2023-2024学年上海市金山区七年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年上海市金山区七年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列运算正确的是( )
A. x3÷x2=xB. x3⋅x2=x6C. x3−x2=xD. x3+x2=x5
2.下列分式是最简分式的是( )
A. a2−aabB. 1−aa−1C. a2+1a+1D. a2−1a+1
3.下列各等式中，因式分解正确的是( )
A. x2−4x+16=(x−4)2B. 3x2−9y+3=3(x2−3y+1)
C. x2−4y2=(x+4y)(x−4y)D. x2−2x−3=(x+3)(x−1)
4.分式方程xx−1−1=3(x−1)(x+2)的解为( )
A. x=1B. x=2C. x=−1D. 无解
5.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
6.如图，将△AOB绕点O按顺时针方向旋转50∘后得到△COD，若∠AOB=15∘，则∠AOD的度数为( )
A. 65∘
B. 35∘
C. 35∘或65∘
D. 80∘
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7.计算：(x−3)(x+1)=______.
8.因式分解：x2−5x+6=______.
9.计算：(−12x2y3+3xy2)÷(−3xy2)=______.
10.当x ______时，分式2x3−x有意义.
11.化简：xx−3+33−x结果是______.
12.用科学记数法表示：−0.000312=______.
13.将x−1(x−y)−2z化成只含有正整数指数幂的形式：______.
14.计算：(13)−3÷(−3)2−(−0.125)0=______.
15.已知x2−mxy+4y2是完全平方式，则m=______.
16.如图，将△ABC沿BC方向平移2cm之后得到△DEF，若EC=5cm，则EF=______cm.
17.如图，已知长方形ABCD的边AB=a，BC=b(b>a)，将长方形ABCD沿直线EF折叠，则图中折成的四个阴影三角形的周长之和为______(用含a，b的代数式表示).
18.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AB=10，CA=6，CB=8，将△ABC绕着点B旋转，使点C落在直线AB上的点D处，联结AD，则△ACD的面积是______.
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
19.解方程：2x2−4−x2−x=1.
四、解答题：本题共10小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题5分)
计算：(2x+3)2−(3−x)(3+x).
21.(本小题5分)
计算：(ax3)−2⋅(−2a3x4)3÷(12a2x)3.
22.(本小题5分)
因式分解：x2−4xy−4+4y2.
23.(本小题5分)
.因式分解：−3a4+6a2+24.
24.(本小题5分)
.计算：x+3x+1−xx+1÷x2−xx2−x−2.
25.(本小题6分)
.先化简再求值：(2x−1x+1−x+1)÷x−2x2+2x+1，其中x=13.
26.(本小题6分)
如图所示，在四边形ABCD中，
(1)画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称；
(2)画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称；
(3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2是否对称，若对称请在图中画出对称轴或对称中心.
27.(本小题6分)
阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x+1x=2+12的解为x1=2,x2=12；
方程x+1x=3+13的解为x1=3,x2=13；
方程x+1x=4+14的解为x1=4,x2=14；
⋯⋯
(1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+1x=5+15的解是______；
(2)根据上述的规律，猜想关于x的方程x+1x=a+1a的解是______；
(3)由(2)可知，在解方程：y+2y+5y+2=174时，可变形转化为x+1x=a+1a的形式求值，按要求写出你的变形求解过程.
28.(本小题8分)
列方程解应用题：某工厂计划加工生产1200件产品，当完成300件产品时，改进了技术，提高了效率，改进后每小时生产的产品数是原来的1.5倍，因此提前了2.5小时完工，求改进后每小时加工生产的产品数.
29.(本小题8分)
如图1，点A为直线MN上一点，AD为射线，∠DAN=50∘，将一个三角板的直角顶点放在点A处，一边AB在射线AN上，另一边AC与AD都在直线MN的上方.
(1)将三角板绕点A逆时针旋转，若AB恰好平分∠DAN(如图2)，则∠CAM=______ ∘.
(2)将三角板绕点A在直线MN上方逆时针旋转，当AB落在∠DAM内部，且∠BAD=13∠CAM时，则∠CAN=______ ∘.
(3)将图1中的三角板和射线AD同时绕点A，分别以每秒8∘和每秒3∘的速度逆时针旋转一周，求第几秒时，AB恰好与AD在同一直线上？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】
解：A、原式=x，符合题意；
B、原式=x5，不符合题意；
C、原式不能合并，不符合题意；
D、原式不能合并，不符合题意，
故选A.
2.【答案】C
【解析】解：A.a2−aab=a−1b，所以A选项不符合题意；
B.1−aa−1=−(a−1)a−1=−1，所以B选项不符合题意；
C.a2+1a+1为最简分式，所以C选项符合题意；
D.a2−1a+1=(a+1)(a−1)a+1=a−1，所以D选项不符合题意．
故选：C.
利用约分和最简分式的定义对各选项进行判断．
本题考查了最简分式：掌握最简分式的定义是解决问题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、∵x2−8x+16=(x−4)2，∴x2−4x+16=(x−4)2错误，故本选项不符合题意；
B、3x2−9y+3=3(x2−3y+1)，正确，故本选项符合题意；
C、x2−4y2=(x+2y)(x−2y)，故本选项错误，不符合题意；
D、∵x2−2x−3=(x−3)(x+1)，∴x2−2x−3=(x+3)(x−1)错误，故本选项不符合题意；
故选：B.
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】
解：去分母得：x2+2x−x2−x+2=3，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
故选：D.
5.【答案】C
【解析】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、图形既轴对称图形，又是中心对称图形，故C符合题意；
D、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：C.
把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．
6.【答案】A
【解析】解：如图，由题意及旋转变换的性质得：∠AOC=∠BOD=50∘，
∵∠AOB=15∘，
∴∠AOD=50∘+15∘=65∘，
故选：A.
首先根据旋转变换的性质求出∠AOC的度数，结合∠AOB=15∘，即可解决问题．
本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
7.【答案】x2−2x−3
【解析】解：原式=x2+x−3x−3
=x2−2x−3.
故答案为：x2−2x−3.
直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
此题主要考查了多项式乘以多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
8.【答案】(x−2)(x−3)
【解析】解：x2−5x+6=(x−2)(x−3).
根据十字相乘法分解因式进行分解即可．
本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
9.【答案】4xy−1
【解析】解：(−12x2y3+3xy2)÷(−3xy2)
=(−12x2y3)÷(−3xy2)+3xy2÷(−3xy2)
=4xy−1.
故答案为：4xy−1.
直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
10.【答案】≠3
【解析】解：∵分式2x3−x有意义，
∴3−x≠0，
解得x≠3.
故答案为：≠3.
根据分式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
11.【答案】1
【解析】解：原式=xx−3−3x−3=x−3x−3=1.
故答案为1.
首先把分母化成同分母的分式，然后根据分式的加减运算法则进行加减运算得到结果．
本题考查了分式的加减运算，注意将结果化为最简分式．
12.【答案】−3.12×10−4
【解析】解：−0.000312=−3.12×10−4.
故答案为：−3.12×10−4.
绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13.【答案】zx(x−y)2
【解析】解：原式=1x⋅1(x−y)2⋅z
=zx(x−y)2，
故答案为：zx(x−y)2.
根据负整数指数幂的性质：a−n=1an，把负整数指数化成正整数指数，再进行计算即可．
本题主要考查了负整数指数幂的性质，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质．
14.【答案】2
【解析】解：原式=27÷9−1
=3−1
=2，
故答案为：2.
先根据负指数幂、零指数幂的性质和乘方的意义计算乘方，再算除法，最后算加减即可．
本题主要考查了实数的有关计算，解题关键是熟练掌握指数幂、零指数幂的性质和乘方的意义
15.【答案】±4
【解析】解：∵(x±2y)2=x2±4xy+4y2，
∴−m=±4，
∴m=±4，
故答案为：±4.
根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
16.【答案】7
【解析】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，
∴CF=BE=2cm，
∴EF=EC+CF=5+2=7(cm).
故答案为：7.
先利用平移的性质得CF=BE，然后利用EF=EC+CF，即可求出答案．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等．
17.【答案】2a+2b
【解析】解：由折叠得GE=AE，GL=AB，LF=BF，
∴DE+GE=DE+AE=AD，CF+LF=CF+BF=BC，
∵AB=CD=a，AD=BC=b，
∴GL+CD+(DE+GE)+(CF+LF)=AB+CD+AD+BC=2a+2b，
∴图中折成的四个阴影三角形的周长之和为2a+2b，
故答案为：2a+2b.
由折叠得GE=AE，GL=AB，LF=BF，则DE+GE=DE+AE=AD，CF+LF=CF+BF=BC，所以GL+CD+(DE+GE)+(CF+LF)=AB+CD+AD+BC=2a+2b，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的两组对边分别相等、轴对称的性质等知识，推导出DE+GE=AD，CF+LF=BC是解题的关键．
18.【答案】4.8或43.2
【解析】解：如图，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠C=90∘，AB=10，CA=6，CB=8，
∴S△ABC=12×AB⋅CH=12×AC⋅BC，
∴48=10CH，
∴CH=4.8，
由旋转的性质可得：BC=BD=8，
当点D在线段AB上时，AD=AB−BD=2，
∴S△ACD=12×AD⋅CH=12×2×4.8=4.8，
当点D在线段AB的延长线上时，AD′=AB+BD=18，
∴S△ACD=12×AD⋅CH=12×4.8×18=43.2，
故答案为：4.8或43.2.
分两种情况讨论，由面积法可求CH的长，由三角形的面积公式可求解．
本题考查了旋转的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
19.【答案】解：去分母得2+x(x+2)=x2−4，
解得x=−3，
检验：当x=−3时，(x−2)(x+2)≠0，
所以原方程的解为x=−3.
【解析】本题考查了解分式方程：先把方程化为整式方程，解整式方程，然后进行检验即可，属于基础题．
方程两边同乘以(x+2)(x−2)得到整式方程2+x(x+2)=x2−4，可解得x=−3，然后进行检验确定分式方程的解．
20.【答案】解：原式=4x2+12x+9−(9−x2)
=4x2+12x+9−9+x2
=5x2+12x.
【解析】利用平方差公式及完全平方公式计算即可．
本题考查平方差公式及完全平方公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
21.【答案】解：(ax3)−2⋅(−2a3x4)3÷(12a2x)3
=a−2x−6⋅(−8a9x12)÷18a6x3
=−8a7x6÷18a6x3
=−64ax3.
【解析】先算乘方，再算乘除，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22.【答案】解：原式=(x2−4xy+4y2)−4，
=(x−2y)2−22，
=(x−2y+2)(x−2y−2).
【解析】先利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解，即可得出答案．
本题考查了因式分解，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
23.【答案】解：原式=−3(a4−2a2−8)
=−3(a2−4)(a2+2)
=−3(a2+2)(a+2)(a−2).
【解析】提公因式后利用十字相乘法及平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
24.【答案】解：原式=x+3x+1−xx+1⋅(x−2)(x+1)x(x−1)
=x+3x+1−x−2x−1
=x2+2x−3(x+1)(x−1)−x2−x−2(x+1)(x−1)
=x2+2x−3−x2+x+2(x+1)(x−1)
=3x−1(x+1)(x−1).
【解析】先计算分式的除法，再计算分式的减法即可．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
25.【答案】解：原式=(2x−1x+1−x2−1x+1)⋅(x+1)2x−2
=2x−x2x+1⋅(x+1)2x−2
=−x(x−2)x+1⋅(x+1)2x−2
=−x(x+1)，
当x=13时，原式=−13×(13+1)=−49.
【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
26.【答案】解：(1)如图，四边形A1B1C1D1即为所求．
(2)如图，四边形A2B2C2D2即为所求．
(3)对称．
如图，直线CC1即为所求．
【解析】(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)根据中心对称的性质作图即可．
(3)根据轴对称的性质可得答案．
本题考查作图-轴对称变换、旋转变换，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
27.【答案】x1=5,x2=15 x1=a,x2=1a，
【解析】解：(1)根据题意可得：x1=5,x2=15，
故答案为：x1=5,x2=15，
(2)根据题意可得：x1=a,x2=1a，
故答案为：x1=a,x2=1a，
(3)y+(2y+4)+1y+2=4+14将方程变形为：
y+2+1y+2=4+14.
即y+2=4,y+2=14，
解得y1=2,y2=−74.
(1)观察所给材料的规律方程解有两个，一般是一个整数，另一个是它的倒数，所以此方程的解就可以确定．
(2)根据(1)的结论容易确定方程一个是x=a，另一个是它的倒数；
(3)首先把方程变形为 y+2+1y+2=4+14.，此时(y+2)相当于原来方程中的x，根据(1)就可以确定方程的解．
此题考查了阅读理解能力，首先通过阅读题目，找出题目中的隐规律，然后利用规律解决后面的问题，尤其是第三小题还要将方程变形，才能利用前面的规律解题，对于学生的要求比较高．
28.【答案】解：设原来每小时加工生产的产品数为x件，则改进后每小时加工生产的产品数为1.5x件．
由题意得：1200x−(300x+1200−3001.5x)=2.5，
解得：x=120，
经检验，x=120是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×120=180，
答：改进技术后每小时加工生产的产品数为180件．
【解析】设原来每小时加工生产的产品数为x件，则改进后每小时加工生产的产品数为1.5x件．根据改进后提前了2.5小时完工，菱形分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解答本题的关键．
29.【答案】65 150
【解析】解：(1)∵AB恰好平分∠DAN，∠DAN=50∘，
∴∠BAN=∠BAD=12∠DAN=25∘，
∵∠CAB=90∘，
∴∠CAM=180∘−∠CAB−∠BAN=180∘−90∘−25∘=65∘.
故答案为：65；
(2)设∠BAD=α，则∠CAM=3α，
当AB落在∠DAM内部时，如图，
∵∠DAN+∠BAD+∠CAM=180∘−90∘=90∘，
∴50∘+α+3α=90∘，
∴α=10∘，
∴∠CAN=180∘−∠CAM=180∘−30∘=150∘.
故答案为：150；
(3)设时间为t秒时，AB恰好与AD在同一直线上．
分两种情况：
①当AB恰好在射线AD上时，如图，
则∠NAB=8t，∠NAD=50+3t，
由题意得8t=50+3t，
解得t=10；
②当AB与AD反向延长线重合时，
由题意得8t−180=50+3t，
解得t=46.
所以，第10s或46s时，AB恰好与AD在同一直线上．
(1)AB平分∠DAN，∠DAN=50∘得到∠BAN=∠BAD=25∘，又由∠CAB=90∘，即可得到∠CAM的度数；
(2)设∠BAD=α，则∠CAM=3α，当AB落在∠DAM内部时，∠AOD=50∘+α，根据∠DAN+∠BAD+∠CAM=180∘−90∘=90∘得到50∘+α+3α=90∘，求出α=10∘，即可得到∠CAN的度数：
(3)设第t秒时，AB恰好与AD在同一条直线上，分两种情况画出图形，分别列出方程，解方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用，角平分线定义，角度的计算，正确画出图形并分类讨论是解题的关键．