38，河北省石家庄市2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试卷

这是一份38，河北省石家庄市2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）一个有理数与﹣2相加的和为2，则这个有理数是（ ）
A．0B．1C．4D．﹣4
2．（3分）如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕DE与AB，BC分别交于点D、点E，连接AE，下列是△ABC的中线的是（ ）
A．线段AEB．线段BEC．线段CED．线段DE
3．（3分）若2a3□a3＝2，则“□”内应填的运算符号为（ ）
A．+B．﹣C．×D．÷
4．（3分）如图，人字梯的支架AB，AC的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则B、C两点之间的距离可能是（ ）
A．3mB．4.2mC．5mD．6m
5．（3分）与的结果不相等的是（ ）
A．B．2×3C．D．
6．（3分）如图的几何体是由10个相同的小正方体搭成的，若移走下列中的一块小正方体后，该几何体的主视图会发生改变，则可能移走的是（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高
A．①B．②C．③D．④
7．（2分）老师在黑板上画出如图所示的图形，要求学生添加条件，使得AB∥CD，随后抽取了四名学生的答案纸展示如下：
甲：∠B+∠BCD＝180°；
乙：∠1＝∠2；
丙：∠B＝∠DCE；
丁：∠3＝∠4．
则不能得到AB∥CD的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．（2分）将一个数用科学记数法表示成a×10n的形式，关于a和n的值，下列说法不正确的是（ ）
A．a的值一定小于10B．a的值可能是0.25
C．n的值一定是整数D．n的值可能是负整数
9．（2分）若a，b互为倒数，则分式的值为（ ）
A．1B．0C．﹣1D．﹣2
10．（2分）如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行且相等
11．（2分）如图，△ABC绕点C旋转得到△DEC，且点E在边AB上，M为AC与DE的交点．若∠BCE＝25°，则下列各角：①∠ACD；②∠AED；③∠ACE；④∠BAC．其中角的度数一定等于25°的是（ ）
A．①②B．只有①C．③④D．②③
12．（2分）对于任意自然数n，关于代数式（n+7）2﹣（n﹣5）2的值，说法错误的是（ ）
A．总能被3整除B．总能被4整除
C．总能被6整除D．总能被7整除
13．（2分）如图，在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF，下列三角形中，外心不是点M的是（ ）
A．△ABCB．△AECC．△ACFD．△BCE
14．（2分）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
15．（2分）有4张扑克牌如图所示，将其背面朝上，打乱顺序后放在桌面上．若从中随机抽取两张，则抽到的花色均为♠（黑桃）的概率为（ ）
A．B．C．D．
16．（2分）如图，等边△ABC的边长为5，点D，P，L分别在边AB，BC，CA上，AD＝BP＝CL＝x（x＞0），按如图方式作边长均为3的等边△DEF，△PQR，△LMN，点F，R．N分别在射线DA，PB，LC上．
结论Ⅰ：当边DE，PQ，LM与△ABC的三边围成的图形DGPHLI是正六边形时，x＝1；
结论Ⅱ：当点D与点B重合时，EF，QR，MN围成的三角形的周长为3．
针对结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对D．1对Ⅱ不对
二、填空题（本大题共3个小题，共10分，17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．（2分）如图，数轴上的两个点分别表示﹣3和m，请写出一个符合条件的m的整数值： ．
18．（4分）某面粉加工厂加工甲、乙两种颗粒面粉，每天共加工两种面粉100袋，相关信息如下表：
设每天生产甲种颗粒面a袋．
（1）每天加工甲、乙两种颗粒面的总成本为 元（用含a的代数式表示）；
（2）当a＝60时，每天加工甲、乙两种颗粒面的总利润为 元．（利润＝售价﹣成本）
19．（4分）如图，点A（3，0），B（0，4），连接AB，点D为x轴上点A左侧的一点，点E，F分别为线段AB，线段BO上的点，点B，D关于直线EF对称．
（1）若DE⊥AO，则四边形BEDF的形状是 ；
（2）当AD最长时，点F的坐标为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（9分）老师在黑板上写下“3①3②”，其中①、②分别是0～9之间的一个数字，但不能重复，进行填数游戏．老师提出了以下问题，请你完成：
（1）当“3①3②”最小时，计算①﹣3+②﹣3的值；
（2）若“3①3②”比“3②3①”大396、且①、②中的一个数是另一个数的2倍，求①、②所代表的数字．
21．（9分）为适应现代快节奏生活，利用外卖平台购买餐食已经成为很普通的一件事，某饼屋利用外卖平台进行销售餐食．饼屋根据10月9日﹣13日饼类的外卖平台销售情况绘制了不完整的统计图（如图1）和统计表，日增长率＝×100%．
10月9日﹣13日饼类外卖销售日增长统计表
（负数表示减少的百分数）
请根据以上信息解答下列问题：
（1）m＝ ，并补全图1的条形统计图；
（2）求饼屋日销售量的中位数，以及从10日至13日饼屋销售量的日增长率的平均数．
22．（9分）如图1是边长分别为m，n、p的A、B、C三种正方形．
（1）用两个A种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，则这个大正方形的面积＝ （用含m的代数式表示）；
（2）将一个A种和一个B种正方形组合成图3的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积： 或 ；则根据这个大正方形面积的不同表示方法，可以得到的乘法公式为 ；
（3）将A种、B种和C种正方形组合形成图4的图形，此时的外边框可以围成一个大的正方形，根据（2）中乘法公式的生成过程，直接写出所得到的等式，并令m＝1，n＝3，p＝2，通过计算验证该等式．
23．（10分）如图，直线l1与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B（0，5），直线l2的解析式为y＝3x﹣3．
（1）求直线l1的解析式；
（2）求直线l1被直线l2和y轴所截线段的长．
24．（10分）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒P刚浮出水面（点A）时开始计算时间．
（1）求盛水筒P从A点到达最高点所经过的路程；
（2）求浮出水面3.4秒时，盛水筒P到水面的距离；
（3）若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO＝8m，直接写出盛水筒P从最高点开始，经过多长时间恰好第一次落在直线MN上．（参考数据：cs43°＝sin47°≈，sin16°＝cs74°≈，sin22°＝cs68°≈）
25．（12分）某排球运动员在原点O处训练发球，MN为球网，AB为球场护栏，且MN，AB均与地面垂直，球场的边界为点K，排球（看作点）从点O的正上方点P（0，2）处发出，排球经过的路径是抛物线L的一部分，其最高点为G，落地点为点H，以点O为原点，点O，M，H，K，A所在的同一直线为x轴建立平面直角坐标系，相应点的坐标如图所示，点N的坐标为（9，2.4）（单位：米，图中所有的点均在同一平面内）．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）通过计算判断发出后的排球能否越过球网？是否会出界？
（3）由于运动员作出调整改变了发球点P的位置，使得排球在点K落地后立刻弹起，又形成了一条与L形状相同的抛物线L′，且最大高度为1m．若排球沿L′下落时（包含最高点）能砸到球场护栏AB，直接写出m的最大值与最小值的差．
26．（13分）如图1和图2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，将线段AB绕点A顺时针旋转n°（0＜n＜180）到AB'，∠BAB′的平分线AP交射线BC于点P，连接B′P，设BP＝x，
（1）求证：BP＝B′P；
（2）如图2，当B′P经过点D时，n＝ ，求x的值；
（3）在线段AB绕点A旋转过程中：
①当点B′到AD的距离为2时，求x的值；
②直接写出点B′到射线BC的距离（用含x的式子表示）．
参考答案与解析
一、选择题（本大题共16个小题，共38分、1-6小题各3分，7-16小题各2分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）一个有理数与﹣2相加的和为2，则这个有理数是（ ）
A．0B．1C．4D．﹣4
【解答】解：根据题意，2﹣（﹣2）＝4
故这个有理数是4，
故选：C．
2．（3分）如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕DE与AB，BC分别交于点D、点E，连接AE，下列是△ABC的中线的是（ ）
A．线段AEB．线段BEC．线段CED．线段DE
【解答】解：∵将三角形纸片折叠，使点B，C重合，
∴BE＝CE，
∴线段AE是△ABC的中线，
故选：A．
3．（3分）若2a3□a3＝2，则“□”内应填的运算符号为（ ）
A．+B．﹣C．×D．÷
【解答】解：∵2a3+a3＝3a3，2a3﹣a3＝a3，2a3•a3＝2a6，2a3÷a3＝2a0＝2，
∴“□”内应填的运算符号为：÷，
故选：D．
4．（3分）如图，人字梯的支架AB，AC的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则B、C两点之间的距离可能是（ ）
A．3mB．4.2mC．5mD．6m
【解答】解：∵AC＝AC＝2m，
∴2﹣2＜BC＜2+2，
即0m＜BC＜4m．
故选：A．
5．（3分）与的结果不相等的是（ ）
A．B．2×3C．D．
【解答】解：＝＝6．
A.＝＝6，故A不符合题意；
B.2×3＝6，故B不符合题意；
C.＝2+3＝5≠6，故C符合题意；
D.＝6，故D不符合题意．
故选：C．
6．（3分）如图的几何体是由10个相同的小正方体搭成的，若移走下列中的一块小正方体后，该几何体的主视图会发生改变，则可能移走的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【解答】解：观察图形可知，若移走一块小正方体，几何体的主视图会发生改变，则移走的小正方体是④．
故选：D．
7．（2分）老师在黑板上画出如图所示的图形，要求学生添加条件，使得AB∥CD，随后抽取了四名学生的答案纸展示如下：
甲：∠B+∠BCD＝180°；
乙：∠1＝∠2；
丙：∠B＝∠DCE；
丁：∠3＝∠4．
则不能得到AB∥CD的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：甲、当∠B+∠BCD＝180°时，由同旁内角互补，两直线平行得AB∥CD，故不符合题意；
乙、∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，故不符合题意；
丙、当∠B＝∠DCE时，由同位角相等，两直线平行得AB∥CD，故不符合题意；
丁、当∠3＝∠4时，由内错角相等，两直线平行得AD∥BC，故符合题意．
故选：D．
8．（2分）将一个数用科学记数法表示成a×10n的形式，关于a和n的值，下列说法不正确的是（ ）
A．a的值一定小于10B．a的值可能是0.25
C．n的值一定是整数D．n的值可能是负整数
【解答】解：当1≤a＜10时，|a|的取值范围是1≤a＜10，当﹣10＜a≤﹣1时，|a|的取值范围是1≤a＜10，n的值一定是整数，
选项B符合题意，
故选：B．
9．（2分）若a，b互为倒数，则分式的值为（ ）
A．1B．0C．﹣1D．﹣2
【解答】解：∵a，b互为倒数，
∴ab＝1，
∴＝﹣＝＝﹣．
故选：C．
10．（2分）如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行且相等
【解答】解：由作图知，BC＝AD，CD＝AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故判定四边形ABCD为平行四边形的条件是两组对边分别相等，
故选：B．
11．（2分）如图，△ABC绕点C旋转得到△DEC，且点E在边AB上，M为AC与DE的交点．若∠BCE＝25°，则下列各角：①∠ACD；②∠AED；③∠ACE；④∠BAC．其中角的度数一定等于25°的是（ ）
A．①②B．只有①C．③④D．②③
【解答】解：根据旋转的性质得∠ACD＝∠BCE＝25°，
不能判定∠AED，∠ACE，∠BAC与∠BCE相等，
故选：B．
12．（2分）对于任意自然数n，关于代数式（n+7）2﹣（n﹣5）2的值，说法错误的是（ ）
A．总能被3整除B．总能被4整除
C．总能被6整除D．总能被7整除
【解答】解：∵（n+7）2﹣（n﹣5）2
＝[（n+7）+（n﹣5）][（n+7）﹣（n﹣5）]
＝（n+7+n﹣5）（n+7﹣n+5）
＝（2n+2）×12
＝24（n+1），
∴代数式（n+7）2﹣（n﹣5）2的值一定能被24整除，
∴（n+7）2﹣（n﹣5）2的值一定能被3或4或6整除，
故选：D．
13．（2分）如图，在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF，下列三角形中，外心不是点M的是（ ）
A．△ABCB．△AECC．△ACFD．△BCE
【解答】解：连接FM，在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，
∴AM＝BM＝CM，
∴点M是△ABC的外心，
∵四边形AMEF是正方形，
∴AM＝EM，
∴AM＝ME＝CM，
∴点M是△AEC的外心，点M是△BCE的外心，
∵FM＝AM，
∴AM＝CM≠FM，
∴点M不是△ACF的外心，
故选：C．
14．（2分）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：根据题意，可知xy的值即为该校的优秀人数，
∵描述乙、丁两学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两学校的优秀人数相同，
∵点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面，
∴丙学校的xy的值最大，即优秀人数最多，甲学校的xy的值最小，即优秀人数最少，
故选：C．
15．（2分）有4张扑克牌如图所示，将其背面朝上，打乱顺序后放在桌面上．若从中随机抽取两张，则抽到的花色均为♠（黑桃）的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设4张扑克牌为A，B，C，D，画树状图如图所示，
所有等可能情况数为12种，其中两张花色均为♠（黑桃）的扑克牌有2种，
则抽到的花色均为♠（黑桃）的概率为P＝＝．
故选：B．
16．（2分）如图，等边△ABC的边长为5，点D，P，L分别在边AB，BC，CA上，AD＝BP＝CL＝x（x＞0），按如图方式作边长均为3的等边△DEF，△PQR，△LMN，点F，R．N分别在射线DA，PB，LC上．
结论Ⅰ：当边DE，PQ，LM与△ABC的三边围成的图形DGPHLI是正六边形时，x＝1；
结论Ⅱ：当点D与点B重合时，EF，QR，MN围成的三角形的周长为3．
针对结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对D．1对Ⅱ不对
【解答】解：由题意得到：△ADI，△BPG，△CHL是等边三角形，
∵AD＝BP＝CL＝x，
∴当AD＝DG时，六边形DGPHL是正六边形，
∵等边△ABC的边长为5，
∴AB＝5，
∴5﹣2x＝x，
∴x＝，
∴结论Ⅰ不对；
∵△DEF，△PQR，△LMN是边长为3的等边三角形，
∴AF＝5﹣3＝2，
显然四边形AFTQ是平行四边形，
∴TQ＝AF＝2，
同理RK＝2，
∵KQ＝RQ﹣RK＝3﹣2＝1，
∴TK＝TQ﹣KQ＝2﹣1＝1，
显然△WTK是等边三角形，
∴EF，QR，MN围成的三角形的周长为3．
∴结论Ⅱ正确，
故选：C．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分，17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．（2分）如图，数轴上的两个点分别表示﹣3和m，请写出一个符合条件的m的整数值： ﹣4（答案不唯一） ．
【解答】解：由题图可知，m＜﹣3，
∴符合条件的m的整数值可以为﹣4（答案不唯一）．
故答案为：﹣4（答案不唯一）．
18．（4分）某面粉加工厂加工甲、乙两种颗粒面粉，每天共加工两种面粉100袋，相关信息如下表：
设每天生产甲种颗粒面a袋．
（1）每天加工甲、乙两种颗粒面的总成本为 （2a+2800） 元（用含a的代数式表示）；
（2）当a＝60时，每天加工甲、乙两种颗粒面的总利润为 1100 元．（利润＝售价﹣成本）
【解答】解：设每天生产甲种颗粒面a袋，则每天生产乙种颗粒面（100﹣a）袋．
（1）每天加工甲、乙两种颗粒面的总成本为30a+28（100﹣a）＝（2a+2800）元．
故答案为：（2a+2800）．
（2）每天加工甲、乙两种颗粒面的总利润为（43﹣30）a+（36﹣28）（100﹣a）＝（5a+800）元，
当a＝60时，总利润为5×60+800＝1100（元）．
故答案为：1100．
19．（4分）如图，点A（3，0），B（0，4），连接AB，点D为x轴上点A左侧的一点，点E，F分别为线段AB，线段BO上的点，点B，D关于直线EF对称．
（1）若DE⊥AO，则四边形BEDF的形状是 菱形 ；
（2）当AD最长时，点F的坐标为 （0，） ．
【解答】
解：∵点B，D关于直线EF对称，
∴EF垂直平分BD，
∴BE＝BF，DE＝DF，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FBD＝∠FDB，
∵DE⊥AO，BF⊥AO，
∴BF∥DE，
∴∠FBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠FDB，
∴BE∥DF，
∵BF∥DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BE＝DE，
∴四边形BEDF是菱形．
故答案为：菱形．
（2）连结BD，EF的延长线交BD于M．
当E点和A重合时AD最长，
OA＝3，OB＝4，
∴AB2＝OA2+OB2＝9+16＝25，
∴AB＝5．
∴AD＝AB＝5，
∴OD＝5﹣3＝2，
∴BD2＝OD2+OB2＝4+16＝20，
∴BD＝2，
∵AM⊥BD，AB＝AD，
∴DM＝BD＝．
∴AM2＝AD2﹣DM2＝25﹣5＝20，
∴AM＝2，
∵△ADM∽△AFO，
∴，
∴OF＝＝，
∴F的坐标为（0，）．
故答案为：（0，）．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（9分）老师在黑板上写下“3①3②”，其中①、②分别是0～9之间的一个数字，但不能重复，进行填数游戏．老师提出了以下问题，请你完成：
（1）当“3①3②”最小时，计算①﹣3+②﹣3的值；
（2）若“3①3②”比“3②3①”大396、且①、②中的一个数是另一个数的2倍，求①、②所代表的数字．
【解答】解：（1）∵①、②分别是0～9之间的一个数字，
∴当“3①3②”最小时，①是0，②是1，
∴①﹣3+②﹣3＝0﹣3+1﹣3＝﹣5；
（2）当①是②的2倍时，设②为x，则①为2x，根据题意得3000+100×2x+30+x﹣（3000+100x+30+2x）＝396，解得x＝4，
∴①代表的数是8，②代表的数是4，
当②是①的2倍时，设①为x，则②为2x，根据题意得：3000+100×x+30+2x﹣（3000+100×2x+30+x）＝396，解得x＝﹣4（不符合题意舍去）．
综上分析，①代表的数是8，②代表的数是4．
21．（9分）为适应现代快节奏生活，利用外卖平台购买餐食已经成为很普通的一件事，某饼屋利用外卖平台进行销售餐食．饼屋根据10月9日﹣13日饼类的外卖平台销售情况绘制了不完整的统计图（如图1）和统计表，日增长率＝×100%．
10月9日﹣13日饼类外卖销售日增长统计表
（负数表示减少的百分数）
请根据以上信息解答下列问题：
（1）m＝ 20% ，并补全图1的条形统计图；
（2）求饼屋日销售量的中位数，以及从10日至13日饼屋销售量的日增长率的平均数．
【解答】解：（1）10月10日的销售量为：200×（1+50%）＝300（张），
10月11日的日增长率为：m＝×100%＝20%，
故答案为：20%．
补全条形统计图，如图所示：
（2）饼屋日销售量的中位数为：306张；
从10日至13日饼屋销售量的日增长率的平均数为：（50%+20%﹣15%+10%）÷4≈16%．
22．（9分）如图1是边长分别为m，n、p的A、B、C三种正方形．
（1）用两个A种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，则这个大正方形的面积＝ 4m2 （用含m的代数式表示）；
（2）将一个A种和一个B种正方形组合成图3的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积： （m+n）2 或 m2+n2+2mn ；则根据这个大正方形面积的不同表示方法，可以得到的乘法公式为 （m+n）2＝m2+n2+2mn ；
（3）将A种、B种和C种正方形组合形成图4的图形，此时的外边框可以围成一个大的正方形，根据（2）中乘法公式的生成过程，直接写出所得到的等式，并令m＝1，n＝3，p＝2，通过计算验证该等式．
【解答】解：（1）这个大正方形的面积＝（2m）2＝4m2，
故答案为：4m2；
（2）①大正方形的面积＝（m+n）2，
②大正方形的面积＝m2+n2+2mn；
∴可以得到的乘法公式为＝（m+n）2＝m2+n2+2mn；
故答案为：（m+n）2，m2+n2+2mn；（m+n）2＝m2+n2+2mn；
（3）根据题意得，大正方形的面积＝（m+n+p）2；
大正方形的面积＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np，
∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np，
∵m＝1，n＝3，p＝2，
∴（m+n+p）2＝（1+3+2）2＝36，m2+n2+p2+2mn+2mp+2np＝12+32+22+2×1×3+2×1×2+2×3×2＝36，
∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np．
23．（10分）如图，直线l1与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B（0，5），直线l2的解析式为y＝3x﹣3．
（1）求直线l1的解析式；
（2）求直线l1被直线l2和y轴所截线段的长．
【解答】解：（1）由题意，设l1为y＝kx+b，再将A、B两点代入得，
∴，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+5；
（2）设直线l1和直线l2的交点为C，
解得，
∴C（2，3），
∴BC＝＝2，
答：直线l1被直线l2和y轴所截线段的长为2．
24．（10分）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒P刚浮出水面（点A）时开始计算时间．
（1）求盛水筒P从A点到达最高点所经过的路程；
（2）求浮出水面3.4秒时，盛水筒P到水面的距离；
（3）若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO＝8m，直接写出盛水筒P从最高点开始，经过多长时间恰好第一次落在直线MN上．（参考数据：cs43°＝sin47°≈，sin16°＝cs74°≈，sin22°＝cs68°≈）
【解答】解：（1）如图1中，连接OA．
由题意，筒车每秒旋转360°×÷60＝5°，
在Rt△ACO中，cs∠AOC＝＝＝．
∴∠AOC＝43°，
∴2π×3×＝（m）．
答：盛水筒P从A点到达最高点所经过的路程为m．
（2）如图2中，盛水筒P浮出水面3.4秒后，此时∠AOP＝3.4×5°＝17°，
∴∠POC＝∠AOC+∠AOP＝43°+17°＝60°，
过点P作PD⊥OC于D，
在Rt△POD中，OD＝OP•cs60°＝3×＝1.5（m），
2.2﹣1.5＝0.7（m），
答：盛水筒P到水面的距离为0.7m．
（3）如图3中，
∵点P在⊙O上，且MN与⊙O相切，
∴当点P在MN上时，此时点P是切点，连接OP，则OP⊥MN，
在Rt△OPM中，cs∠POM＝＝，
∴∠POM≈68°，
在Rt△COM中，cs∠COM＝＝＝，
∴∠COM＝74°，
∴∠POH＝180°﹣∠POM﹣∠COM＝180°﹣68°﹣74°＝38°，
∴需要的时间为＝7.6（秒），
答：盛水筒P从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线MN上．
25．（12分）某排球运动员在原点O处训练发球，MN为球网，AB为球场护栏，且MN，AB均与地面垂直，球场的边界为点K，排球（看作点）从点O的正上方点P（0，2）处发出，排球经过的路径是抛物线L的一部分，其最高点为G，落地点为点H，以点O为原点，点O，M，H，K，A所在的同一直线为x轴建立平面直角坐标系，相应点的坐标如图所示，点N的坐标为（9，2.4）（单位：米，图中所有的点均在同一平面内）．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）通过计算判断发出后的排球能否越过球网？是否会出界？
（3）由于运动员作出调整改变了发球点P的位置，使得排球在点K落地后立刻弹起，又形成了一条与L形状相同的抛物线L′，且最大高度为1m．若排球沿L′下落时（包含最高点）能砸到球场护栏AB，直接写出m的最大值与最小值的差．
【解答】解：（1）∵排球经过的路径是抛物线L的一部分，其最高点为G（6，3）．
∴抛物线L的顶点坐标为（6，3）．
设抛物线L的解析式为：y＝a（x﹣6）2+3．
∵过点P（0，2），
∴2＝36a+3．
解得：a＝﹣．
∴y＝﹣（x﹣6）2+3；
（2）∵当x＝9时，y＝2.75＞2.4，
∴发出后的排球能越过球网．
∵当y＝0时，x1＝6+6＜18，x2＝6﹣6（在x轴负半轴，舍去），
∴不会出界．
答：发出后的排球能越过球网，不会出界；
（3）设抛物线L′的解析式为：y＝﹣（x﹣k）2+1．
∵过（18，0），
∴0＝﹣（18﹣k）2+1．
解得：k1＝12（不合题意，舍去），k2＝24．
∴y＝﹣（x﹣24）2+1．
∵排球从最高处开始下落，抛物线L′的最大高度为1m，护栏AB的高度是2m，
∴护栏在距离原点24m处，就会被排球砸到．
∴m＝24；
∵排球落地时，砸到点A．
∴0＝﹣（x﹣24）2+1．
解得：x1＝18（不合题意，舍去），x2＝30．
∴m＝30．
∴m的最大值与最小值的差为：30﹣24＝6．
答：m的最大值与最小值的差为6．
26．（13分）如图1和图2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，将线段AB绕点A顺时针旋转n°（0＜n＜180）到AB'，∠BAB′的平分线AP交射线BC于点P，连接B′P，设BP＝x，
（1）求证：BP＝B′P；
（2）如图2，当B′P经过点D时，n＝ 150 ，求x的值；
（3）在线段AB绕点A旋转过程中：
①当点B′到AD的距离为2时，求x的值；
②直接写出点B′到射线BC的距离（用含x的式子表示）．
【解答】解：（1）证明：∵将线段AB绕点A顺时针旋转n°（0＜n＜180）到AB'，
∴AB′＝AB，
∵AP平分∠BAB′，
∴∠BAP＝∠B′AP，
∵AP＝AP，
∴△ABP≌△AB′P（SAS），
∴BP＝B′P；
（2）根据题意，AB′＝AB＝6，AD＝BC＝12，
那么在Rt△AB'D中，sin∠B'DA＝＝，则∠B'DA＝30°，∠B'AD＝60°；
因此，n°＝∠BAB′＝∠BAD+∠B'AD＝90°+60°＝150°；
∵AD∥BP，
∴∠DPC＝∠B'DA＝30°，
在Rt△DCP中，PC＝CD÷tan∠DPC＝6÷tan30°＝6，
因此，x＝BC+PC＝12+6；
故答案为：150；
（3）①考虑两种情况，当0＜n＜90时，如图3所示，过B'作EF⊥BC交AD于E，交BC于F；
根据题意，B'E＝2，B'F＝4；
∵△ABP≌△AB′P，
∴∠AB'P＝∠ABP＝90°，
则∠EB'A+∠FB'P＝90°，
∵EF⊥BC，EF⊥AD，
∴∠FPB'+∠FB'P＝90°，∠EB'A+∠EAB'＝90°，
∴∠EB'A＝∠FPB'，
∴△EB'A∽△FPB'，
因此，；
∵在Rt△EB'A中，B'E＝2，AB'＝6，
∴AE＝＝4；
解得：x＝B'P＝3；
当90＜n＜180时，如图4所示，过B'作B'F⊥BC交AD于E，交BC于F；
根据题意，B'E＝2，B'F＝8；
同上，可证△EB'A∽△FPB'，
因此，；
解得：x＝B'P＝6；
综上所述，x＝3或6；
②同第①问，考虑两种情况，当0＜n＜90时，如图3所示，同上可证△EB'A∽△FPB'，
因此，＝；
解得点B′到射线BC的距离为：B'F＝；
当90＜n＜180时，如图4所示，同上可证△EB'A∽△FPB'，
因此，＝；
解得点B′到射线BC的距离为：B'F＝；
综上所述，点B′到射线BC的距离为：．成本（元/袋）
售价（元/袋）
甲
30
43
乙
28
36
日期/日
日增长率（精确到1%）
9
无
10
50%
11
m
12
﹣15%
13
10%
成本（元/袋）
售价（元/袋）
甲
30
43
乙
28
36
日期/日
日增长率（精确到1%）
9
无
10
50%
11
m
12
﹣15%
13
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