专题24.2 圆的有关性质（圆周角之七大考点）-九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

这是一份专题24.2 圆的有关性质（圆周角之七大考点）-九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版），文件包含专题242圆的有关性质--圆周角之七大考点原卷版docx、专题242圆的有关性质--圆周角之七大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc31748" 【典型例题】 PAGEREF _Tc31748 \h 1
\l "_Tc31677" 【考点一 圆周角的概念辨析】 PAGEREF _Tc31677 \h 1
\l "_Tc9046" 【考点二 圆周角定理】 PAGEREF _Tc9046 \h 3
\l "_Tc1776" 【考点三 同弧或等弧所对的圆周角相等】 PAGEREF _Tc1776 \h 5
\l "_Tc8419" 【考点四 半圆(直径)所对的圆周角是直角】 PAGEREF _Tc8419 \h 8
\l "_Tc18673" 【考点五 90°的圆周角所对的弦是直径】 PAGEREF _Tc18673 \h 11
\l "_Tc25221" 【考点六 已知圆内接四边形求角度】 PAGEREF _Tc25221 \h 13
\l "_Tc17985" 【考点七 求四边形外接圆的直径】 PAGEREF _Tc17985 \h 15
\l "_Tc6294" 【过关检测】 PAGEREF _Tc6294 \h 19
【典型例题】
【考点一 圆周角的概念辨析】
例题：（2023秋·广西河池·九年级统考期末）下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆周角的定义判断即可．
【详解】解：选项A和选项B中的角的顶点没有在圆上，选项D中的角的一边没有与圆相交，均不是圆周角，
选项C中的角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交，是圆周角．
故选C．
【点睛】本题考查圆周角的识别，解题的关键是掌握圆周角的定义，即：角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角．
【变式训练】
1．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）下列图形中，是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案．
【详解】解：根据圆周角定义：可得是圆周角的有：B，不是圆周角的有：A，C，D．
故选B．
【点睛】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列四个图形的角是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．即可求得答案．
【详解】解：A、图中的角是圆周角，故本选项符合题意；
B、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；
C、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；
D、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角的定义，能熟记圆周角定义的内容是解此题的关键．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的直径，为圆内一点，则下列说法中正确的是（ ）
A．是的弦B．是圆心角
C．是圆周角D．
【答案】B
【分析】根据弦、圆心角、圆周角的概念可直接进行排除选项．
【详解】解：A、点C不在上，所以AC不是的弦，故错误，不符合题意；
B、因为点O是圆心，所以∠BOC是圆心角，故正确，符合题意；
C、点C不在上，所以∠C不是圆周角，故错误，故不符合题意；
D、当点C在圆上时，则OC=OA=OB，若成立，则AC+OC＜OA+OB，
∴AC＜OA，与题干矛盾，
∴D选项错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查弦、圆心角、圆周角的概念，熟练掌握弦、圆心角、圆周角的概念是解题的关键．
【考点二 圆周角定理】
例题：（2023·广东梅州·校考一模）如图，是上的三个点，，则度数是 ．

【答案】
【分析】由圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则 ．
【答案】20
【分析】连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，再由结合等腰三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：连接，如图，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质，是解题的关键．
2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 ．
【答案】1
【分析】连接，利用圆周角定理及垂径定理易得，则，结合已知条件，利用直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得是解题的关键．
【考点三 同弧或等弧所对的圆周角相等】
例题：（2022秋·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）如图，为⊙O的直径，，则的度数为 ．
【答案】65°/65度
【分析】先根据圆周角定理得到 ， ，然后利用互余计算出 的度数；
【详解】为⊙O的直径，
故答案为：
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径．
【变式训练】
1．（2023春·北京东城·八年级景山学校校考期末）如图，为的外接圆的直径，若，则

【答案】/40度
【分析】连接，根据圆周角定理的推论得出，，然后根据角的和差计算即可．
【详解】解：连接，
∵为的直径，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．
2．（2023春·江西上饶·九年级统考阶段练习）如图，是的直径，点，在上，且，的延长线与的延长线交于点，连接，若，则的度数是 ．

【答案】/43度
【分析】连接，根据圆周角定理得出，根据同弧所对的圆周角相等，可得，再根据等边对等角得出，最后根据三角形的外角的性质即可得出答案．
【详解】解：连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查圆周角定理，等边对等角，三角形的外角，正确理解题意是解题的关键．
【考点四 半圆(直径)所对的圆周角是直角】
例题：（2023·辽宁营口·校联考一模）如图，是的直径，弦交于点，连接，．若，则 ．

【答案】/61度
【分析】如图，连接，证明，求出，可得结论．
【详解】解：如图，连接．

∵是直径，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
【变式训练】
1．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）如图，是的直径，是的弦，如果．

(1)求的度数．
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理得到，，然后利用互余可计算出的度数；
（2）利用含30度的直角三角形三边的关系求解．
【详解】（1）解：是的直径，
，
，
；
（2）∵，
∴在中，，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F．

(1)求证：点D为弧的中点；
(2)若，，求的直径．
【答案】(1)见解析
(2)20
【分析】（1）根据圆周角定理可得，再由平行线的性质可得，从而可得，再根据垂径定理即可得出结论；
（2）根据垂径定理可得，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】（1）证明：∵是直径
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D为的中点；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的直径为20．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
【考点五 90度的圆周角所对的弦是直径】
例题：（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形中，，动点P在矩形的内部，连接、，若，则的最小值是 ．
【答案】/
【分析】由，可知在以为直径的上运动，如图，当三点共线时，最小，勾股定理求的长，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴在以为直径的上运动，如图，
∴当三点共线时，最小，
∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，勾股定理．解题的关键在于确定的运动轨迹．
【变式训练】
1．（2023·山东济宁·统考三模）如图，在中，，，，D为线段上的动点，连接，过点B作交于点E，则在点D的运动过程中，求线段的最小值为 ．

【答案】/
【分析】根据，得到，进而得到点在以为直径的圆上，设的中点为，连接，交于点，连接，则：，当且仅当三点共线时，取得最小值，即点与点重合时，取得最小值，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
设的中点为，连接，交于点，连接，则：，

∴当且仅当三点共线时，取得最小值，此时点与点重合，
∵，，，
∴，
∴的最小值为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，求一点到圆上的距离的最小值．解题的关键是确定点在以为直径的圆上．
2．（2023春·浙江·九年级专题练习）在矩形中，，，点F是边上的一个动点，连接，过点B作于点G，交射线于点E，连接，则的最小值是 ．
【答案】/
【分析】根据题意可得点G的运动轨迹为以AB为直径，H为圆心的圆弧．当C、G、H三点共线时，CG取最小值，根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴点G的运动轨迹为以AB为直径，H为圆心的圆弧．当C、G、H三点共线时，CG取最小值，如图，
∴CG最小值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及勾股定理，根据题意得出点G的运动轨迹是解本题的关键．
【考点六 已知圆内接四边形求角度】
例题：（2023·宁夏·统考中考真题）如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么 ．

【答案】
【分析】根据圆周角定理得到，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）如图，已知四边形内接于，，则的度数是 ．

【答案】
【分析】根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补求出，的度数．
【详解】解∶，
又四边形内接于圆，
在四边形中，，
，
故答案为∶．
【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，求出圆周角的度数是解题的关键．
2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在直径为的中，点，在圆上，，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，然后根据圆内接四边形对角互补求出，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而求出的度数．
【详解】解：，，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
是的直径，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
【考点七 求四边形外接圆的直径】
例题：（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（ ）
A．B．2C．2D．4
【答案】D
【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可．
【详解】解：连接OD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠A=60°，
∵OD=OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OD=OA，
∵AD=2，
∴OA=OD=OB=2，
∴AB=2+2=4，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·山西临汾·九年级统考阶段练习）如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正方形的性质，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据正方形的性质，得出，进而得出的半径为，再根据圆的面积公式，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴的半径为，
∴的面积为：．
故选：A
【点睛】本题考查了求正方形外接圆的直径、正方形的性质、勾股定理、圆的面积，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
2．（2021·广西贺州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论；
【详解】解：连接BD，
∵ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A
∵
∴
∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120°
∵
∴△CBE为等边三角形
∴∠BCE＝∠A=60°，
∵点C为的中点，
∴∠CDB＝∠DBC=30°
∴∠ABD=90°，∠ADB=30°
∴AD为直径
∵AB=2
∴AD=2AB=4
∴的面积是=
故答案选：D
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·江苏盐城·校考三模）如图，点、、在上，若，则的度数为（ ）

A．38°B．76°C．80°D．60°
【答案】B
【分析】根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：，，
，
故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，，，则的长为（ ）

A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】根据是的直径，可得，结合，可设，则，在中，由勾股定理即可求出．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，解得：，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查圆的求解问题，涉及到勾股定理、直径所对圆周角是直角等，灵活运用所学知识是关键．
3．（2023·陕西榆林·校考三模）如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由可求，再由即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是的外接圆，且是的直径，点D在上，连接、，且，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据得出，根据是的直径，得出，最后根据直角三角形两锐角互余，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角．
5．（2023·江苏徐州·校考三模）如图，矩形的宽为10，长为12，E是矩形内的动点，，则最小值为（ ）

A．9B．8C．7D．6
【答案】B
【分析】由知点E在以为直径的半上，连接交于点，当点E位于点位置时，线段取得最小值，利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，

∵，
∴点E在以为直径的半上，
连接交于点，
∴当点E位于点位置时，线段取得最小值，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，根据知点E在以为直径的半上是解题的关键．
二、填空题
6．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，内接于，为弧的中点，若，则 °．

【答案】
【分析】可得，由为弧的中点，可求，即可求解．
【详解】解：，
，
为弧的中点，
，
，
；
故答案：．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，弧与圆周角的关系，掌握性质是解题的关键．
7．（2023·湖北随州·统考模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，若，则 ．
【答案】/72度
【分析】先根据圆内接四边形的对角互补求出的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟知内接四边形的对角互补是解题的关键．
8．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，是的直径，点，在上．若，则 度．

【答案】
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，可得，，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键．
9．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图，是的一条弦，，垂足为点C，交于点D，点E在上，，，则弦的长是 ．

【答案】
【分析】根据垂径定理得到，结合得到，结合三角函数直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理及勾股定理，解题的关键是得到．
10．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在中，，，，是内部的一个动点，连接，且满足，过点作于点，则 ；当线段最短时，的面积为

【答案】
【分析】（1）由，得到，即可得到；
（2）首先证明点在以为直径的上，连接与交于点，此时最小，利用勾股定理求出即可得到，进而即可求解．
【详解】解：（1）在中，，则，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）设的中点为，连接，

则，
点在以为直径的上，连接交于点，此时最小，
在中，，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，求圆外一点到圆的最小、最大距离．
三、解答题
11．（2023秋·九年级课时练习）如图，内接于，为的直径．，，求的长．

【答案】3
【分析】证明，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查的是直径所对的圆周角是直角，勾股定理的应用，熟记直径所对的圆周角是直角是解本题的关键．
12．（2023春·江西九江·九年级校考阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，A是的中点，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图．（保留作图痕迹）

(1)在图1中，作一个等腰．
(2)在图2中，作一个以为对角线的矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，延长、相交于点E，根据圆周角定理及等腰三角形的性质即可得；
（2）连接、相交于点M，连接，交于点，根据圆周角定理、等腰三角形的性质及矩形的判定即可得．
【详解】（1）解：如图所示：

连接，延长、相交于点E，
∵点A是的中点，
∴，
∴，
∵是圆O的直径，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：矩形如图所示：

连接、相交于点M，连接，，交于点，则点是三条中线的交点，
∴，
则，
∵点A是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵是圆O的直径，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，圆周角定理，矩形的判定定理等，理解题意，综合运用这些知识点进行作图是解题关键．
13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点B，C为上两定点，点A为上一动点，过点B作，交于点E，点D为射线上一动点，且平分，连接．
(1)求证：；
(2)连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是矩形，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义，可得，再根据圆周角定理可得，再根据平行线的性质可得，进而得到，最后再根据内错角相等两直线平行，即可证明结论；
（2）由角平分线的定义，可得，再根据等腰三角形三线合一的性质，可得，即，进而得到，再根据矩形的判定定理，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴为的直径．
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、矩形的判定定理，灵活运用相关知识是解答本题的关键．
14．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，是的直径，弦于点，连接，，

(1)求证：；
(2)作于点，若的半径为，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（）利用等角的余角相等证明即可；
（）利用勾股定理求出，，再利用的正弦函数求解即可．
【详解】（1）证明：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
解法二：∵，是直径，
∴，
∴．
（2）如图，连接，

在中，，
在中，，
∵，
，
∴．
【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图1，已知为的直径，C为上一点，于E，D为弧的中点，连接，分别交于点F和点G．
(1)求证：；
(2)如图2，若，连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得∠CAG+∠AGC＝90°，根据垂直定义可得，从而可得，然后根据已知可得，从而可得，进而可得，最后根据对顶角相等可得，从而可得进而根据等角对等边即可解答；
（2）连接，利用（1）的结论，再根据等角的补角相等可得，然后根据证明，从而可得，进而可得，最后根据等弧所对的圆周角相等可得，从而可得，进而利用等腰三角形的三线合一性质即可解答．
【详解】（1）证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵D为弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16．（2023秋·九年级单元测试）定义：若两个不全等三角形中，有两组边对应相等且其中一组相等的边所对的角也相等，我们就称这两个三角形为偏等三角形．
(1)如图1，四边形内接于，，点C是弧的中点，连接，试说明与是偏等三角形．
(2)如图2，与是偏等三角形，，，，，求的长．
(3)如图3，内接于，，，，若点D在上，且与是偏等三角形，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)的值为8或
【分析】（1）根据同弧或等弧所对圆周角相等可得出，再由公共边即可证明与是偏等三角形；
（2）作于E，于F，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得出和的长，设，再根据和勾股定理列出等式求解即可；
（3）分类讨论：①当时和②当时，再由圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可解答．
【详解】（1）∵点C是弧BD的中点，
∴，，
又∵，
∴与是偏等三角形；
（2）作于E，于F，
∵，，，
∴，，
∴，，
∵设，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）①当时，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴符合题意，
∴；
②当时，
如图，过点D作于点E，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，符合题意，
设，则，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
综上可知AD的值为8或．
【点睛】本题考查新定义，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质等知识．理解偏等三角形的定义是解题关键．