广西桂林市2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份广西桂林市2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 在四面体中，，则， 已知直线等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 甲同学计划分别从3份不同的语文试卷、5份不同的数学试卷中各任选1份试卷练习，则不同的选法共有（ ）
A. 8种B. 15种C. 种D. 种
2. 双曲线：的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列四对向量中，垂直的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4. 展开式中，常数项为（ ）
A B. 672C. D. 144
5. 对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（ ）

A. B. C. D.
6. 在四面体中，，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 从甲、乙等12人中任选5人，则甲、乙至多有1人被选中选法共有（ ）
A. 252种B. 420种C. 672种D. 10080种
8. 已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（ ）
A. 4B. 8C. 32D. 64
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
10. 已知直线：，为坐标原点，则（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 若到直线的距离为，则c＝2
C. 过且与直线平行的直线方程为
D. 过且与直线垂直的直线方程为
11. 若曲线与曲线有6个公共点，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线：，：，若，则_____________.
13. 已知抛物线焦点为，是上一点，且，则______．
14. 被9除的余数为_____________________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆C上有两个点A，B，且AB为直径．
（1）求圆C的方程；
（2）已知P，求过点P且与圆C相切的直线方程．
16. 下表是某社区男、女居民对附近商场体验感评价的调查结果（单位：人）.
（1）完善上述表格数据，试问是否有的把握判断体验感评价与性别有关？
（2）从评价高的居民中按性别采用分层随机抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人进行深度调查，记进行深度调查的男居民的人数为，求的分布列与期望.
附：，.
当时，没有充分的证据判断变量，有关联，可以认为变量，是没有关联的；
当时，有的把握判断变量，有关联；
当时，有的把握判断变量，有关联；
当时，有的把握判断变量，有关联.
17. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，是边长为2的正三角形，平面平面为棱的中点．
（1）证明：平面．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为．
（1）求椭圆的方程．
（2）设是椭圆上第一象限内的一点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点．记的面积为，的面积为．证明：为定值．
19. 某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效．某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率．
（2）记该同学第天中午选择冰糖雪梨汤概率为，证明：为等比数列．
（3）求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．
高二年级2024年春季学期入学联合检测卷
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 甲同学计划分别从3份不同的语文试卷、5份不同的数学试卷中各任选1份试卷练习，则不同的选法共有（ ）
A 8种B. 15种C. 种D. 种
【答案】B
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理进行求解即可.
【详解】根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种.
故选：B
2. 双曲线：的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线渐近线方程即可计算.
【详解】由题意得，，
则其渐近线方程为，
即，
故选：A.
3. 下列四对向量中，垂直的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据两向量垂直的判定方法计算即可.
【详解】对A，因为，故两向量不垂直，故A错误；
对B，因为，故两向量垂直，故B正确；
对C，因为，故两向量不垂直，故C错误；
对D，因为，故两向量不垂直，故D错误；
故选：B.
4. 的展开式中，常数项为（ ）
A. B. 672C. D. 144
【答案】A
【解析】
【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，即可求得答案.
【详解】展开式的通项是，
令 ，解得 ，
所以常数项为,
故选：A．
5. 对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据散点图中点的分布的特征，确定3个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案.
【详解】由散点图可知第1个图表示的正相关，
故；
第2，3图表示的负相关，且第2个图中的点比第3个图中的点分布更为集中，
故，且，故，
综合可得，即，
故选：C
6. 在四面体中，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】如图所示，四面体中，满足，
可得
．
故选：C.
7. 从甲、乙等12人中任选5人，则甲、乙至多有1人被选中的选法共有（ ）
A. 252种B. 420种C. 672种D. 10080种
【答案】C
【解析】
【分析】分甲和乙其中一人被选中和甲乙均未被选中两种情况讨论即可.
【详解】当甲和乙其中一人被选中的情况数共有种
当甲或乙两人均未被选中的情况数共有种不同挑选方法；
则甲、乙至多有1人被选中的选法共有种不同挑选方法，
故选：C．
8. 已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（ ）
A. 4B. 8C. 32D. 64
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据已知条件得到直线恒过定点，直线恒过定点，且，根据交点得到点在以为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值.
【详解】由题知：直线恒过定点.
直线化简为：，当时，，直线恒过点.
当时，直线斜率不存在，直线的斜率，则.
当时，，，，则.
综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且.
因为直线与直线交于点，
所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为，
且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径，
因为表示圆上的点到原点距离的平方，设，
则，所以的最大值为64.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性即可判断AB，根据正态分布的均值与方差的性质即可判断CD.
【详解】对A，由题意得，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，，因为，则，故C错误；
对D，因为，则，故D正确；
故选：ABD.
10. 已知直线：，为坐标原点，则（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 若到直线的距离为，则c＝2
C. 过且与直线平行的直线方程为
D. 过且与直线垂直的直线方程为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据直线方程，得直线的倾斜角，可判断；根据点到直线的距离公式计算可判断，根据与知直线平行或垂直的直线方程求法可判断.
【详解】直线可化为：，
所以斜率，得倾斜角为，故错误；
由点到直线的距离公式得，得，
所以，故错误；
设与直线平行的直线方程为，
因为平行直线方程经过原点，所以，
即平行直线方程为，故正确；
设与直线垂直的直线方程为,
因为垂直直线方程经过原点，所以，
即垂直直线方程为，故正确.
故选：.
11. 若曲线与曲线有6个公共点，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先根据，确定是由椭圆的上半部分与双曲线的下半部分组合而成的，然后根据直线与曲线有6个公共点，结合图象求解即可.
【详解】
当时，，当时，，
所以是由椭圆的上半部分与双曲线的下半部分组合而成的．
过定点．如图，
由得，
由，得．
由得，由，得．
因为与有6个公共点，所以，由图可知，的取值范围为．
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线：，：，若，则_____________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据两直线平行，列式计算.
【详解】因为，所以，解得或（舍），
.
故答案为：2.
13. 已知抛物线的焦点为，是上一点，且，则______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据抛物线的定义及焦半径公式计算即可.
【详解】由题可知．
故答案为：6
14. 被9除的余数为_____________________.
【答案】4
【解析】
【分析】整理变形得，再根据的展开式通项即可得到答案.
【详解】，
，
故被9除的余数为4.
故答案为：4.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆C上有两个点A，B，且AB为直径．
（1）求圆C的方程；
（2）已知P，求过点P且与圆C相切的直线方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由中点坐标公式求出圆心坐标，再求出半径，即可得到圆的方程；
（2）先判断点在圆上，再求得直线的斜率，从而得到切线的斜率，即可求解.
【小问1详解】
因为圆C的直径为AB，故其圆心为C，
其半径为，
故圆C的方程为：．
【小问2详解】
因为，故P在圆C上，连接PC，
而直线的斜率：，故圆C在P处的切线的斜率为，
故所求切线的方程为：．
16. 下表是某社区男、女居民对附近商场体验感评价的调查结果（单位：人）.
（1）完善上述表格数据，试问是否有的把握判断体验感评价与性别有关？
（2）从评价高的居民中按性别采用分层随机抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人进行深度调查，记进行深度调查的男居民的人数为，求的分布列与期望.
附：，.
当时，没有充分证据判断变量，有关联，可以认为变量，是没有关联的；
当时，有的把握判断变量，有关联；
当时，有的把握判断变量，有关联；
当时，有的把握判断变量，有关联.
【答案】（1）有关 （2）分布列见解析，数学期望为.
【解析】
【分析】（1）根据独立性检验的基本思想需要计算的值并与6.635比较得出结论；
（2）由分层抽样可知6名居民中男的有4人，女的有2人，分别计算，列出分布列并求均值.
【小问1详解】
，
的把握判断体验感评价与性别有关；
【小问2详解】
评价高的居民男女比例为，则6人中，男居民4人，女居民2人，
则的可能取值为1,2,3，
，，，
故随机变量的分布列为：
．
17. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，是边长为2的正三角形，平面平面为棱的中点．
（1）证明：平面．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理，结合勾股定理的逆定理、面面垂直的性质定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式进行求解即可.
【小问1详解】
，
，即．
平面平面，平面平面，平面，
平面．
【小问2详解】
如图，分别取的中点，连接．
平面．
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
．
设是平面的法向量，则，
令，得，则．
故直线与平面所成角的正弦值为
．
18. 已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为．
（1）求椭圆的方程．
（2）设是椭圆上第一象限内的一点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点．记的面积为，的面积为．证明：为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可求得结果；
（2）根据题意，分别表示出点的坐标，从而表示出，然后结合椭圆的方程，代入计算，即可证明.
【小问1详解】
由题可知，，解得，
故椭圆的方程为．
【小问2详解】
证明：设，则直线的方程为，令，得．
直线的方程为，令，得．
，，
．
由，得，
则．
故为定值．
19. 某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效．某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率．
（2）记该同学第天中午选择冰糖雪梨汤的概率为，证明：为等比数列．
（3）求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）同学只有1天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率.
【解析】
【分析】（1）利用条件概率公式计算即得.
（2）利用全概率公式列式，再利用构造法证明即得.
（3）由（2）求出数列的通项公式，再分奇偶解不等式得解.
【小问1详解】
设表示第一天中午选择冰糖雪梨汤，表示第二天中午选择冰糖雪梨汤，则表示第一天中午选择苹果百合汤.
根据题意得，
【小问2详解】
设表示第天中午选择冰糖雪梨汤，则，
根据题意得，
由全概率公式得
，即，
不妨设，即，
所以，解得，
则，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
【小问3详解】
由（2）得，.
由题意，只需，即，
则，即.
显然必为奇数，偶数不成立.
当时，有.
当时，显然成立.
当时，，所以当时不成立.
因为单调递减，所以也不成立.
综上，该同学只有1天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率.
【点睛】关键点点睛：利用全概率公式求随机事件B的概率问题，把事件B分拆成两个互斥事件与的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.
评价
居民
评价高
评价一般
总计
男居民
30
女居民
35
总计
45
100
评价
居民
评价高
评价一般
总计
男居民
30
女居民
35
总计
45
100
评价
居民
评价高
评价一般
总计
男居民
30
20
50
女居民
15
35
50
总计
45
55
100
X
1
2
3
P