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湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期一模数学试卷（Word版附答案）
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这是一份湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期一模数学试卷（Word版附答案），文件包含湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期一模数学试卷Word版无答案docx、湖北省襄阳市第五中学2024届高三第一次适应性考试数学试卷答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共7页， 欢迎下载使用。
命题人：陈婧 尤文娟 任健 审题人：闫小东 万小刚 2024.5.4
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数z满足 z⋅1−i=|1+3i|,则z的虚部为( )
A. 1 B i C. -i D 1
2. 已知a>0, b>0, a+b=2, 则( )
A. 03.色差和色度是衡量玩具质量优劣的重要指标，已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且 y=0.8x−1.8,现有一对测量数据为(30，22.8)，则该数据的残差为( )
A. 0.6 B. 0.4 C. -0.4 D. -0.6
4.已知向量a=(-1,0),b=(2,m)(m∈R),若向量 b在向量a上的投影向量为μa，则实数μ= ( )
A.−12 B. 12 C. -2 D. 2
5. 在△ABC中, 角A、 B、C的对边分别为a. b、c, 且△ABC的面积. SABC=3 SaABC=34a2+c2−b2,则 AB⋅BC=( )
A. 3 B.−3 C. 2 D. -2
6. 如图,在四面体P-ABC中, PA⊥平面ABC,AC⊥CB,PA=AC=2BC=2,则此四面体的外接球表面积为( )
A. 3π B. 9π
C. 36π D. 48π
7.在平面直角坐标系xOy中，若直线. y=kx−33上存在一点P，圆 x²+y−1²=1上存在一点Q，满足 OP=3OQ,则实数k的最大值为 ( )
A. 0 B.3 C. −3 D. 3
8 已知可导函数f(x)的定义域为R，fx2−1为奇函数,设g(x)是f(x)的导函数,若g(2x+1)为奇函数, 且 g0=12,则 k=110kg2k=( )
A. 132 B.−132 C.112 D.−112
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列{an}满足 an+2an+1an=8,a₁=a₃=−a₂,记Sn为数列{an}的前n项和, 则( )
A.a₂=−2 B.an+3=an
C.a3n+1=a3n D.s3n=2n
10.已知O为坐标原点，双曲线C： x2a2−y2b2=1.（a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1， F2, 离心率为 5,M为双曲线C上一点, MN平分∠F1MF₂,且 F1N⋅MN=0,|ON|=4,则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的标准方程为 x24−y2=1 B. ON∥MF₂
C. 双曲线C的焦距为4 5 D.点M 到两条渐近线的距离之积为 165
11.如图，边长为4的正方形ABCD是圆柱的轴截面，点P为圆弧 AD上一动点(点P与点A,D不重合), 且 AP=λAD(0<λ<1),则 ( )
A. 存在λ值, 使得AD⊥BP
B. 三棱锥P-ABD体积的最大值为 163
C. 当 λ=12时，异面直线PB与AD所成角的余弦值为 66
D. 当直线PB与平面ABCD所成角最大时,平面PAB截四棱锥P-ABCD外接球的截面面积为 42π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 我们称n(n∈N⁺)元有序实数组(x₁,x₂,…,xn)为n维向量, |x1|+|x2|+⋯+|xn|为该向量的范数.已知n维向量 a=x1x2⋯xn,其中x₁∈{-1,0,1}(i=1,2,……n),记范数为奇数的a的个
数为An, 则. A₃=
13. 若对任意x∈(e,+∞),存在实数19,使得关于x的不等式ln(x-e)+λx+1≥0成立,则实数λ的最小值为
14. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab>0)的离心率 e=32,A，B是椭圆的左、右顶点，P为椭圆上一点(与A, B不重合), 令∠PAB=α, ∠APB=β,则 csβcs2α+β=
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分) 己知函数f(x)=, 其中a∈R.
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
(2)是否存在实数a,使得f(x)在x∈(0,e]上的最大值是-3?若存在,求出a的值;若不存在，说明理由.
16. (15分) 如图, 已知四棱台. ABCD−A₁B₁C₁D₁的上、下底面分别是边长为2和4的正方形, 平面AA1D1D⊥平面ABCD, A1A=D1D= 17,点 P 是棱DD₁的中点, 点Q 在棱 BC上.
(1) 若BQ=3QC,证明:PQ∥平面ABB₁A₁;
(2) 若二面角P-QD-C的正弦值为52626, 求BQ的长.
17.(15分)已知椭圆c: x2a2+y2b2=1.(a>b>0)的离心率为 22，以C的短轴为直径的圆与直线y=ax+6相切
(1) 求 C的方程;
(2) 直线l: y=k(x-1)(k≥0)与C相交于A,B两点,过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q, 直线OP的斜率为k’(O为坐标原点), △APQ的面积为 S₁,△BPQ的面积为S₂, 若 |AP|⋅S₂=|BP|⋅S₁,判断k·k'是否为定值?并说明理由.
18.(17分)甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、乙第一轮猜对的概率都为 12.甲如果第k(k∈N⁺)轮猜对，则他第k+1轮也猜对的概率为 23,如果第k轮猜错，则他第k+1轮也猜错的概率为 23；乙如果第k轮猜对，则他第k+1轮也猜对的概率为 13，如果第k轮猜错，则他第k+1轮也猜错的概率为 13.在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响.
(1)若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率；
(2)若一条信息有n(n>1,n∈N⁺)种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为P1, P₂, …, Pn, 则称 H=−i=1nPilg2Pi为该条信息的信息熵(单位为比特)，用于量度该条信息的复杂程度。试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X 的信息熵H；
(3)如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了Y轮游戏，求证：E(Y)<4.
19.(17分)
英国数学家泰勒发现的泰勒展式有如下特殊形式：当f(x)在x=0处的n(n∈N⁺)阶导数都存在时， fx=f0+f'0x+fn02!x2+f303!x3+⋯+fn0n!xn+⋯.注:
f"(x)表示f(x)的二阶导数, 即为f'(x)的导数,f（n）(x)(n≥3)表示f(x)的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
(1)根据该公式估算sin12的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：csx=1−x2!+x44!−x66!+⋯.当x≥0时,试比较csx与 1−x22的大小，并给出证明；
(3) 设n∈N°, 证明k=1n1n+ktan1n+k>n−14n+2.
命题人：陈婧 尤文娟 任健 审题人：闫小东 万小刚 2024.5.4
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数z满足 z⋅1−i=|1+3i|,则z的虚部为( )
A. 1 B i C. -i D 1
2. 已知a>0, b>0, a+b=2, 则( )
A. 0
A. 0.6 B. 0.4 C. -0.4 D. -0.6
4.已知向量a=(-1,0),b=(2,m)(m∈R),若向量 b在向量a上的投影向量为μa，则实数μ= ( )
A.−12 B. 12 C. -2 D. 2
5. 在△ABC中, 角A、 B、C的对边分别为a. b、c, 且△ABC的面积. SABC=3 SaABC=34a2+c2−b2,则 AB⋅BC=( )
A. 3 B.−3 C. 2 D. -2
6. 如图,在四面体P-ABC中, PA⊥平面ABC,AC⊥CB,PA=AC=2BC=2,则此四面体的外接球表面积为( )
A. 3π B. 9π
C. 36π D. 48π
7.在平面直角坐标系xOy中，若直线. y=kx−33上存在一点P，圆 x²+y−1²=1上存在一点Q，满足 OP=3OQ,则实数k的最大值为 ( )
A. 0 B.3 C. −3 D. 3
8 已知可导函数f(x)的定义域为R，fx2−1为奇函数,设g(x)是f(x)的导函数,若g(2x+1)为奇函数, 且 g0=12,则 k=110kg2k=( )
A. 132 B.−132 C.112 D.−112
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列{an}满足 an+2an+1an=8,a₁=a₃=−a₂,记Sn为数列{an}的前n项和, 则( )
A.a₂=−2 B.an+3=an
C.a3n+1=a3n D.s3n=2n
10.已知O为坐标原点，双曲线C： x2a2−y2b2=1.（a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1， F2, 离心率为 5,M为双曲线C上一点, MN平分∠F1MF₂,且 F1N⋅MN=0,|ON|=4,则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的标准方程为 x24−y2=1 B. ON∥MF₂
C. 双曲线C的焦距为4 5 D.点M 到两条渐近线的距离之积为 165
11.如图，边长为4的正方形ABCD是圆柱的轴截面，点P为圆弧 AD上一动点(点P与点A,D不重合), 且 AP=λAD(0<λ<1),则 ( )
A. 存在λ值, 使得AD⊥BP
B. 三棱锥P-ABD体积的最大值为 163
C. 当 λ=12时，异面直线PB与AD所成角的余弦值为 66
D. 当直线PB与平面ABCD所成角最大时,平面PAB截四棱锥P-ABCD外接球的截面面积为 42π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 我们称n(n∈N⁺)元有序实数组(x₁,x₂,…,xn)为n维向量, |x1|+|x2|+⋯+|xn|为该向量的范数.已知n维向量 a=x1x2⋯xn,其中x₁∈{-1,0,1}(i=1,2,……n),记范数为奇数的a的个
数为An, 则. A₃=
13. 若对任意x∈(e,+∞),存在实数19,使得关于x的不等式ln(x-e)+λx+1≥0成立,则实数λ的最小值为
14. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab>0)的离心率 e=32,A，B是椭圆的左、右顶点，P为椭圆上一点(与A, B不重合), 令∠PAB=α, ∠APB=β,则 csβcs2α+β=
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分) 己知函数f(x)=, 其中a∈R.
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
(2)是否存在实数a,使得f(x)在x∈(0,e]上的最大值是-3?若存在,求出a的值;若不存在，说明理由.
16. (15分) 如图, 已知四棱台. ABCD−A₁B₁C₁D₁的上、下底面分别是边长为2和4的正方形, 平面AA1D1D⊥平面ABCD, A1A=D1D= 17,点 P 是棱DD₁的中点, 点Q 在棱 BC上.
(1) 若BQ=3QC,证明:PQ∥平面ABB₁A₁;
(2) 若二面角P-QD-C的正弦值为52626, 求BQ的长.
17.(15分)已知椭圆c: x2a2+y2b2=1.(a>b>0)的离心率为 22，以C的短轴为直径的圆与直线y=ax+6相切
(1) 求 C的方程;
(2) 直线l: y=k(x-1)(k≥0)与C相交于A,B两点,过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q, 直线OP的斜率为k’(O为坐标原点), △APQ的面积为 S₁,△BPQ的面积为S₂, 若 |AP|⋅S₂=|BP|⋅S₁,判断k·k'是否为定值?并说明理由.
18.(17分)甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、乙第一轮猜对的概率都为 12.甲如果第k(k∈N⁺)轮猜对，则他第k+1轮也猜对的概率为 23,如果第k轮猜错，则他第k+1轮也猜错的概率为 23；乙如果第k轮猜对，则他第k+1轮也猜对的概率为 13，如果第k轮猜错，则他第k+1轮也猜错的概率为 13.在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响.
(1)若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率；
(2)若一条信息有n(n>1,n∈N⁺)种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为P1, P₂, …, Pn, 则称 H=−i=1nPilg2Pi为该条信息的信息熵(单位为比特)，用于量度该条信息的复杂程度。试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X 的信息熵H；
(3)如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了Y轮游戏，求证：E(Y)<4.
19.(17分)
英国数学家泰勒发现的泰勒展式有如下特殊形式：当f(x)在x=0处的n(n∈N⁺)阶导数都存在时， fx=f0+f'0x+fn02!x2+f303!x3+⋯+fn0n!xn+⋯.注:
f"(x)表示f(x)的二阶导数, 即为f'(x)的导数,f（n）(x)(n≥3)表示f(x)的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
(1)根据该公式估算sin12的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：csx=1−x2!+x44!−x66!+⋯.当x≥0时,试比较csx与 1−x22的大小，并给出证明；
(3) 设n∈N°, 证明k=1n1n+ktan1n+k>n−14n+2.
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