2023年上海市杨浦区高三上学期高考一模数学试卷含详解

这是一份2023年上海市杨浦区高三上学期高考一模数学试卷含详解，共18页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若“”，则“”________命题．（填：真、假）
2. 设集合，集合，则________．
3. 方程的解是________．
4. 若，，则________.
5. 设i是虚数单位，则复数的虚部是________．
6. 向量在向量方向上的投影为_______．
7. 一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为____________
8. 已知双曲线的渐近线方程为y=±，则此双曲线的离心率为________.
9. 若正数x，y满足，则的最小值为________．
10. 已知（n是正整数），，则________．
11. 等差数列的公差，其前n项和为，若，则中不同的数值有________个．
12. 已知，若方程与均恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是________．
二、选择题
13. 某校高一共有10个班，编号为01，02，…，10，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，设高一（5）班被抽到的可能性为a，高一（6）班被抽到的可能性为b，则（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
14. 对于平面和两条直线，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若与所成的角相等，则
C. 若，，则D. 若，，n在平面α外，则
15. 在中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
16. 已知定义在R上的函数对任意，都有成立且满足（其中a为常数），关于x的方程：的解的情况．下面判断正确的是（ ）
A. 存在常数a，使得该方程无实数解B. 对任意常数a，方程均有且仅有1解
C. 存在常数a，使得该方程有无数解D. 对任意常数a，方程解的个数大于2
三、解答题
17. 在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c、满足．
（1）求角B的大小；
（2）若，求面积的最大值．
18. 如图所示圆锥中，为底面的直径．分别为母线与的中点，点是底面圆周上一点，若，，圆锥的高为．
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求证：与是异面直线，并求其所成角的大小
19. 企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成．生产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为I（x）万元．两者满足关系：
（1）甲企业独家经营，其研发成本为60万元．求甲企业能获得利润的最大值；
（2）乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大；（假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变）
（3）由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期的最大收益、因此会作相应调整，之后乙企业也会随之作出调整，最终双方达到动态平衡（在对方当前产量不变的情况下，已方达到利润最大）求动态平衡时，两企业各自的产量和利润分别是多少．
20. 已知曲线E：的左右焦点为，，P是曲线E上一动点
（1）求的周长；
（2）过的直线与曲线E交于AB两点，且，求直线AB的斜率；
（3）若存在过点的两条直线和与曲线E都只有一个公共点，且，求h的值.
21. 已知函数，其中为正整数，且为常数．
（1）求函数的单调增区间；
（2）若对于任意，函数，在内均存在唯一零点，求a的取值范围；
（3）设是函数大于0的零点，其构成数列．问：是否存在实数a使得中的部分项：，，，（其中时，）构成一个无穷等比数列若存在；求出a；若不存在请说明理由．
2023届杨浦区高考数学一模
一、填空题
1. 若“”，则“”是________命题．（填：真、假）
【答案】真
【分析】根据函数的单调性即可得出结论.
【详解】函数在是单调增函数，
∴当，一定有，故是真命题.
故答案为：真．
【点睛】本题考查命题真假的判定，属于基础题.
2. 设集合，集合，则________．
【答案】
【分析】求出集合，再求交集可得答案.
【详解】集合，则.
故答案为：.
3. 方程的解是________．
【答案】
【分析】根据对数真数大于零和对数函数的单调性可直接构造不等式组求得结果.
【详解】由得：，
即，解得：.
故答案为：.
4. 若，，则________.
【答案】或.
【分析】根据的值以及的范围，利用特殊角的三角函数值，即可求出的度数.
【详解】，且 或
故答案为：或
【点睛】此题考查已知函数值求角的问题，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键.
5. 设i是虚数单位，则复数的虚部是________．
【答案】2
【分析】根据复数的乘法运算即可得复数，即可得的虚部.
【详解】解：复数，所以复数的虚部为.
故答案为：.
6. 向量在向量方向上的投影为_______．
【答案】3
【详解】试题分析：由数量积的定义，所以
考点：向量的数量积．
7. 一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为____________
【答案】12
【分析】由题意知运动员男女比例为4:3，所以抽取容量为21的样本，样本比例也为4:3，从而求得结果.
【详解】由题意知运动员男女比例为4:3，所以抽取容量为21的样本，样本比例也为4:3，所以抽取男运动员的人数为.
【点睛】本题考查简单随机抽样分层抽样，属于基础题.
8. 已知双曲线的渐近线方程为y=±，则此双曲线的离心率为________.
【答案】或．
【详解】此题考查双曲线的离心率
解：因为双曲线的渐近线方程为，所以或，故.
所以离心率.
答案：
9. 若正数x，y满足，则的最小值为________．
【答案】##
【分析】先将变形为，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】因为，，所以，
则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
10. 已知（n是正整数），，则________．
【答案】243
【分析】根据列式即可求出，观察原式特点，取，右侧关于的系数全为1，从而两边取进而得解.
【详解】因为，
所以，
解得，.
令得，
，
故，
故答案为：243.
11. 等差数列的公差，其前n项和为，若，则中不同的数值有________个．
【答案】2018
【分析】等差数列前n项和为二次函数，根据其图像性质，求出对称轴，即可求出相同数值的个数，进而求得不同数值的个数.
【详解】解：已知等差数列的公差，其前n项和为，
是关于n的二次函数，若，则对称轴为，
，，，，有四组数相同，
则中不同的数值有个，
故答案为：2018.
12. 已知，若方程与均恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【分析】由题知恰有两个不同的实数根，记为（不妨设），进而得，，再根据均恰有两个不同的实根得，进而解不等式即可得答案.
【详解】解：因为恰有两个不同的实数根，记为（不妨设），
所以，令，
即
所以，，，
因为均恰有两个不同的实根，
所以和中共有两个不相等的实数根，
当时，即，
整理得①，
当时，即，
整理得②
由
所以，①②没有公共实数根，
因为
所以方程①无实数根，②有两个实数根，
所以，
不等式，
故当，不等式显然成立，
当时，，解得
所以，的解集为；
不等式，
故当时，，不等式恒成立，
当时，，解得，
所以，的解集为，
所以，的解集为
故答案为：
二、选择题
13. 某校高一共有10个班，编号为01，02，…，10，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，设高一（5）班被抽到的可能性为a，高一（6）班被抽到的可能性为b，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【分析】根据简单随机抽样的定义，分析即可得答案.
【详解】由简单随机抽样的定义，知每个个体被抽到的可能性相等，故高一（5）班和高一（6）班被抽到的可能性均为.
故选：C
14. 对于平面和两条直线，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若与所成的角相等，则
C. 若，，则D. 若，，n在平面α外，则
【答案】D
【分析】根据空间线、面的位置关系即可判断A,B,C,利用线面平行的判定定理可判断D.
【详解】对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若与所成的角相等，则相交、平行或异面，故B错误；
对于C，若，，则相交、平行或异面，故C错误；
对于D，若，，n在平面α外，则由线面平行的判定定理得，
故D正确.
故选:D.
15. 在中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先解三角不等式，再结合充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】在中，由得：或，而，则，因此得，
于是得，是钝角三角形，
当是钝角三角形时，取钝角，，
即是钝角三角形不能推出，
所以“”是“是钝角三角形”的充分而不必要条件.
故选：A
16. 已知定义在R上的函数对任意，都有成立且满足（其中a为常数），关于x的方程：的解的情况．下面判断正确的是（ ）
A. 存常数a，使得该方程无实数解B. 对任意常数a，方程均有且仅有1解
C. 存在常数a，使得该方程有无数解D. 对任意常数a，方程解的个数大于2
【答案】B
【分析】将方程的解的情况转化为零点的情况，然后根据得到，根据，得到，然后利用定义法得到在R上单调递增，即可得到对任意常数，方程只有一个解.
【详解】令，则方程的解的情况可以转化为零点的情况，
因为，所以，
因为，所以，则，
令，，因为，所以，
，即，
所以在R上单调递增，又，所以对任意常数，只有一个零点，即方程只有一个解.
故选：B.
三、解答题
17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、满足．
（1）求角B的大小；
（2）若，求的面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用余弦定理求即可；
（2）利用基本不等式得到，然后利用三角形面积公式求面积的最大值即可.
【小问1详解】
因为，
由余弦定理得，又，所以.
【小问2详解】
因为，
由（1）得，当且仅当时取等号，
所以，
面积
所以三角形面积的最大值为．
18. 如图所示圆锥中，为底面的直径．分别为母线与的中点，点是底面圆周上一点，若，，圆锥的高为．
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求证：与是异面直线，并求其所成角的大小
【答案】（1）
（2）证明见解析；
【小问1详解】
设圆锥底面半径为，母线长为,
因为为直径，是的中位线，
所以，
，
所以侧面积.
小问2详解】
因为在平面且不共线，在平面外 所以与是异面直线，
连接，由分别为的中点，得，
所以：为异面直线与所成的角或其补角，
在中，，，
取中点为，连接,
，，，
在中，，
所以异面直线与所成角大小为.
19. 企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成．生产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为I（x）万元．两者满足关系：
（1）甲企业独家经营，其研发成本为60万元．求甲企业能获得利润的最大值；
（2）乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．问：乙企业产量多少万台时获得利润最大；（假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变）
（3）由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期的最大收益、因此会作相应调整，之后乙企业也会随之作出调整，最终双方达到动态平衡（在对方当前产量不变的情况下，已方达到利润最大）求动态平衡时，两企业各自的产量和利润分别是多少．
【答案】（1）1965万元
（2）22.5万台 （3）甲企业产量30万台，乙企业产量30万台；利润分别为甲企业840万元，乙企业860万元
【分析】根据利润等于销售收入减去成本即可得到函数关系式，用二次函数求最值的方法即可得到.
【小问1详解】
设利润为
当时
所以，产量为45万台时，甲企业获利最大为1965万元．
【小问2详解】
设乙企业产量为x万台，此时甲依旧按照45万台产量生产对于乙企业，每万台产品的销售收入为
所以乙企业产量为22.5万台，获得利润最大．
【小问3详解】
假设达到动态平衡时，甲企业产量a万台，乙企业产量b万台．
甲企业：
当时利润最大
乙企业
当时利润最大．
联立，解得时达到动态平衡．
此时利润分别为：甲企业840万元，乙企业860万元．
20. 已知曲线E：的左右焦点为，，P是曲线E上一动点
（1）求的周长；
（2）过的直线与曲线E交于AB两点，且，求直线AB的斜率；
（3）若存在过点的两条直线和与曲线E都只有一个公共点，且，求h的值.
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【分析】（1）先由曲线E的标准方程求得，再利用椭圆的定义即可得解；
（2）由题意设直线AB：，联立方程，结合韦达定理得到，再由得到，从而求得的值，由此可得直线AB的斜率；
（3）根据题意设直线：，联立方程，结合判别式得到，分类讨论两条直线和与椭圆的位置情况，由即可求得h的值.
【小问1详解】
因为曲线E：，
所以，则，
所以，，
故的周长为.
【小问2详解】
依题意，知直线AB斜率存在且不为，设直线AB：，
联立，消去，得，
由韦达定理得：，，
因为，，所以，则，
从而有，
消去，得，即，
所以直线AB斜率为.
【小问3详解】
依题意，知过点的直线斜率存在，设该直线：，，
联立，消去，得，
若直线或为切线，则，解得，
注意到该曲线，即该曲线没有左右顶点，所以有三种情况：
情况1：两条直线均是切线，
因为，所以，即，解得，所以；
情况2：两条直线分别过椭圆左右顶点，
由对称性可知，又，所以，
此时，解得，所以；
情况3：其中一条直线是切线，另一条过椭圆的左（或右）顶点，
不妨设直线为切线时斜率为正，即，则，
因为，所以，解得，所以；
综上：符合条件的h的值为或或．
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.
21. 已知函数，其中为正整数，且为常数．
（1）求函数的单调增区间；
（2）若对于任意，函数，在内均存在唯一零点，求a的取值范围；
（3）设是函数大于0的零点，其构成数列．问：是否存在实数a使得中的部分项：，，，（其中时，）构成一个无穷等比数列若存在；求出a；若不存在请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在；
【分析】（1）由题知，再根据导数求解即可得答案；
（2）由题知，函数在上单调递增，进而转化为，再解不等式得对一切成立，进而得；
（3）根据得，再证明时是恒为1的常数列，符合题意，和时不满足题意即可.
【小问1详解】
解：由题知，
所以，令得，
所以函数的单调增区间为．
【小问2详解】
解：当时，恒成立，
所以，函数在上单调递增，
所以函数在内均存在唯一零点只需即可，
即
因为为正整数，，
所以对一切成立
因为当时，，当且仅当时等号成立，
所以．
【小问3详解】
解：由于得，下面证明时满足题意.
① ，则．
则．
由（2），是上的严格增函数，
所以．
所以，是恒为1的常数列，符合题意．
② ．
，
由于是上的严格增函数，所以．
，
由于是上的严格增函数，
所以．
所以，是严格增数列，那么无穷等比数列也为严格增数列．
所以，．
当时，．但这与矛盾
故不符合题意．
③时，，
由于是上的严格增函数，所以．
，
由于是上的严格增函数，
所以．
所以，是严格减数列，那么无穷等比数列也为严格减数列．
所以，．
当时，．但这与矛盾
故不符合题意．
综上，使数列部分项可以构成等比数列的充要条件是：．
【点睛】关键点点睛：本题第3问解题的关键在于根据得，进而分，，分别说明时成立，其他范围不成立即可.