01，湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题

这是一份01，湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：80分钟 总分：100分
一、单选题（每小题4分，共32分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
根据同底数幂相乘运算法则计算并判定A；根据合并同类项法则计算并判定B；根据幂的乘方法则计算并判定C；根据同底数幂相除运算法则计算并判定D．
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，没有同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 分式的值为0，则的值是（ ）
A. 0B. C. 4D. 或4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件；根据分式的值为零的条件得且，即可以求出的值．
【详解】若分式的值为，则且．
得或．
当时，分母为，不合题意，舍去．您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高故的值为．
故选B．
3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
【详解】A． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意，
B． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意，
C．，被开方数中含分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意，
D． ，是最简二次根式，故该选项符合题意，
故选：D．
4. 若，，则的值为（ ）
A. 20B. 25C. 30D. 35
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，利用完全平方公式展开，将和的值代入计算即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴
∵，，
∴
，
故选：B．
5. 如图，在中，垂直平分，分别交、于点、，平分，，，则的长为（ ）
A B. C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，根据垂直平分线性质可求得，根据“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”得，再根据角平分线性质，可求得，由三角形内角和定理可求得，根据角平分线性质可得，即可求出的值，解题关键是熟练掌握相关性质，求出、的值．
【详解】解：垂直平分，
，
，
，，，
，，
平分，
，，
，
，
，
故选：D．
6. 如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ）
A. 2kmB. 4kmC. 10 kmD. 14 km
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：
则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：（km）．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出的长是解题关键．
7. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方即可，解题的关键是学会利用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是否为直角三角形．
【详解】，
选项A给出图中的一个三角形是直角三角形，另一个不是直角三角形，不符合题意；
，，
选项B给出图中的一个三角形是直角三角形，另一个不是直角三角形，不符合题意；
，，
选项C给出图中的两个三角形是直角三角形，符合题意；
，，
选项D给出图中的两个三角形不是直角三角形，不符合题意；
故选：C
8. 若分式方程无解，则的值是（ ）
A. 3或2B. 1C. 1或3D. 1或2
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程无解的条件．
先把方程两边同时乘得整式方程，然后根据方程无解，分两种情况讨论：①分式方程的分母等于0，求出x再代入整式方程，求出a；②整式方程无解，列出关于a的方程，求出a即可．
【详解】解：，
方程两边同时乘得：
，
，
，
，
∵分式方程无解，
，
，
，
解得：，
∵分式方程无解，
，
解得：，
综上可知：或1，
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
9. 分解因式：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 生物学家发现一种病毒的长度约为，用科学记数法表示这个数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：．
故答案为：．
11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______________
【答案】且
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件可得，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：且．
故答案为：且
12. 如图，矩形纸片中，已知，点落在点处，折痕为，，则的长为_________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质及翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
先根据矩形的特点求出的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
，
是翻折而成，
，，是直角三角形，
，
在中，，
设，
在中，，
即，
解得，
则．
故答案为：12．
三、解答题（第13题6分，第14题8分，第15、16题9分，第17、18题10分，共52分）
13. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据实数的运算法则，化简根式，先乘方，再加减，即可求解，本题考查了实数的混合运算，整数指数幂的运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：
．
14. 先化简再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值问题，注意计算的准确性即可．
【详解】解：



，
当时，原式．
15. 如图，在和中，，，，延长，交于点M．
（1）求证：平分；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，证明，可得，根据角平分线的判定即可证明；
（2）利用平行线的性质证明，设，则，根据勾股定理即可解决问题．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴平分．
【小问2详解】
∵
∴，
由（1）知，平分,
∴
∴，
∴，
设，则，
在中，
，
即，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，勾股定理解三角形，以及平行线的性质．掌握这些性质即可解题．
16. 某中学开学初在商场购进、两种品牌的足球，购买品牌足球花费了元，购买品牌足球花费了元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的倍，已知购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花元．
（1）求购买一个品牌、一个品牌的足球各需多少元；
（2）该中学决定再次购进、两种品牌足球共个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高了，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果这所中学此次购买、两种品牌足球的总费用不超过元，那么该中学此次最多可购买多少个品牌足球？
【答案】（1）购买一个品牌的足球需要元、购买一个品牌的足球需要元．
（2）该中学此次最多可购买个品牌足球．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找准等量关系，列出正确的分式方程和一元一次不等式是解答本题的关键．
（1）设购买一个品牌的足球需要元，则购买一个品牌的足球需要元，根据题意列出分式方程，解方程得到答案．
（2）设该中学此次最多可购买个品牌足球，则可以购买个品牌足球，根据题意，列出一元一次不等式，解不等式得到答案．
【小问1详解】
解：根据题意设：
购买一个品牌的足球需要元，则购买一个品牌的足球需要元，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：购买一个品牌足球需要元、购买一个品牌的足球需要元．
【小问2详解】
设该中学此次最多可购买个品牌足球，则可以购买个品牌足球，
根据题意得：
，
解得：，
答：该中学此次最多可购买个品牌足球．
17. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号，
例如：当时，求的最小值．
解：∵，∴，又∵，∴，当时取等号．
∴的最小值为8．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当时，当且仅当______时，有最小值为______．
（2）当时，求的最小值．
（3）请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
【答案】（1）3，6 （2）
（3）60米
【解析】
【分析】（1）根据例题中的公式计算即可；
（2）先化简，再运用公式计算即可；
（3）由题意得篱笆的长为米，再根据例题中的公式计算即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
又∵，
∴，当且仅当时取等号．
∴的最小值为6．
故答案：3，6．
小问2详解】
，
∵，
∴，
又∵，
∴，当且仅当时取等号，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
即的最小值为；
【小问3详解】
根据题意可得，垂直于墙的一边长为米，则篱笆的长为米，
∵∴，
又∵，
∴，当且仅当时取等号，
∴的最小值为60，
即需要用的篱笆最少是60米.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，理解题中例题解法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
18. 已知，实数，，满足．

（1）求，，的值；
（2）如图，在平面直角坐标系中，，都是轴正半轴上的点，，都是轴正半轴上的点（点上面），，．
①如图（1），若点与重合，，求点的坐标；
②如图（2），若点与不重合，，，求的面积．
【答案】（1），，
（2）①；②4
【解析】
【分析】（1）依据题意，由，从而，，，进而计算可以得解；
（2）①依据题意，由，，，从而，再设，可得，又过点作于，的反向延长线交轴于点，，
可得，进而可得，从而，又，则，最后可得，进而可以得解．
②依据题意，过作于，并延长交轴于点，又，，从而，故，再证得，从而．又，结合，，可得，故，此时设，又，借助得方程，求出，故可得计算得解．
【小问1详解】
．
，，，
解得：，，．
【小问2详解】
①，，，
．
设，
，
．
．
．
如图，过点作于，的反向延长线交轴于点．

，
．
．
又由题意，，
．
．
．
又，
．
又，
．
．
②如图，过作交延长线于，并延长交轴于点．

，，
．
．
，，
．
又，
．
．
，，，
．
，，
．
．
设，
又，
，
．
．
，即．
．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．