2024版高考数学全程学习复习导学案第三章函数及其应用第二节函数的基本性质第2课时函数的奇偶性与周期性课件

这是一份2024版高考数学全程学习复习导学案第三章函数及其应用第二节函数的基本性质第2课时函数的奇偶性与周期性课件，共60页。PPT课件主要包含了知识梳理·思维激活，f-xfx，坐标原点，函数的奇偶性1，函数的奇偶性2，核心题型·分类突破，是奇函数也不是偶函数，±fx，关于原点y轴对称，奇函数等内容，欢迎下载使用。

【课程标准】1.了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.
【必备知识·精归纳】1.函数的奇偶性
f(-x)=-f(x)
点睛奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称,函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.
2.函数的周期性(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈I都有x+T∈I,且f(x+T)=_________,那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数_______叫做这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个__________的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期(若不特别说明,T一般都是指最小正周期). 点睛存在一个非零常数T,使f(x+T)=f(x)为恒等式,即自变量x每增加一个T后,函数值就会重复出现一次.
【常用结论】函数奇偶性的常用结论1.如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0;2.如果函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|).3.如果函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0.
【基础小题·固根基】1.(教材变式)下列函数中为偶函数的是(　 　)　　　 　　　　　 　　　　　 A.f(x)=x2sin x B.f(x)=x2cs xC.f(x)=|ln x| D.f(x)=2-x
2.(结论2)设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=(　 　)A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2}
3.(教材提升)已知f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-1,若f(x0)>-1,则x0的取值范围是(　 　)A.(-2,+∞) B.(-∞,-2)C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)
【方法提炼】——自主完善,老师指导判断函数的奇偶性的方法(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的区间,则可立即判断该函数___________________________;若函数的定义域是关于原点对称的区间,再判断f(-x)是否等于______.(2)图象法:奇(偶)函数的充要条件是它的图象__________________.(3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差为________;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为___________;一个奇函数与一个偶函数的积为________.(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域)
角度2　函数奇偶性的应用[典例2](1)(2022·贵阳模拟)函数f(x)=(x-1)2可以表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和,则g(1)等于(　 　)　　　　 　　　　　 　　　　　 A.-2 B.0 C.1 D.2
(2)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=(　 　)A.e-x-1 B.e-x+1C.-e-x-1 D.-e-x+1
(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　　　.  
【方法提炼】已知函数奇偶性可以解决的三个问题(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值.
2.(2022·岳阳模拟)设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函数必为奇函数的是(　 　)A.y=-|f(x)| B.y=xf(x2)C.y=-f(-x) D.y=f(x)+f(-x)
(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=　　　　. 
【一题多变】若本例(3)条件“f(x+4)=f(x-2)”变为“f(x)·f(x+3)=-1”,其他不变,则f(919)的值为　　　　. 
【方法提炼】函数周期性有关问题的求解策略(1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可得到函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间上的功能.
【题型三】函数的对称性及应用　　　　　[典例4](1)(多选题)已知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则下列结论成立的是(　 　)A.f(x+1)为偶函数B.f(1+x)=f(1-x)C.f(1+x)+f(1-x)=0D.f(1)=0
【解析】由于y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(1+x)=f(1-x),所以f(x+1)为偶函数,故A,B选项正确,C选项错误;如f(x)=(x-1)2+1,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,但f(1)=1≠0,故D选项错误.
(2)函数f(x)=lg|2x-1|图象的对称轴方程为　　　　. 
【对点训练】1.函数f(x)的周期为6,且f(x+2)为偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,则f(2 025)=(　 　)　　　　 　　　　　 　　　　　 A.-2 B.-1 C.0 D.1
2.(多选题)(2022·石家庄模拟)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x都有f(2+x)=f(2-x),且f(-x)=f(x),则下列结论正确的是(　 　 )A.f(x)的图象关于直线x=2对称B.f(x)的图象关于点(2,0)对称C.f(x)的周期为4D.y=f(x+4)为偶函数
【解析】因为f(2+x)=f(2-x),则f(x)的图象关于直线x=2对称,故A正确,B错误;因为函数f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(-x)=f(x+4),又f(-x)=f(x),所以f(x+4)=f(x),所以T=4,故C正确;因为T=4且f(x)为偶函数,故y=f(x+4)为偶函数,故D正确.
【加练备选】　　已知函数f(x)=x3-ax2+bx+1的图象关于点(0,1)对称,且f'(1)=4,则a-b=　　. 
【题型四】函数性质的综合应用　　　　　角度1　单调性与奇偶性[典例5](2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]
【解析】方法一:因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.又f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示,则函数f(x-1)的大致图象如图(2)所示.当x≤0时,要满足xf(x-1)≥0则f(x-1)≤0,得-1≤x≤0.当x>0时,要满足xf(x-1)≥0,则f(x-1)≥0,得1≤x≤3.故满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].
方法二:因为f(x)在(-∞,0)上单调递减且f(2)=0,所以f(x)在(0,+∞)上也单调递减且f(-2)=0.所以f(-2)=-f(2)=0.①当x>0时,由xf(x-1)≥0得f(x-1)≥0=f(2).当x-1≥0即x≥1时,则x-1≤2,所以1≤x≤3.当x-1<0即x<1时,f(x-1)≥f(-2),所以x-1≤-2,即x≤-1,与x>0矛盾.②当x<0时,f(x-1)≤f(-2).所以x-1≥-2,即-1≤x<0.③当x=0时,显然符合题意.综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是{x|-1≤x≤0或1≤x≤3}.
【一题多变】　若本例条件中“奇函数”变为“偶函数”,则不等式xf(x-1)≥0的解集为　　　　. 
【方法提炼】应用奇偶性与单调性解不等式问题(1)根据函数的奇偶性,将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式.如果函数是奇函数,当函数值前面有“-”时,可通过函数是奇函数将“-”移到括号内;如果函数是偶函数,可根据f(-x)=f(x)=f(|x|)将函数值都化为自变量为正值的形式.(2)根据单调性,将“f”去掉,结合定义域得到关于所求变量的不等式或不等式组.提醒注意根据已知函数的单调性与奇偶性画出函数的大致图象,借助图象分析解决问题.
【解析】因为函数f(x+2)为偶函数,则f(2+x)=f(2-x),可得f(x+3)=f(1-x),因为函数f(2x+1)为奇函数,则f(1-2x)=-f(2x+1),所以f(1-x)=-f(x+1),所以f(x+3)=-f(x+1).所以f(x+1)=-f(x-1).所以f(x+3)=f(x-1).即f(x)=f(x+4).故函数f(x)是以4为周期的周期函数,因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数,则F(0)=f(1)=0,故f(-1)=-f(1)=0,其他三个选项未知.
【方法提炼】——自主归纳,老师指导应用奇偶性与周期性解决求值问题(1)根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期;(2)利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值,直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系,必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化;(3)代入已知的解析式求解即得欲求的函数值.
角度3　奇偶性与对称性[典例7](1)(多选题)若f(x)的定义域为R,且函数f(x+3)是奇函数,则下列结论一定正确的是(　 　 )A.f(0)=0B.f(x)的图象关于点(3,0)对称C.f(-x+3)=-f(x+3)D.f(-x-3)=-f(x+3)
【解析】因为函数f(x+3)是奇函数,所以函数f(x+3)的图象关于原点(0,0)对称,将f(x+3)的图象向右平移3个单位长度即得f(x)的图象,因此函数f(x)的对称中心为(3,0),故A错误,B正确;因为函数f(x+3)是奇函数,所以f(-x+3)=-f(x+3),故C正确,D错误.
【方法提炼】——自主完善,老师指导函数奇偶性与对称性的关系及其应用(1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,这实际上是函数图象中心对称和轴对称的特殊情形.一般地,如果图象关于直线x=a对称,那么有____________,如果图象关于点(a,0)对称,那么有_____________.(2)从函数值的特点来看,对称轴反映的是________________,而对称中心反映的是______________________.
f(a+x)=f(a-x)
f(a+x)=-f(a-x)
(3)如果函数f(x)有对称轴直线x=a,那么将其图象向左平移a个单位长度,得到_______的图象,其对称轴是____,因此函数y=f(x+a)是偶函数,反之亦然;如果函数f(x)有对称中心(a,0),那么将其图象向左平移a个单位长度,得到f(x+a)的图象,其对称中心是______,因此函数y=f(x+a)是奇函数,反之亦然.
角度4　函数性质的综合应用[典例8](多选题)(2023·潍坊模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),且在[0,2]上单调递增,下列判断正确的是(　 　 )A.f(x)的周期是4B.f(2)是函数的一个最大值C.f(x)的图象关于点(-2,0)对称D.f(x)在[2,6]上单调递减
【解析】由于f(x)是奇函数,又f(2+x)=f(2-x),所以函数最小正周期为8,故A项错误;又因为f(x)关于直线x=2对称,而且在[0,2]上单调递增,所以f(x)在[2,4]上单调递减,又f(x)是奇函数,所以f(x)在[-4,-2]上单调递减,在[-2,0]上单调递增,所以f(2)是函数的一个最大值,f(x)图象关于直线x=-2对称,在[2,6]上单调递减,故B正确,C错误,D正确.
【方法提炼】奇偶性、单调性、周期性的解题方法(1)根据奇偶性推得周期性;(2)利用周期性转化自变量所在的区间;(3)利用单调性解决相关问题.
2.(2022·龙岩模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+1)=-f(x-1),若f(-1)>1,f(5)=a2-2a-4,则实数a的取值范围是(　 　)A.(-1,3)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(-3,1)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
【解析】由f(x+1)=-f(x-1),可得f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=f(x),故函数f(x)的周期为4,则f(5)=f(1)=a2-2a-4,又因为f(x)是定义在R上的奇函数,f(-1)>1,所以f(1)<-1,所以a2-2a-4<-1,解得-13.已知定义在R上的函数f(x),对任意实数x有f(x+4)=-f(x),若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,f(-1)=2,则f(2 025)=　　　　. 
2.函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(520)+f(521)+f(522)的值为　　　　.