广西南宁市第二中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，则“”是“向量与共线”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4. 木雕是我国雕塑的一种，在我们国家常常被称为“民间工艺”.传统木雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形木雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知，，，则该扇形木雕的面积为（ ）

A. B. C. D.
5. 若角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. 1C. D.
6. 指数函数图象如图所示，其中，则二次函数的顶点的横坐标的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增．若，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若函数，且函数有6个零点，则非零实数的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分．
9. 对于实数a、b、c，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，，则，
C. 若，则D. 若，则
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则函数定义域为
B. 若，则不等式的解集为
C. 若函数的值域为，则实数a的取值范围是
D. 若函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数，是增函数，零点为
B. 已知实数，则函数的零点所在的区间是
C. 函数的零点个数为3个
D. 函数在上存在零点，则正实数的取值范围是
12. 已知函数在区间上有且仅有3个零点，则（ ）
A. 在区间上有且仅有4条对称轴
B. 的最小正周期可能是
C. 的取值范围是
D. 在区间上单调递增
第Ⅱ卷 非选择题（共80分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，满足，，则______．
14. 已知，则的最大值为______．
15. 已知函数的部分图象如图所示，则__________．

16. 已知函数，则使不等式成立的实数的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. （1）已知方程，求的值．
（2）已知，求值；
19 已知函数
（1）若函数在上有最大值，求实数a的值；
（2）若函数在上有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
20. 某市2019年引进天然气作为能源，并将该项目工程承包给中昱公司.已知中昱公司为该市铺设天然气管道的固定成本为35万元，每年的管道维修费用为5万元.此外，该市若开通千户使用天然气用户，公司每年还需投入成本万元，且.通过市场调研，公司决定从每户天然气新用户征收开户费用2500元，且用户开通天然气后，公司每年平均从每户使用天然气的过程中获利360元.
（1）设该市2019年共发展使用天然气用户千户，求中昱公司这一年利润(万元)关于的函数关系式；
（2）在（1）条件下，当等于多少最大？且最大值为多少？
21. 2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95的水冲泡，等茶水温度降至60饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：
（1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的解析式.
（2）根据（1）中所求模型，
（i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）；
（ii）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．
（参考数据：）
22. 已知函数，．
（1）若的最小值为，求实数的值；
（2）当时，若，，都有成立，求实数的取值范围．
时间／分钟
0
1
2
3
4
5
水温／
95.00
88.00
81.70
76.03
70.93
66.33