2023年上海市长宁区高三上学期高考一模数学试卷含详解

这是一份2023年上海市长宁区高三上学期高考一模数学试卷含详解，共21页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1 设全集，则=___________.
2. 不等式的解集为___________
3. 复数满足（其中i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点到原点O的距离为___________
4. 设向量，满足，则__________.
5. 如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有___________条.
6. 甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图所示，则在这7天中；
①甲城市日均气温的中位数与平均数相等
②甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定
③乙城市日均气温的极差为
④乙城市日均气温众数为
以上判断正确的是___________（写出所有正确判断的序号）
7. 有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担；现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有___________种不同的选法
8. 研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米地方测得的信息素浓度y满足，其中为非零常数；已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，则释放信息素4秒后，距释放处的___________米的位置，信息素浓度为.
9. 若，则三棱锥O—ABC的体积为___________.
10. 已知函数的图像向右平移个单位，可得到函数的图像，则 =___________.
11. 已知是圆柱的一条母线，AB是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上异于A，B的两点，若圆柱的侧面积为4π，则三棱锥—ABC外接球体积的最小值为___________
12. 已知，为椭圆：左右焦点，A为的上顶点，直线l经过点且与交于B，C两点；若l垂直平分线段，则△ABC的周长是___________.
二、选择题（13，14每小题4分，15，16每小题5分，共18分）
13. 若α为第四象限角，则（ ）
A. cs2α>0B. cs2α<0C. sin2α>0D. sin2α<0
14. 设)，则“函数图象经过点（-1，-1）”是“函数为奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
15. 掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为，事件B的概率为；则是下列哪个事件的概率（ ）
A. 两个点数都是偶数B. 至多有一个点数是偶数
C. 两个点数都是奇数D. 至多有一个点数是奇数
16. 函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（ ）
A. B.
C. D.
三、解答题（共78分）
17. 已知数列为等差数列,数列为等比数列,数列的公差为2;
（1）若,求数列的通项公式;
（2）设数列的前n项和为,若,求;
18. 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c；
（1）若△ABC的面积，求B；
（2）若，求；
19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，分别为棱的中点；
（1）求证：直线平面；
（2）求证：直线平面；
（3）若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小；
20. 已知抛物线的焦点为F，准线为l；
（1）若F为双曲线的一个焦点，求双曲线C的离心率e；
（2）设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程；
（3）经过点F且斜率为的直线l'与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由；
21. 已知函数的定义域为（0，+∞）；
（1）若；
①求曲线在点（1，0）处的切线方程；
②求函数的单调减区间和极小值；
（2）若对任意，函数在区间（a，b]上均无最小值，且对于任意，当时，都有，求证：当时，；
2023届 长宁区 一模
一、填空题（1—6每小题4分，每小题5分，共54分）
1. 设全集，则=___________.
【答案】
【分析】根据补集定义直接求解.
【详解】由题全集，所以，
故答案为：.
2. 不等式的解集为___________
【答案】
【分析】根据二次不等式的求解方法求解即可
【详解】因为，
所以不等式的解集为：，
故答案为：.
3. 复数满足（其中i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点到原点O的距离为___________
【答案】##
【分析】由已知，根据条件，先对已知进行化简，得到，然后直接求解复数z在复平面上所对应的点Z到原点O的距离即可.
【详解】由已知，，
所以，所以复数z在复平面上所对应的点Z为，
所以复数z在复平面上所对应的点Z到原点O的距离为：.
故答案为：.
4. 设向量，满足，则__________.
【答案】3
【分析】根据向量的数量积的运算律，即可求得答案.
【详解】由题意得，
故答案为：3
5. 如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有___________条.
【答案】3
【分析】利用异面直线的判定定理判断即可.
【详解】空间直线的位置关系有平行、相交、异面，即不平行也不相交则异面，
由图可知九条棱中，，，，，与相交，
没有直线与平行，
所以与直线是异面直线的共有3条，分别为，，，
故答案为：3
6. 甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图所示，则在这7天中；
①甲城市日均气温的中位数与平均数相等
②甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定
③乙城市日均气温的极差为
④乙城市日均气温的众数为
以上判断正确的是___________（写出所有正确判断的序号）
【答案】①④
【分析】根据图表得到气温数据，依次计算每个选项得到答案.
【详解】甲城市的气温分别为：；
乙城市的气温分别为：.
对选项①：甲城市气温的中位数为；平均数为，正确；
对选项②：根据折线图知乙城市的日均气更温稳，错误；
对选项③：乙城市日均气温的极差为，错误；
对选项④：乙城市日均气温众数为，正确.
故答案为：①④
7. 有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担；现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有___________种不同的选法
【答案】
【分析】根据分组分配办法结合分步乘法原理求解即可.
【详解】第一步，先从6人中任选2人承担任务甲，有种选法，
第二步，再从剩余4人中任选1人承担任务乙，有种选法，
第三步，再从3人中任选1人承担任务丙，有种选法，
所以共有种选法.
故答案为: .
8. 研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中为非零常数；已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，则释放信息素4秒后，距释放处的___________米的位置，信息素浓度为.
【答案】4
【分析】根据函数关系式将已知数据代入求解即可.
【详解】因为释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，
所以，所以，即
当时，，
整理得即，
所以，因为，所以.
故答案为:4.
9. 若，则三棱锥O—ABC的体积为___________.
【答案】
【分析】根据空间向量的坐标运算，求得棱锥底面积和高，结合棱锥的体积计算公式，即可求得结果.
【详解】根据已知可得：，即，
又，
故△的面积；
不妨取平面的一个法向量，
则点到平面的距离，
故三棱锥O—ABC的体积.
故答案为：.
10. 已知函数的图像向右平移个单位，可得到函数的图像，则 =___________.
【答案】
【分析】根据平移后的解析式利用三角恒等变换确定，分别说明与时，根据平移后的解析式结合，即可求得的值.
【详解】解：函数的图像向右平移个单位得到函数，即函数
又函数，
所以，则.
当时，，
则，所以，又，所以；
当时，，
则，所以，又，所以无解；
综上，.
故答案为：.
11. 已知是圆柱的一条母线，AB是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上异于A，B的两点，若圆柱的侧面积为4π，则三棱锥—ABC外接球体积的最小值为___________
【答案】
【分析】首先根据题意建立、的关系式，再结合基本不等式即可求解最小值.
【详解】根据题意作图如下：
设底面圆半径为，圆柱高设为，则根据圆柱的侧面积为4π，可得，解得.因为以及均为直角三角形，根据三棱锥—ABC外接球的性质可知，的中点即为球心.则，则，所以外接球的半径.三棱锥—ABC外接球体积为，所以要外接球体积最小，只需要最小即可，又不等式可知，当且仅当时，即时成立.故三棱锥—ABC外接球体积的最小值为.
故答案为：.
12. 已知，为椭圆：的左右焦点，A为的上顶点，直线l经过点且与交于B，C两点；若l垂直平分线段，则△ABC的周长是___________.
【答案】##.
【分析】如图，连接，则可得，所以△ABC的周长为，再求出，即可求得结果.
【详解】如图，连接，
因为l垂直平分线段，
所以，
所以△ABC的周长为，
由题意得，则
的中点为，，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
因为直线过，
所以，解得，
所以，
所以△ABC的周长为，
故答案为：.
二、选择题（13，14每小题4分，15，16每小题5分，共18分）
13. 若α第四象限角，则（ ）
A. cs2α>0B. cs2α<0C. sin2α>0D. sin2α<0
【答案】D
【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
【详解】方法一：由α为第四象限角，可得，
所以
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以
故选：D.
方法二：当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14. 设)，则“函数的图象经过点（-1，-1）”是“函数为奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由图象过点解得a的值的集合，再由奇函数解得a的值的集合，由两个集合相等确定充要条件关系.
【详解】∵的图象经过点，，
∴
又∵
∴
∵为奇函数，
∴
∴ “图象经过点”是“为奇函数”的充要条件.
故选：C.
15. 掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为，事件B的概率为；则是下列哪个事件的概率（ ）
A. 两个点数都是偶数B. 至多有一个点数是偶数
C. 两个点数都是奇数D. 至多有一个点数是奇数
【答案】D
【分析】由题意，根据交事件的运算，结合概率与事件的关系，可得答案.
【详解】由题意，事件为：两个点数都为奇数，
由概率指的是事件的对立事件的概率，
则事件的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数.
故选：D.
16. 函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据函数的单调性和与轴的交点结合指数函数的性质可求解.
【详解】若，为增函数，
且，与图象不符，
若，为减函数，
且，与图象相符，所以，
当时，，
结合图象可知，此时，所，则，所以，
故选:C.
三、解答题（共78分）
17. 已知数列为等差数列,数列为等比数列,数列的公差为2;
（1）若,求数列通项公式;
（2）设数列的前n项和为,若,求;
【答案】（1）
（2）
【分析】(1)根据,数列性质及的公差为2,写出之间的关系,再用代替即可求出通项公式;
(2)根据为等差数列且公差为2,将两式中均变为关于首项和的等式,进而解出首项即可.
【小问1详解】
解:由题知,
为等比数列,不妨设公比为,
又数列的公差为2,
,
即,
解得,
故;
【小问2详解】
由题知数列为等差数列,且公差为2,
,
解得:,
故.
18. 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c；
（1）若△ABC的面积，求B；
（2）若，求；
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理，通过化简整理可求出，即可求出角的值；
（2）首先由根据正弦定理得，利用角的余弦定理得，最后联立方程组，解方程组即可求出的值.
【小问1详解】
已知，化简得，
即得，又，故.
【小问2详解】
已知，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
由，得，即，
由，解得.
故得.
19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，分别为棱的中点；
（1）求证：直线平面；
（2）求证：直线平面；
（3）若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小；
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【分析】（1）根据中位线定理得，再由线面平行的判定定理可得答案；
（2）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理可得答案；
（3）根据平面可得为二面角的平面角，为直线与平面所成的角，，由平面，为直线与平面所成的角，，设，在直角三角形中计算边长可得答案.
【小问1详解】
因为分别为棱的中点，所以，
因为平面，平面，
所以直线平面；
【小问2详解】
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，平面，所以，
又，，平面，所以直线平面；
【小问3详解】
由（2）知，平面，平面，平面，
所以，即为二面角的平面角，
因为平面，所以为直线与平面所成的角，
即，即，
由（2）知平面，为直线与平面所成的角，
即，即，
设，所以，，
得，所以，
所以二面角的平面角为.
20. 已知抛物线的焦点为F，准线为l；
（1）若F为双曲线的一个焦点，求双曲线C的离心率e；
（2）设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程；
（3）经过点F且斜率为的直线l'与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由；
【答案】（1）
（2）
（3）以线段MN为直径的圆C过定点，理由见详解
【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求双曲线的，即可得离心率；（2）根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程；（3）设直线l'的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点.
【小问1详解】
抛物线的焦点为，准线为，
双曲线的方程为双曲线，即，则，
由题意可知：，则，
故双曲线C的离心率.
【小问2详解】
由（1）可知：，
过点P作直线的垂线，垂足为M，则，
∵，且，
∴，
故直线EP的倾斜角，斜率，
∴直线EP的方程为，即.
【小问3详解】
以线段MN为直径的圆C过定点，理由如下：
设直线，
联立方程，消去y可得：，
则可得：，
∵直线，当时，，
∴，
同理可得：，
∵
，
，
则线段MN为直径的圆C的圆心，半径，
故圆C的方程为，整理得，
令，则，解得或，
故以线段MN为直径的圆C过定点.
【点睛】思路点睛：
过定点问题的两大类型及解法：
(1)动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
(2)动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
21. 已知函数的定义域为（0，+∞）；
（1）若；
①求曲线在点（1，0）处的切线方程；
②求函数的单调减区间和极小值；
（2）若对任意，函数在区间（a，b]上均无最小值，且对于任意，当时，都有，求证：当时，；
【答案】（1）①；②
（2）见详解
【分析】（1）①导数几何意义求解；②求导判断单调性求解.
（2）首先证明对于任意,；其次证明当且时，；当且时，；最后证明：当时，
【小问1详解】
①因为，设切线的斜率为，根据导数几何意义得
由点斜式方程得切线方程为：，即切线方程为：.
②函数，
由上表可得：在上单调递增，在上单调递减；的极小值为.
【小问2详解】
首先证明对于任意,
当时，由可知
介于和之间.
若，则在区间存在最小值，与函数在区间（a，b]上均无最小值矛盾.
利用归纳法和上面结论可得：对于任意，,当时，.
其次证明当且时，；当且时，
任取，设正整数满足，则
若存在使得，则，
即.由于当时，，所以在区间有最小值，与函数在区间（a，b]上均无最小值矛盾.
类似可证，当且时，.
最后证明：当时，.
当时，成立.当时，由可知，
存在使得，所以.
当时，有：
若，则,
所以在上存在最小值，故不成立.
若，则
假设，则在上存在最小值，故假设不成立.
所以当时，对于任意的都成立.
又，故当
所以，即.
所以当时，则存在正整数使得,
则所以当时，，
同理可证得当时，.
所以当时，必然存在正整数，使得
,所以；
所以综上所述：当当时，.
极大值
极小值