河北省保定市部分高中2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份河北省保定市部分高中2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，在四面体中，，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知数列，按照这个规律，这个数列的第211项为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大，则的斜率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．12B．6C．8D．4
5．在四面体中，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为．从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（参考数据：取）（ ）
A．第6天B．第7天C．第8天D．第9天
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知分别是双曲线的左、右焦点，第二象限的点在上，则（ ）
A．的虚轴长为B．的焦距为
C．的渐近线方程为D．
10．如图，在每个空格中填入一个数字，使每一行方格中的数成等比数列，每一列方格中的数成等差数列，则
A．B．C．D．
11．若曲线与曲线有6个公共点，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知是抛物线的焦点，是上的一个动点，设到轴的距离为到点的距离为，则的最小值为___________．
13．已知两点分别在两条互相垂直的直线和上，且的中点为，则，直线的一般式方程为___________．
14．在正方体中，分别在棱上，，平面与棱交于点，则直线与所成角的余弦值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知圆被轴分成两段弧，弧长之比为．
（1）求；
（2）若动点到坐标原点的距离等于为圆上一动点，求的取值范围．
16．（15分）
在数列中，．
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若，求的前项和．
17．（15分）
如图，四棱锥的底面是平行四边形，是边长为2的正三角形，平面平面为棱的中点．
（1）证明：平面．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（17分）
已知正项数列的前项和为（为自然对数的底数），．
（1）证明：是等比数列．
（2）设，证明：．
19．（17分）
已知为抛物线上的两点，是边长为的等边三角形，其中为坐标原点．
（1）求的方程；
（2）过的焦点作圆的两条切线，且与分别交于点和，求的最小值．1
4
6
20
高二下学期开学检测考试
数学参考答案
1．B 由题意得该数列的一个通项公式为，则．
2．C 在方向上的投影向量为．
3．A 由得的倾斜角为，所以的倾斜角为，即的斜率为．
4．D 由题意得，则，即．
5．C 由题意得．
6．D 因为，所以点在圆内．易得，当时，取得最小值，且最小值为．
7．B 由题意得则，由，得，即，得．故的离心率的取值范围为．
8．C 由题意得甲、乙每天的生长速度均为等比数列，两个等比数列分别设为，其前项和分别设为，则．由，得，得或． （舍去），则，即．因为，所以的最小值为8．
9．BC 由题意得的虚轴长为，焦距为，渐近线方程为，．
10．ACD 由题意得，则．由，得，由，得，由
，得．因为，所以．
11．ACD 当时，，当时，，所以是由椭圆的上半部分与双曲线的下半部分组合而成的．过定点．如图，由得，由，得．由得，由，得．因为与有6个公共点，所以，由图可知，的取值范围为．
12． 由题意得的准线方程为，得，则．
13． 由题意得，得．设，由得即，则直线的方程为，即．
14． 以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，为1个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则，得．设，则．因为四点共面，所以可设，则得
所以直线与所成角的余弦值为．
15．解：（1）由题意得，
设圆与轴从左到右依次交于，由题意得，
则，
所以．
（2）由题意得的轨迹为圆，
易得，因为，所以圆与圆内含．
故，即的取值范围为．
16．解：（1）由，得，
所以是首项为，公差为3的等差数列．
故．
（2）由（1）得．
①，
则②，
①-②得，
则（或）．
17．（1）证明：，
，即．
平面平面，平面平面，
平面．
（2）解：如图，分别取的中点，连接．
平面．
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
．
设是平面的法向量，则，
令，得，则．
故直线与平面所成角的正弦值为．
18．证明：（1）当时，，得．
当时，，
得，得，即，则．
因为，所以是首项为5，公比为2的等比数列．
（2）由（1）可得，则，所以．
因为
所以．
19．解：（1）易知关于轴对称，连接，交轴于点（图略）．
不妨设，则，由题意得得
则，得．
故的方程为．
（2）由（1）得，易得的斜率均不为0，设．
由，得，同理可得，
则可以看作方程的两根，易得，
所以
设，
由得，易得，则
所以，
同理可得．
由，得，则得，
所以，
当，即时，取得最小值，且最小值为．