中考数学二轮复习几何模型归纳讲练专题13 全等模型-倍长中线与截长补短模型（2份打包，原卷版+教师版）

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模型1.倍长中线模型
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则 SKIPIF 1 < 0 ；若连结EC，则 SKIPIF 1 < 0 ；
2、中点型:如图2， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点.
证明思路：若延长 SKIPIF 1 < 0 至点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ;
若延长 SKIPIF 1 < 0 至点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
3、中点+平行线型：如图3, SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点.
证明思路：延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 (或交 SKIPIF 1 < 0 延长线于点 SKIPIF 1 < 0 )，则 SKIPIF 1 < 0 .
例1．（2023·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解：
如图①，在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 边上的中线 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
可以用如下方法：将 SKIPIF 1 < 0 绕着点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，利用三角形三边的关系即可判断中线 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______；
（2）问题解决：如图②，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的中点， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）问题拓展：如图③，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为顶点作一个 SKIPIF 1 < 0 的角，角的两边分别交 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，探索线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）见详解；（3） SKIPIF 1 < 0 ，理由见详解
【分析】（1）根据旋转的性质可证明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中根据三角形三边关系即可得出答案；（2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，可得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据垂直平分线的性质可得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用三角形三边关系即可得出结论；
（3）延长AB至N，使BN=DF，连接CN，可得 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用角的和差关系可推出 SKIPIF 1 < 0 ，再证明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中根据三角形三边关系可得出： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，

同（1）可得出 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：延长AB至N，使BN=DF，连接CN，
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 （SAS）∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强．
例2．（2023·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)AC=BF，理由见解析
【解析】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴△ADC≌△EDB（SAS）．∴BE=AC=3．
∵AB-BE