数学7.2 离散型随机变量及其分布列教学设计

这是一份数学7.2 离散型随机变量及其分布列教学设计，共10页。
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第七章《随机变量及其分布列》，本节课主本节课主要学习离散型随机变量及其分布列
学生已经学习了有关概率的一些基础知识，对一些简单的概率模型（如古典概型、几何概型）已经有所了解，也学习了事件关系及其概率计算公式。
本节本部分内容主要包括随机变量的概念及其分布列，是离散性随机变量的均值和方差的基础，从近几年的高考观察，这部分内容有加强命题的趋势。一般以实际情景为主，建立合适的分布列，通过均值和方差解释实际问题。

重点：离散型随机变量的概念
难点：会写出随机变量的取值以及随机试验的结果.
多媒体
本节课需要学生探究的内容比较多，由于学生的数学基础比较薄弱，所以在教学过程中教师不仅要耐心的指导，还要努力创设一个轻松和谐的课堂氛围，让每个学生都能大胆的说出自己的想法，保证每个学生都能学有所得。为了让每个学生在课上都能有话说，还需要学生做到课前预习，并且教师要给学生提出明确的预习目标。进一步发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养。
课程目标
学科素养
A.理解随机变量的意义,了解随机变量与函数的区别;
B.掌握离散型随机变量的概念,能够写出随机变量的取值以及随机试验的结果.
1.数学抽象：离散型随机变量的概念
2.逻辑推理：离散型随机变量与函数的关系
3.数学运算：会写出离散型随机变量
4.数学建模：离散型随机变量的表示
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
问题导学
求随机事件的概率时,我们往往需要为随机试验建立样本空间,并会涉及样本点和随机事件的表示问题,类似函数在数集与数集之间建立对应关系,如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应,将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便,而且能更好地利用数学工具研究随机试验.
1. 随机试验：一般地，一个试验如果满足下列条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不只一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之
前却不能肯定这次试验
会出现哪一个结果; 这种试验就是一个随机试验，为了方便起
见，也简称试验.
2.函数：一般地,设A,B是非空的数集,如果使对于集合 A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数 y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作: y=fx,x∈A
随机试验的样本空间与实数集之间能否建立某种对应关系呢？
新知探究
探究1.有些随机试验的样本空间与数值有关系,我们可以直接与实数建立关系.
（1）掷一枚骰子用实数?(?=1,2,3,4,5,6)表示“掷出的点数为?”，又如,
掷两枚骰子样本空间为Ω={ (?,?) |?,?=1,2,⋯6},
用?+?表示“两枚骰子的点数之和”样本点(?,?)就与实数?+?对应.
（2）.某射击运动员在射击训练中，其中某次射击可能出现命中的环数情况有哪些？
实数?(?=0,1,2,3,4,5,6,···,10)表示“击中环数?”
（0环、1环、2环、···、10环）共11种结果
（1）随机抽取一件产品,有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果它们与数值无关.如果“抽到次品”用1表示,“抽到正品”用0表示,即定义：
X=&1,抽到次品,&0,抽到正品.，这个试验的样本点与实数就建立了对应关系
探究2.有些随机试验的样本空间与数值没有直接关系,可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值.
类似地,（2）.掷一枚硬币,可将试验结果“正面朝上”用1表示,“反面朝上”用0表示
（3）.随机调查学生的体育综合测试成绩,可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值;等等,对于任何一个随机试验,总可以把它的每个样本点与一个实数对应。
即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X,来刻画样本点和实数的对应关系,实现样本点的数量化.因为在随机试验中样本点的出现具有随机性,所以变量X的取值也具有随机性。
探究3.考察下列随机试验及其引入的变量：
试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行试验，变量X 表示三个元件中次品数;
试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y 表示需要的抛掷次数.
这两个随机试验的样本空间各是什么?
各个样本点与变量的值是如何对应的?变量X,Y 有哪些共同的特征?
试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行试验，变量X 表示三个元件中次品数;用0表示“元件为合格品”,1表示“元件为次品”,
用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点,则样本空Ω1={000,001,010,100,011,101,110,111},各样本点与变量X的值的对应关系如图所示
试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y 表示需要的抛掷次数.用h表示“正面朝上”,t表示“反面朝上”，则样本空间Ω2=h,th,tth,ttth,⋯,Ω2包含无穷多个样本点.各样本点与变量Y的值的对应关系如图所示
问题探究
问题：变量X,Y 有哪些共同的特征?
(1).取值依赖于样本点;(2).所有可能取值是明确的.
1.随机变量的定义 一般地对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.
2.离散型随机变量的定义：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.
随机变量的特点
（1）可以用数字表示
（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值
（3）在试验之前不可能确定取何值
随机变量将随机事件的结果数量化．
1.下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．
(1)上海国际机场候机室中2020年10月1日的旅客数量；
(2)2021年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间；
(3)2021年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
(4)体积为1000 cm3的球的半径长．
【解】 (1)候机室中的旅客数量可能是：0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)D36次济南至北京的列车，到达终点的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量．
(3)在2019年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数是随机变化的，也可能多，也可能少，因此是随机变量．
(4)体积为1000 cm3的球的半径长为定值，故不是随机变量．
随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．
3.随机变量与函数的关系
(1)相同点：样本点ω相当于函数定义中的自变量,而样本空间Ω相当于函数的定义域;
(2)不相同点：样本空间Ω不一定是数集.
所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量x是实数，而在随机变量的概念中，随机变量X的自变量是试验结果,不一定是实数
4.连续性随机变量
连续型随机变量是指可以取某一区间的一切值的随机变量,又称作连续型随机变量.
如：种子含水量的测量误差X；某品牌电视剧的使用寿命Y
问题：你能总结随机变量X的特点吗？
(1)可以用数量来表示;
(2)试验前可以判断其可能出现的所有值;
(3)在试验前不能确定取何值.
2.下列变量中是离散型随机变量的是？
(1)下期《诗词大会》节目中过关的人数；
(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差；
(3)在郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔50 m有一电线铁塔，从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号；
(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位．
答案：(1)(3)
【解析】 (1)是离散型随机变量．因为过关人数可以一一列出．
(2)不是离散型随机变量．因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出．
(3)是离散型随机变量．因为电线铁塔为有限个，其编号从1开始可一一列出．
(4)不是离散型随机变量．因为水位在(0,29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．
变式探究： 将本例的(4)改为：监测站所测水位X是否超过警戒水位(警戒水位是29 m)，X是离散型随机变量吗?
解：设X＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0 0