2023年上海市宝山区高三上学期高考一模数学试卷含详解

这是一份2023年上海市宝山区高三上学期高考一模数学试卷含详解，共21页。试卷主要包含了12， 设复数，则______等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1 集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B=_____．
2. 函数的定义域是______.
3. 设复数（其中i为虚数单位），则______.
4. 当时，的最小值为______．
5. 若函数y = ax(a＞0，a≠1)在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为12，则实数a = _________
6. 两个篮球运动员罚球时命中概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，则他们同时命中的概率是______.
7. 将圆锥侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为_________.
8. 已知平面向量、满足，，则在方向上的数量投影的最小值是______.
9. 从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种.（结果用数值表示）
10. 双曲线C的左、右焦点分别为、，点A在y轴上.双曲线C与线段交于点P，与线段交于点Q，直线平行于双曲线C的渐近线，且，则双曲线C的离心率为______.
11. 某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面面积达到最大.
12. 对于正整数n，设是关于x的方程的实数根，记，其中表示不超过x的最大整数，则______.
二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）
13. 已知a，b都是自然数，则“是偶数”是“a，b都是偶数”的（ ）条件
A. 充分而不必要B. 必要而不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
14. 某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（ ）人.
A. 16B. 18C. 20D. 24
15. 设，且，则（ ）
A －1B. C. 1D.
16. 已知O为坐标原点，点在抛物线C：上，过点的直线交抛物线C于P、Q两点：①抛物线C的准线为；②直线AB与抛物线C相切；③；④，以上结论中正确的是（ ）
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
三、解答题（本大题共5题，满分76分）
17. 已知函数，.
（1）求函数的单调增区间；
（2）在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，当，，且三角形ABC的面积为时，求a.
18. 已知数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列通项公式；
（3）写出的具体展开式，并求其值.
19. 如图，棱长为2的正方体中，M、N、P分别是、、的中点.
（1）证明：M、N、、B四点共面；
（2）求异面直线与MN所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（3）求三棱锥的体积.
20. 已知椭圆C：，，，，这四点中恰有三点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点E是椭圆C上的一个动点，求面积的最大值；
（3）过的直线l交椭圆C于A、B两点，设直线l的斜率，在x轴上是否存在一点，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
21. 已知函数，.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围；
（3）记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围.
2023届宝山区高三一模数学试卷
2022.12
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B=_____．
【答案】{2}
【解析】
【分析】直接利用交集的定义求解．
【详解】解：∵A={1，2}，B={2，3}，
∴A∩B={1，2}∩{2，3}={2}．
故答案为：{2}．
2. 函数的定义域是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知，可得，解出不等式即可得到结果.
【详解】要使函数有意义，则应满足，即
该不等式等价于，解得.
所以，函数的定义域是.
故答案为：.
3. 设复数（其中i为虚数单位），则______.
【答案】
【解析】
【分析】化简，根据复数模的运算即可求得结果.
【详解】因为，所以.
故答案为：.
4. 当时，的最小值为______．
【答案】5
【解析】
【分析】将所求代数式变形为，利用基本不等式即可求解.
【详解】解：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
5. 若函数y = ax(a＞0，a≠1)在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为12，则实数a = _________
【答案】3
【解析】
【分析】由指数函数是单调函数，代入端点计算最值之和，即可求解.
【详解】函数y = ax(a＞0，a≠1)为单调函数，
所以在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为.
解得或-4（舍）.
答案为：3.
6. 两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，则他们同时命中的概率是______.
【答案】0.3
【解析】
【分析】根据独立事件概率的乘法公式，即可求得结果.
【详解】记“第一个篮球运动员罚球一次，命中”为事件，“第二个篮球运动员罚球一次，命中”为事件，
则，，事件和相互独立.
则“两人各投一次，则他们同时命中”可用事件来表示，.
故答案为：0.3.
7. 将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为_________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可.
【详解】解：设圆锥的底面半径为，则，∴.
∴圆锥的高，
∴圆锥的体积.
故答案为：.
8. 已知平面向量、满足，，则在方向上的数量投影的最小值是______.
【答案】2
【解析】
【分析】先求出的范围，根据即可求得结果.
【详解】因为在方向上的数量投影为，
所以当最小时，数量投影取得最小值.
设，则.
因为，则当时，有最小值6.
所以，在方向上的数量投影的最小值是.
故答案为：2.
9. 从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种.（结果用数值表示）
【答案】96
【解析】
【分析】若甲不参与测温，可先在其他４人中先选取一人进行测温工作，再从４人中选取３人参与其他工作.
【详解】从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有种.
故答案为：96
10. 双曲线C的左、右焦点分别为、，点A在y轴上.双曲线C与线段交于点P，与线段交于点Q，直线平行于双曲线C的渐近线，且，则双曲线C的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的对称性，可得与轴平行.双曲线的渐近线方程为，可得出.根据，可得，代入相关数值，可得，进而得出离心率.
【详解】
如图，交轴于.根据双曲线的对称性，知与轴平行，且.
设，则，，所以.
双曲线渐近线方程为.，由已知直线斜率为，
则直线的方程为，则，.
因为，所以有，即，
整理可得，，则，则，
所以有，所以.
故答案：.
11. 某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面面积达到最大.
【答案】##
【解析】
【分析】遮阴影面面积达到最大即是点到的距离最大，根据正弦定理表示出点到的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系．
【详解】如图，过点C作交AB于D，连接，由题可知
因此就是遮阳篷ABC与地面所成的角，因为，所以求遮阴影面面积最大，即是求最大，其中已知，
设，，根据正弦定理
当时遮阴影面面积最大，此时
故答案为：
12. 对于正整数n，设是关于x的方程的实数根，记，其中表示不超过x的最大整数，则______.
【答案】2021
【解析】
【分析】根据导数可得为单调递增函数，根据零点存在性定理找到的取值范围，代入即可得出通项公式，求出答案.
【详解】设，则，当时，因此为单调递增函数，
又因当时，
且，所以当时，方程有唯一的实数根，且，所以，，
因此
故答案为：2021
二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）
13. 已知a，b都是自然数，则“是偶数”是“a，b都是偶数”的（ ）条件
A. 充分而不必要B. 必要而不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】举出特例，即可说明充分条件不成立，必要条件显然成立，即可得到答案.
【详解】令，，则是偶数，而都是奇数；
若a，b都是偶数，显然是偶数.
所以，“是偶数”是“a，b都是偶数”的必要而不充分条件.
故选：B.
14. 某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（ ）人.
A. 16B. 18C. 20D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可求得抽样比为，再求出高三的学生数，即可求出结果.
【详解】设高一学生数为，则高二学生数为，高三学生数为.
所以，该高中共有学生数为，解得.
用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，抽样比为，
所以，高三年级应该抽取人.
故选：A.
15. 设，且，则（ ）
A. －1B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求出，则可以得到，
，进而可得的值.
【详解】，故，
得，得到，
，
所以，，
得，，，，
则
故选：C
16. 已知O为坐标原点，点在抛物线C：上，过点的直线交抛物线C于P、Q两点：①抛物线C的准线为；②直线AB与抛物线C相切；③；④，以上结论中正确的是（ ）
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求出抛物线C方程，再假设出直线AB的直线方程，联立方程和利用韦达定理即可判断得出答案．
【详解】将点代入抛物线方程，可得，故抛物线C的准线为，①错误；
抛物线C方程为，令，，抛物线在A点处切线斜率与直线AB斜率相同，因此直线AB与抛物线C相切，②正确；
由题可知，直线PQ斜率存在，所以设直线PQ方程为，交点，，联立方程，整理可得：
，且，
因为，所以，③正确；
因为，所以
，所以，④错误
故选：B．
三、解答题（本大题共5题，满分76分）
17. 已知函数，.
（1）求函数的单调增区间；
（2）在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，当，，且三角形ABC的面积为时，求a.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知可得，根据正弦函数的单调性，即可求出结果；
（2）先解出，根据面积公式可求得，根据余弦定理，即可求解.
【小问1详解】
由题意可得，.
由，可得，
，.
所以，函数的单调增区间为.
【小问2详解】
由（1）知，.
因为，所以，，则，，
又锐角，所以，，解得，则.
又，，则，所以，.
根据余弦定理可得，，所以.
18. 已知数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）写出的具体展开式，并求其值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用构造法，得到，可证明是等比数列；
（2）根据等比数列的通项公式，求出，进而可求的通项公式；
（3）直接写出的具体展开式，根据，利用等比数列的前项和公式，直接计算可得答案.
【小问1详解】
，等式两边同时加上2，
得，又，
则为首项是3，公比的等比数列
【小问2详解】
由（1）得，为首项是3，公比的等比数列，
，故.
【小问3详解】
19. 如图，棱长为2的正方体中，M、N、P分别是、、的中点.
（1）证明：M、N、、B四点共面；
（2）求异面直线与MN所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（3）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见详解；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由已知可证明和，即可证明，进而得出结果；
（2），所以即等于异面直线与MN所成角，在中，求出各边长，用余弦定理即可求出；
（3）根据已知可得，四边形为梯形，，则，根据等体积法可知，求出，即可解出.
【小问1详解】
证明：
如图1，连结、、.
由已知可得，，，所以四边形为平行四边形，则.
又M、N分别是、的中点，所以，且，
所以，且.
所以M、N、、B四点共面.
【小问2详解】
如图2，连结、、.
因为平面，平面，所以.
因为，是的中点，所以.
又，所以.同理.
在中，.又，
在中，有，，，
由余弦定理可得，.
又，所以异面直线与所成角的大小即等于直线与所成角的大小，即等于.
【小问3详解】
如图3，，
因为，且，且M、N、、B四点共面，
所以四边形为梯形，设梯形高为，则，，
所以.
设到平面即到平面的距离为，
则，，则，且.
因为平面，平面，，
所以到平面的距离等于线段到平面的距离.
又，所以，
所以，.
20. 已知椭圆C：，，，，这四点中恰有三点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点E是椭圆C上的一个动点，求面积的最大值；
（3）过的直线l交椭圆C于A、B两点，设直线l的斜率，在x轴上是否存在一点，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）观察可知，都在椭圆上，即满足椭圆方程，若在椭圆上，代入方程，联立解得，舍去；因此三点在椭圆上，即可解出椭圆的方程；
（2）要使面积最大，则应有点E到直线的距离最大.当过点的直线与平行，且与椭圆相切时，取得最大或最小值，联立方程即可求得；
（3）写出直线的方程为，与椭圆方程联立，可得，根据韦达定理求出的中点坐标以及线段的垂直平分线的方程，代入，即可求得的值.根据基本不等式，可求出实数m的取值范围.
【小问1详解】
因为，关于轴对称，根据题意以及椭圆的对称性可知，两点都在椭圆上，即有成立.
若在椭圆上，则有.
联立可得，，不合题意，舍去.
所以，在椭圆上，即有，所以，代入，可得.
所以，椭圆C的方程为.
【小问2详解】
要使面积最大，则应有点E到直线的距离最大.
由，，可得直线方程为.
过点作直线，使得，则到直线距离即等于直线到直线的距离.
显然，当直线与椭圆相切时，距离为最大或最小.
则设直线方程为，联立直线与椭圆的方程
可得，.
因为，直线与椭圆相切，则，
解得，.
则当时，此时直线方程为，与直线距离最大，此时.
又，
所以面积的最大值为.
【小问3详解】
设，，假设在x轴上存在一点，使得、为邻边的平行四边形为菱形.
因为直线过点，则直线的方程为，
联立直线的方程与椭圆的方程可得，，
恒成立，
且，，，，
所以，
则的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为，
显然该直线过点.
令，则，即.
因为，所以，
当且仅当时，即时，等号成立.
所以，，所以，则，
所以.即实数m的取值范围为.
21. 已知函数，.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围；
（3）记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）时，为偶函数；时，为非奇非偶函数
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质以及奇偶函数的定义，即可判断；
（2）根据极值，求出，得到，利用导数的性质，判断有3个不同的实根时，的取值范围；
（3）根据的单调性，问题转化为，整理得，，分别判断函数和函数在上的单调性，根据不等式恒成立的性质，分离参数，即可求出的取值范围.
【小问1详解】
，因为的对称轴为，故当时，的对称轴为轴，此时为偶函数；时，为非奇非偶函数.
【小问2详解】
在处有极值，因为，则，故，得；
，此时，，
故和上，单调递增，上，单调递减，
因为关于x方程有3个不同的实根，根据导数的性质，当时，满足题意，得，故
【小问3详解】
，单调递减，对任意、且时，
，，
则对任意、且时，均有成立，
转化为，对任意、且时，均有成立，即
，
所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增，
①函数在上单调递减，即在上恒成立，
又因为，，，故，
得在上恒成立，令，，令，得，所以，在上单调递增，在上单调递减，故，故；
②函数在上单调递增，即在上恒成立，
又因为，，，故，得
在上恒成立，因为函数在上为单调递增函数，故，此时，；
综上所述，实数的取值范围为：.