北师大版七年级数学下册同步精讲精练专题全等三角形模型——三垂直与三等角(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册同步精讲精练专题全等三角形模型——三垂直与三等角(原卷版+解析)，共28页。
如右图已知：∠ D=∠ E=∠ BCA=90，BC=BA；
求证：△BCD≌△CAE.
∵∠D+∠ DCB+∠ B=180°，∠BCA+∠ DCB+∠ ACE=180°，且∠ D=∠BCA.
∴∠ B=∠ ACE.
又 ∵∠ D=∠ E，BC=BA.
∴△BCD≌△CAE.
常见的三垂直模型:
如图，是等腰直角三角形，过直角顶点，，则下列结论正确的个数有
①；②；③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
（2022秋•文登区期中）在中，，．
（1）如图①，是过点的一条直线，且，在的同侧，于，于．写出，，间的数量关系，并写明理由；
（2）如图②，是过点的一条直线，且，在的两侧，于，于．写出，，间的数量关系，并写明理由．
（2020秋•通河县期末）综合与实践．
积累经验
（1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点，且于点，于点．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，请写出证明过程；
类比应用
（2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标．
拓展提升
（3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ．
（2021秋•临沂期末）如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长．
（2020秋•赫山区期末）如图所示，直线一侧有一个等腰，其中，．直线过顶点，分别过点，作，，垂足分别为点，，的角平分线交于点，交于点，连接，恰好满足．延长，交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
（2022春•清苑区期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ， ．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
（2）①如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；
②如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点．若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
如图，．
（1）如图①，在平面直角坐标系中，以为顶点，为腰在第三象限作等腰，若，求点的坐标；
（2）如图②，为轴负半轴上一个动点，以为顶点，为腰作等腰，过作轴于点，当点沿轴负半轴向下运动时，试问的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．
（3）如图③，已知点坐标为，是轴负半轴上一点，以为直角边作等腰，点在轴上，，设，，当点在轴的负半轴上沿负方向运动时，的和是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．
三等角模型
“一线三等角”是一个常见的全等模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等模型，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.
三等角的推导过程：
已知：∠ A=∠ B=∠ CPD，AC=PB；
求证：△ACP≌△BPD.
∵∠A+∠ APC+∠ C=180°，∠CPD+∠ APC+∠ DPB=180°，且∠ A=∠CPD.
∴∠ C=∠ DPB.
又∵∠ A=∠ B，AC=PB.
∴△ACP≌△BPD.
常见的一线三等角模型：
如图，点，，在一条直线上，，，试探究，与之间的数量关系．
（2022•鹿城区二模）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，．已知，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
如图，，，三点都在一条直线上，且，，试探究，与之间的数量关系．
（2021秋•东至县期末）如图，在中，，、、三点都在直线上，并且有，若，，求的长．
（2020秋•江津区期末）问题1：如图①，在四边形中，，是上一点，，．
求证：；
问题2：如图②，在三角形中，，是上一点，，且．
求的值．
如图①，点、在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：．
应用：如图②，在中，，，点在边上，且，点，在线段上．，若的面积为15，求与的面积之和．
如图，在等腰三角形中，，，分别为，上一点，．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，过点作，垂足为，若，，求的值．
（2021春•榆次区校级期末）综合与实践
（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以 ；（请填写全等判定的方法）
（2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积 ；
（3）类比探究：如图3，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求△的面积．
（4）拓展提升：如图4，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：；
（5）拓展应用：如图5，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为 ．
全等三角形模型——三垂直与三等角
三垂直模型
如右图已知：∠ D=∠ E=∠ BCA=90，BC=BA；
求证：△BCD≌△CAE.
∵∠D+∠ DCB+∠ B=180°，∠BCA+∠ DCB+∠ ACE=180°，且∠ D=∠BCA.
∴∠ B=∠ ACE.
又 ∵∠ D=∠ E，BC=BA.
∴△BCD≌△CAE.
常见的三垂直模型:
如图，是等腰直角三角形，过直角顶点，，则下列结论正确的个数有
①；②；③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据直角三角形的性质推出，然后利用证明和全等，根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等即可对各小题进行判断．
【解答】解：，
，
是等腰直角三角形，为直角顶点，
，，
，
在和中，
，
，
，，，
故①小题正确，②小题错误，③小题错误，④小题正确，
所以结论正确的有①④共2个．
故选：．
（2022秋•文登区期中）在中，，．
（1）如图①，是过点的一条直线，且，在的同侧，于，于．写出，，间的数量关系，并写明理由；
（2）如图②，是过点的一条直线，且，在的两侧，于，于．写出，，间的数量关系，并写明理由．
【分析】（1）由“”可证，可得，，可求；
（2）由“”可证，可得，，可求．
【解答】解：（1）．
理由如下：，，
，
，
，
，
，
，
，，
．
（2）．
，，
，
，
，
，
，
，
，，
．
（2020秋•通河县期末）综合与实践．
积累经验
（1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点，且于点，于点．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，请写出证明过程；
类比应用
（2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标．
拓展提升
（3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ．
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质可得出答案；
（2）过作轴于，先证，再证明，可得，，即可解决问题；
（3）过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，由全等三角形的性质得出，，则可得出答案．
【解答】（1）证明：，
，而于，于，
，，
，
在和中，
，
，
，；
（2）解：过作轴于，如图2所示：
，，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
点的坐标为．
（3）解：如图3，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，
同（1）（2）可得，
，，
，，
，，
，
点的纵坐标为，横坐标为，
．
故答案为：．
（2021秋•临沂期末）如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长．
【分析】先证明，得，，然后根据线段和差定义即可解决．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
（2020秋•赫山区期末）如图所示，直线一侧有一个等腰，其中，．直线过顶点，分别过点，作，，垂足分别为点，，的角平分线交于点，交于点，连接，恰好满足．延长，交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
【分析】（1）证得，根据证明即可．
（2）证明，由全等三角形的性质得出．证得，则可得出结论．
【解答】证明：（1），，
又，
．
．
在和中，
，
，
；
（2），，
．
在和中，
，
，
．
．
平分，，
．
．
综上，．
（2022春•清苑区期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ， ．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
（2）①如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；
②如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点．若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等解答；
（2）①作于，于，证明，根据全等三角形的性质得到，再证明，根据全等三角形的性质证明结论；
②过点作轴于点，过点作轴于点，仿照①的证明过程解答．
【解答】解：（1），
，
在和中，
，
，，
故答案为：；；
（2）①如图2，作于，于，
，
，
，
，
，
在与中，，
，
，
，
同理，，
，
，，
，
在与中，
，
，即点是的中点；
②如图3，和△是以为斜边的等腰直角三角形，
过点作轴于点，过点作轴于点，两直线交于点，
则四边形为矩形，
，，
由①可知，，
，，
，
，
解得，，，
点的坐标为，
同理，点的坐标为，
综上所述，是以为斜边的等腰直角三角形，点的坐标为或．
如图，．
（1）如图①，在平面直角坐标系中，以为顶点，为腰在第三象限作等腰，若，求点的坐标；
（2）如图②，为轴负半轴上一个动点，以为顶点，为腰作等腰，过作轴于点，当点沿轴负半轴向下运动时，试问的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．
（3）如图③，已知点坐标为，是轴负半轴上一点，以为直角边作等腰，点在轴上，，设，，当点在轴的负半轴上沿负方向运动时，的和是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．
【分析】（1）作轴于，证明，根据全等三角形的性质得到，，计算即可；
（2）作轴于，证明，得到，，结合图形计算；
（3）作轴于，轴于，仿照（2）的证明过程解答．
【解答】解：（1）作轴于，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点的坐标为；
（2）的值不变，值为2，
理由如下：作轴于，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（3）的和不变，值为，
理由如下：作轴于，轴于，
由（2）可知，，
，，
．
三等角模型
“一线三等角”是一个常见的全等模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等模型，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.
三等角的推导过程：
已知：∠ A=∠ B=∠ CPD，AC=PB；
求证：△ACP≌△BPD.
∵∠A+∠ APC+∠ C=180°，∠CPD+∠ APC+∠ DPB=180°，且∠ A=∠CPD.
∴∠ C=∠ DPB.
又∵∠ A=∠ B，AC=PB.
∴△ACP≌△BPD.
常见的一线三等角模型：
如图，点，，在一条直线上，，，试探究，与之间的数量关系．
【分析】由题意可证，，且，可证，可得，，即可求，与之间的数量关系．
【解答】解：
理由如下：
，且，
，且，
，且，
，
（2022•鹿城区二模）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，．已知，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）根据可证明；
（2）得出，，求出，则可求出．
【解答】（1）证明：，
，
在与中，
，
；
（2）解：，
，，
，
，
．
如图，，，三点都在一条直线上，且，，试探究，与之间的数量关系．
【分析】由“”可证，可得，，可得结论．
【解答】解：，
理由如下：
，且，
，
在和中，
，
，
，，
，
．
（2021秋•东至县期末）如图，在中，，、、三点都在直线上，并且有，若，，求的长．
【分析】由，推出，再根据证明得，，即可得出结果．
【解答】解：，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
．
．
（2020秋•江津区期末）问题1：如图①，在四边形中，，是上一点，，．
求证：；
问题2：如图②，在三角形中，，是上一点，，且．
求的值．
【分析】问题1：证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
问题2：过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，，证出，则可得出答案．
【解答】问题1：证明：，，
，
在与中，
，
，
，
；
问题2：过点作于点，
在中，，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
在中，，
，
，
，
．
如图①，点、在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：．
应用：如图②，在中，，，点在边上，且，点，在线段上．，若的面积为15，求与的面积之和．
【分析】（1）由“”可证；
（2）由“”可证，由全等三角形的性质可得，由三角形的面积关系可求解．
【解答】证明：（1），且，，，
，，且，
（2），且，，，
，，且，
，
，的面积为15，
．
如图，在等腰三角形中，，，分别为，上一点，．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，过点作，垂足为，若，，求的值．
【分析】（1）根据判定，即可得到；
（2）先证，得，再在上取点，使得，进而判定，得，然后由等腰三角形性质得，即可求解．
【解答】解：（1），，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
又，
，
，
如图2，在上取点，使得，
在和中，
，
，
，
又，
，
．
（2021春•榆次区校级期末）综合与实践
（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以 ；（请填写全等判定的方法）
（2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积 ；
（3）类比探究：如图3，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求△的面积．
（4）拓展提升：如图4，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：；
（5）拓展应用：如图5，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为 ．
【分析】（1）根据证明三角形全等即可．
（2）利用“三垂模型”证明三角形全等，利用全等三角形的性质，解决问题即可．
（3）如图3，过作于，构造全等三角形解决问题即可．
（4）证明，可得结论．
（5）利用（4）中结论，解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，
，，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
故答案为：．
（2）如图2中，
，，，，
由（1）得：，，
，，，，
．
故答案为50．
（3）如图3，过作于，
由旋转得：，
，
由（1）可知，
，
．
（4）如图4中，
，，，，
，，
在和中，
，
，
，，
．
（5）如图5中，
的面积为15，，
的面积是：，
由图4中证出，
与的面积之和等于与的面积之和，即等于的面积，是5，
故答案为：5．