高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征课后练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征课后练习题，共6页。试卷主要包含了若随机变量X的分布列为，设随机变量X的分布列为，随机变量ξ的分布列如下等内容，欢迎下载使用。
A级——基础过关练
1．有甲、乙两台自动包装机，包装质量分别为随机变量X甲，X乙，已知E(X甲)＝E(X乙)，且D(X甲)>D(X乙)，则( )
A．甲包装机的质量较好
B．乙包装机的质量较好
C．甲、乙两台包装机的质量一样好
D．甲、乙两台包装机的质量不能比较
【答案】B 【解析】∵E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)＞D(X乙)，∴乙包装机的质量更稳定，即质量较好．
2．(2023年乌鲁木齐期中)若随机变量X的分布列为
已知随机变量Y＝aX＋b(a，b∈R)且E(Y)＝10，D(Y)＝4，则a与b的值为( )
A．a＝10，b＝3B．a＝3，b＝10
C．a＝5，b＝6D．a＝6，b＝5
【答案】C 【解析】因为0.2＋m＝1，解得m＝0.8，所以E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8，D(X)＝0.2×0.8＝0.16.因为Y＝aX＋b(a，b∈R)，E(Y)＝10，D(Y)＝4，所以aE(X)＋b＝0.8a＋b＝10，a2D(X)＝0.16a2＝4，解得a＝5，b＝6.
3．设随机变量X的分布列为
若E(X)＝ eq \f(15,8)，则D(X)＝( )
A． eq \f(33,64)B． eq \f(55,64)
C． eq \f(7,32)D． eq \f(9,32)
【答案】B 【解析】由随机变量分布列的性质，得x＋y＝ eq \f(1,2).由E(X)＝ eq \f(15,8)，得1× eq \f(1,2)＋2x＋3y＝ eq \f(15,8)，解得x＝ eq \f(1,8)，y＝ eq \f(3,8).∴D(X)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(15,8))) eq \s\up12(2)× eq \f(1,2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(15,8))) eq \s\up12(2)× eq \f(1,8)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(15,8))) eq \s\up12(2)× eq \f(3,8)＝ eq \f(55,64).
4．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1-k(k＝0，1)，则E(X)，D(X)的值分别是( )
A．0和1B．p和p2
C．p和1－pD．p和(1－p)p
【答案】D 【解析】由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X服从两点分布，∴D(X)＝p(1－p).
5．(2023年南京模拟)小智参加三次投篮比赛，投中得1分，投不中扣1分，已知小智投篮命中率为0.5，记小智投篮三次后的得分为随机变量ξ，则D(|ξ|)为( )
A． eq \f(3,8)B． eq \f(3,4)
C． eq \f(3,2)D．3
【答案】B 【解析】由题意可得ξ＝－3，3，－1，1，其中P(ξ＝－3)＝P(ξ＝3)＝0.53，P(ξ＝－1)＝P(ξ＝1)＝C eq \\al(2,3)(0.5)3＝3×0.53，故随机变量|ξ|的分布列为
故E(|ξ|)＝6×0.53＋3×2×0.53＝1.5，D(|ξ|)＝(1.5－1)2×6×0.53＋(3－1.5)2×2×0.53＝0.75.
6．已知随机变量X满足E(1－X)＝5，D(1－X)＝5，则下列说法正确的是( )
A．E(X)＝－5，D(X)＝5B．E(X)＝－4，D(X)＝5
C．E(X)＝－5，D(X)＝－5D．E(X)＝－4，D(X)＝－4
【答案】B 【解析】因为E(aX＋b)＝aE(X)＋b，所以E(1－X)＝E(－X＋1)＝－E(X)＋1＝5，所以E(X)＝－4.因为D(aX＋b)＝a2D(X)，所以D(1－X)＝D(－X＋1)＝(－1)2D(X)＝5，所以D(X)＝5.故选B．
7．(多选)投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示．
表1 股票甲收益的分布列
表2 股票乙收益的分布列
则下列结论中正确的有( )
A．D(X)＝1.29
B．D(Y)＝0.6
C．投资股票甲的期望收益较小
D．投资股票甲比投资股票乙的风险高
【答案】ABD 【解析】甲收益的期望E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，
方差D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29；
乙收益的期望E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，
方差D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6.
所以E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，则投资股票乙的期望收益较小，投资股票甲比投资股票乙的风险高．故选ABD．
8．若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．
【答案】0.5 【解析】事件在一次试验中发生次数记为X，则X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.
9．随机变量ξ的分布列如下：
若E(ξ)＝ eq \f(2,3)，则D(ξ)＝________．
【答案】 eq \f(5,9) 【解析】由 eq \f(1,2)＋ eq \f(1,3)＋p＝1，得p＝ eq \f(1,6).又因为E(ξ)＝0× eq \f(1,2)＋1× eq \f(1,3)＋ eq \f(1,6)x＝ eq \f(2,3)，解得x＝2，所以D(ξ)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(2,3))) eq \s\up12(2)× eq \f(1,2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3))) eq \s\up12(2)× eq \f(1,3)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(2,3))) eq \s\up12(2)× eq \f(1,6)＝ eq \f(5,9).
10．已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：
根据这两面大钟日走时误差的均值与方差，比较这两面大钟的质量．
解：由题意，得E(X1)＝0，E(X2)＝0，故E(X1)＝E(X2).D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2，故D(X1)＜D(X2).综上可知，A大钟的质量较好．
B级——能力提升练
11．(多选)(2022年梅州月考)设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足Y＝3X＋1，则下列结果正确的有( )
A．q＝0.1B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8D．E(Y)＝7，D(Y)＝16.2
【答案】ACD 【解析】由q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，可得q＝0.1，选项A判断正确；
E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，
D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，
故选项B判断错误，选项C判断正确；E(Y)＝3E(X)＋1＝3×2＋1＝7，D(Y)＝32D(X)＝32×1.8＝16.2，
选项D判断正确．故选ACD．
12．(2023年达州期末)一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机取出小球，当有放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1；当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则( )
A．E(ξ1)D(ξ2)
【答案】B 【解析】ξ1的可能取值为0，1，2，ξ2的可能取值为0，1.P(ξ1＝0)＝ eq \f(4,9)，P(ξ1＝2)＝ eq \f(1,9)，P(ξ1＝1)＝1－ eq \f(4,9)－ eq \f(1,9)＝ eq \f(4,9)，故E(ξ1)＝ eq \f(2,3)，D(ξ1)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(2,3))) eq \s\up12(2)× eq \f(4,9)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(2,3))) eq \s\up12(2)× eq \f(1,9)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3))) eq \s\up12(2)× eq \f(4,9)＝ eq \f(4,9).P(ξ2＝0)＝ eq \f(2×1,3×2)＝ eq \f(1,3)，P(ξ2＝1)＝1－ eq \f(1,3)＝ eq \f(2,3)，故E(ξ2)＝ eq \f(2,3)，D(ξ2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(2,3))) eq \s\up12(2)× eq \f(1,3)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3))) eq \s\up12(2)× eq \f(2,3)＝ eq \f(2,9)，故E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2).
13．已知随机变量ξ的分布列如下，且E(ξ)＝ eq \f(7,2)，则实数x＝________，若随机变量η＝2ξ－3，则D(η)＝________．
【答案】 eq \f(1,6) eq \f(7,3) 【解析】由分布列的性质可得x＋y＋ eq \f(2,3)＝1①，∵E(ξ)＝ eq \f(7,2)，∴2x＋3y＋4× eq \f(2,3)＝ eq \f(7,2)②.联立①②，解得x＝y＝ eq \f(1,6).∴D(ξ)＝ eq \f(1,6)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)－2)) eq \s\up12(2)＋ eq \f(1,6)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)－3)) eq \s\up12(2)＋ eq \f(2,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)－4)) eq \s\up12(2)＝ eq \f(7,12).∵随机变量η＝2ξ－3，∴D(η)＝22D(ξ)＝4× eq \f(7,12)＝ eq \f(7,3).
14．某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，则打开此门所需试开次数X的方差为________．
【答案】2 【解析】设X为打开此门所需的试开次数，则X的可能取值为1，2，3，4，5.X＝k表示前k－1次没打开此门，第k次才打开了此门．P(X＝1)＝ eq \f(1,5)，P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(1,4),C eq \\al(1,5))· eq \f(1,4)＝ eq \f(1,5)，P(X＝3)＝ eq \f(C eq \\al(2,4),C eq \\al(2,5))· eq \f(1,3)＝ eq \f(1,5)，P(X＝4)＝ eq \f(C eq \\al(3,4),C eq \\al(3,5))· eq \f(1,2)＝ eq \f(1,5)，P(X＝5)＝ eq \f(C eq \\al(4,4),C eq \\al(4,5))·1＝ eq \f(1,5)，故随机变量X的概率分布列为
E(X)＝1× eq \f(1,5)＋2× eq \f(1,5)＋3× eq \f(1,5)＋4× eq \f(1,5)＋5× eq \f(1,5)＝3，D(X)＝(1－3)2× eq \f(1,5)＋(2－3)2× eq \f(1,5)＋(3－3)2× eq \f(1,5)＋(4－3)2× eq \f(1,5)＋(5－3)2× eq \f(1,5)＝2.
15．设盒子中装有6个红球，4个白球，2个黑球，球除颜色外其余都相同，且规定：取出一个红球得a分，取出一个白球得b分，取出一个黑球得c分，其中a，b，c都为正整数．
(1)当a＝1，b＝2，c＝3时，从该盒子中依次任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
(2)当a＝1时，从该盒子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数，若E(η)＝ eq \f(5,3)，D(η)＝ eq \f(5,9)，求b和c.
解：(1)ξ的可能取值为2，3，4，5，6，
P(ξ＝2)＝ eq \f(6×6,12×12)＝ eq \f(1,4)，P(ξ＝3)＝ eq \f(2×6×4,12×12)＝ eq \f(1,3)，
P(ξ＝4)＝ eq \f(2×6×2＋4×4,12×12)＝ eq \f(5,18)，
P(ξ＝5)＝ eq \f(2×4×2,12×12)＝ eq \f(1,9)，
P(ξ＝6)＝ eq \f(2×2,12×12)＝ eq \f(1,36).
所以ξ的分布列为
(2)由题意知η的分布列为
因为E(η)＝ eq \f(5,3)，D(η)＝ eq \f(5,9)，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(E(η)＝\f(1,2)＋\f(1,3)b＋\f(1,6)c＝\f(5,3)，,D(η)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(5,3)))\s\up12(2)×\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(5,3)))\s\up12(2)×\f(1,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－\f(5,3)))\s\up12(2)×\f(1,6)＝\f(5,9)，))
解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝2，,c＝3.))X
0
1
P
0.2
m
X
1
2
3
P
eq \f(1,2)
x
y
|ξ|
1
3
P
6×0.53
2×0.53
收益X/元
－1
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
收益Y/元
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
ξ
0
－1
x
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
p
X1
－2
－1
0
1
2
P
0.05
0.05
0.8
0.05
0.05
X2
－2
－1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
ξ
2
3
4
P
x
y
eq \f(2,3)
X
1
2
3
4
5
P
eq \f(1,5)
eq \f(1,5)
eq \f(1,5)
eq \f(1,5)
eq \f(1,5)
ξ
2
3
4
5
6
P
eq \f(1,4)
eq \f(1,3)
eq \f(5,18)
eq \f(1,9)
eq \f(1,36)
η
1
b
c
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)