段的垂直平分线，则，
因此，
由三角形的三边关系得，
故当三点共线时，最小，且最小值为，
连接，与y轴的交点即为所求点P（如图所示）．
19. 如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．
求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；
（2）OE＝OF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明；
（2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB＝∠DEC，再根据等腰三角形的性质得出结论．
【详解】证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中
∵，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）；
（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，掌握HL判断两个直角三角形全等，是解题的关键．
20. 如图（1）在凸四边形中，．
（1）如图（2），若连接，则的形状是________三角形，你是根据哪个判定定理？
答：______________________________________（请写出定理的具体内容）
（2）如图（3），若在四边形的外部以为一边作等边，并连接．请问：与相等吗？若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由．
【答案】（1）等边三角形；一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形；（2），理由见解析．
【解析】
【分析】（1）连接，由判定是等腰三角形，再根据一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形即可解题；
（2）根据等边三角形的性质得，在中，，在中，，继而证明，得到，最后由全等三角形的对应边相等解题即可．
【详解】解：（1）连接，
在中，
，
是等腰三角形，
又
是等边三角形（一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形）
故答案为：等边三角形；一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形；
（2），理由如下：
是等边三角形，
又是等边三角形，
，
即
．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
21. 阅读以下材料
材料：因式分解：
解：将“”看成整体，令，则原式
再将“A”还原，得原式
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：______；
（2）因式分解：；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
（1）将“”看成整体，得原式，利用完全平方公式因式分解即可；
（2）将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式．
【小问1详解】
解：
＝
＝；
故答案为：；
【小问2详解】
解：设，
原式，
将A还原，则原式．
22. 某车间有甲乙两个小组，甲组的工作效率比乙组的工作效率高20%，甲组加工2700个零件所用的时间比乙组加工2000个零件所用的时间多半小时，求甲乙两组每小时各加工零件多少个？
【答案】甲每小时加工600个零件，乙每小时加工500个零件
【解析】
【分析】设乙组每小时加工的零件数为x个，则甲组每小时加工零件数为（1+20%）x个．等量关系为：甲组加工2700个零件所用的时间比乙组加工2000个零件所用的时间多半小时，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设乙组每小时加工零件数为x个，则甲组每小时加工零件数为
（1+20%）x个．根据题意得：
=+，
解得：x=500，
经检验，x=500是原方程的解，
（1+20%）x=600，
答：甲每小时加工600个零件，乙每小时加工500个零件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解这类问题时要注意分析题中的等量关系，由时间关系列出方程是解决问题的关键．
23. 数学课上，刘老师出示了如下框中的题目：
小聪与同桌小明讨论后，仍不得其解．刘老师提示道：“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路”．两人茅塞顿开，于是进行了如下解答，请你根据他们提供的思路完成下面相应内容：
（1）特殊情况·探索结论
当点E为线段AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：AE________DB．（选填“>”，“<”或“=”）

（2）特例启发·解答题目
当E为线段AB上除中点外的任意一点时，其余条件不变，如图2，（1）中线段AE与DB的大小关系会发生改变吗？若不会，请证明；若改变，请说明理由．
（3）拓展结论·设计新题
经过以上的解答，小聪和小明发现如果把刘老师的题目稍加改变，就会得到这样一道题目：在等边中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且．若的边长为1，，求CD的长．
请你根据（1）（2）的探究过程，尝试解决两人改编的此问题，直接写出CD的长．
【答案】（1）= （2）不会改变，仍有．见解析
（3）3或1
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠ECB=30°，∠ABC=60°，求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；
（2）作EF∥BC，证出等边三角形AEF，再证△DBE≌△EFC即可得到答案；
（3）分为四种情况：画出图形，根据等边三角形性质求出符合条件的CD即可．
【小问1详解】
解：∵△ABC为等边三角形，E为AB的中点，
∴∠BCE=30°，∠ABC=60°，AE=BE，
∵DE=CE，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠ABC=∠D+∠BED，
∴∠BED=30°，
∴∠D=∠BED，
∴DB=BE=AE；
故答案为：=
【小问2详解】
解：不会改变，仍有．证明如下：
如图，过点E作EF∥BC，交AC于点F．
∵等边三角形，
∴，．
∵EF∥BC，
∴，．
∴，
∴是等边三角形．
∴．
∴，即．
∵，
∴．
∵，，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴．
∵，
∴．
【小问3详解】
解：如图，若点E在AB的延长线上，点D在CB的延长线上，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=1，∠ABC=∠ACB=60°，
∵AE=2，
∴AB=BC=BE=1，
∵∠ABC=∠BEC+∠BCE，
∴∠BEC=∠BCE=30°，
∴∠ACE=90°，
∴△ACE是直角三角形，
∵DE=CE，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=180°-30°-60°=90°，即△DEB是直角三角形．
∴BD=2BE=2
∴CD=BD+BC=1+2=3；
如图，若点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上，过点E作EM⊥BD于点M，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=1，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BEM=30°，
∴BE=2BM，
∵AE=2，
∴BE=3，
∴，
∴CM=BM-BC=0.5，
∵CE=DE，
∴CD=2CM=1；
如图，若点E在AB的延长线上，点D在BC的延长线上，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=1，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠CBE=120°，
∵AE=2，
∴AB=BC=BE=1，
∵∠ABC=∠BEC+∠BCE，
∴∠BEC=∠BCE=30°，
∴∠ECD=∠BEC+∠CBE=150°，
∵CE=DE，
∴∠D=∠ECD=150°，不符合三角形内角和定理，，舍去；
如图，若点E在BA的延长线上，点D在CB的延长线上，则∠EDC<∠ABC，∠ECB>∠ACB，
∵∠EDC<∠ABC，∠ECB>∠ACB，且∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠EDC<∠DCE，
∴DE≠CE，不合题意，舍去；
综上所述，CD的长为3或1．
【点睛】本题主要考查对全等三角形性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．如图，在等边中，E为线段AB上一点，D为线段CB延长线上一点，且，试确定AE与DB的大小关系，并说明理由．