重庆市第一中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（Word版附解析）

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一、单选题
1. 向量，，，则（ ）
A. 9B. 3C. 1D.
2. 已知数列满足 ,则（ ）
A. B. C. 2D. 3
3. 已知，，直线和垂直，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
4. 已知数列满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 在三棱锥中，两两垂直，且，三角形重心为，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 与 , 且, 则（ ）
A. B. C. D.
7. 设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（ ）
A 6B. 9C. 12D. 14
8. 已知，，，，，则的最大值为（ ）
A. B. 4C. D.
二、多选题
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若空间向量，，则在上的投影向量为
B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角
D. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
10. 已知曲线，则（ ）
A. 曲线上两点间距离的最大值为
B. 若点在曲线内部（不含边界），则
C. 若曲线与直线有公共点，则
D. 若曲线与圆有公共点，则
11. 某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线.说法中正确的有（ ）
A. 椭圆的“蒙日圆”的面积为
B 对直线上任意点，都有
C. 椭圆的标准方程为
D. 椭圆的“蒙日圆”的两条弦，都与椭圆相切，则面积的最大值为3
12. 设数列满足，，记数列的前n项和为，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题
13. 数列是正数等比数列，且，则______.
14. 若方程表示的曲线为焦点在轴上双曲线，则的取值范围为______.
15. 若平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为_________．
16. 已知分别为椭圆的左、右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上有且仅有一个点P使，则椭圆离心率的取值范围为______（写成集合或区间形式）．
四、解答题
17. 已知动点与两个定点，的距离的比是2.
（1）求动点轨迹的方程；
（2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程.
18. 已知数列的通项公式为，在公差为整数的等差数列中，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列前项和.
19. 已知多面体的底面为矩形，四边形为平行四边形，平面平面，，，是棱上一点.
（1）证明：平面；
（2）当平面时，求与平面所成角正弦值.
20. 已知数列满足: .
（1）求数列的通项公式;
（2）设, 求数列的前项和为.
21. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，，为边的中点，，，.
（1）证明：；
（2）试判断线段上是否存在点使得二面角的余弦值为，若存在求出点的位置；若不存在，请说明理由.
22. 已知抛物线的准线交轴于，过作斜率为的直线交于，过作斜率为的直线交于．
（1）若抛物线的焦点，判断直线与以为直径的圆的位置关系，并证明；
（2）若三点共线，
①证明：为定值；
②求直线与夹角的余弦值的最小值．