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沪教版 (五四制)八年级上册19．5 角的平分线精品课后练习题
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这是一份沪教版 (五四制)八年级上册19．5 角的平分线精品课后练习题，文件包含195角的平分线原卷版docx、195角的平分线解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
掌握角的平分线的性质和判定,会应用角的平分线的性质和判定解决相关问题.
通过作三角形的角平分线，了解三条角平分线交于一点的事实.
知识点一 作已知角的平分线
用尺规作已知角的平分线
已知:∠AOB.求:∠AOB的平分线.
作法:如图所示
(1)以点 0为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB 于点N
(2)分别以点 M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧∠AOB的内部相交于点 C
(3)画射线OC,射线OC即为所求.
作图依据
构造，根据全等三角形的对应角相等,找到角的平分线.
注意：
(1)画“射线 OC”不能叙述为“连接 OC”因为角的平分线是一条射线，而不是线段
(2)两弧的交点应在角的内部找,因为要作的是角的平分线
即学即练 阅读并填空．
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：如图所示，
①以点_________为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
②分别以点_________，_________为圆心，大于_________的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；
③画射线_________．
射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是_________．
【答案】①O；②M N 12MN OC；③SSS
【分析】根据角的平分线基本作图步骤完成填空即可．
【详解】解：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；
③画射线OC．
射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是SSS，
故答案为：O；M， N， 12MN， OC；SSS．
【点睛】本题考查了角的平分线的基本作图，熟练掌握角的平分线的基本作图是解题的关键．
知识点二 角的平分线的性质
角的平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
书写格式
提示:
(1)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,不需要再通过证全等三角形得到相等线段;
(2)已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段,常添加辅助线由角平分线上的已知点向另一边作垂线段，即构造“角的平分线性质”的基本图形,得到相等的两条垂线段.
即学即练1如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD=BD，BF=AC，有下列结论：①△ADC≌△BDF；②BE⊥AC；③连接DE，则∠AED=135°．其中正确的结论有 ．
【答案】①②③
【分析】①根据HL证明△ADC≌△BDF；②由△ADC≌△BDF，得到角相等，从而推出BE⊥AC；③连接DE，过点D作DG⊥BE，过点D作DH⊥AC，根据角平分线的性质，即可判断．
【详解】解：∵在Rt△ADC与Rt△BDF中，AD=BD，BF=AC，
∴Rt△ADC≌Rt△BDFHL故①正确；
∴∠DAC=∠CBE，
∵∠DAC+∠ACD=90°，
∴，∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥AC故②正确；
如图，连接DE，过点D作DG⊥BE，过点D作DH⊥AC，
∵Rt△ADC≌Rt△BDFHL，
∴S△ADC=S△BDF，
∵S△ADC=12AC⋅DH，S△BDF=12BF⋅DG，BF=AC，
∴DG=DH，
∵DG⊥BE，DH⊥AC，DG=DH，
∴DE是∠BEC的角平分线，
∵∠BEC=90°，
∴∠BED=45°，
∴∠AED=90°+45°=135°故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查几何问题，涉及到角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键．
即学即练2 如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO:S△BCO:S△CAO等于（ ）．
A．1:1:1B．1:2:3C．2:3:4D．3:4:5
【答案】C
【分析】过点O分别作AB，BC，CA的垂线，可得OD=OE=OF，从而可证S△ABO:S△BCO:S△CAO =AB:BC:CA，即可求解．
【详解】解：如图，过点O分别作AB，BC，CA的垂线，垂足分别为点F，D，E，
由角平分线的性质定理得：OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，
∴S△ABO:S△BCO:S△CAO
=12AB⋅OF:12BC⋅OD:12CA⋅OE
=AB:BC:CA
=20:30:40
=2:3:4．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键．
知识点三 角平分线性质定理的逆定理
1.逆定理
在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上
2.书写格式
如图所示,
即学即练1如图，点B、C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF,BD=CD．求证：点D在∠BAC的平分线上．
【答案】见解析
【分析】证明Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)，得DE=DF，再根据角平分线的性质即可解决．
【详解】证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC，
∠DEB=∠DFC=90°，
∵BE=CF,BD=CD，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB,DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题关键是得到Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)．
知识点四 三角形角平分线的性质
三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等
即学即练（2018秋·上海浦东新·八年级校联考期末）已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．
【答案】证明见解析.
【分析】作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质得到PM=PD，PN=PD，得到PM=PN，根据角平分线的判定定理证明即可．
【详解】证明：作PD⊥BC于点D，
∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，
∴PM=PD，
同理，PN=PD，
∴PM=PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PA平分∠MAN．
【点睛】考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
题型一 利用角平分线的性质解决线段问题
例1 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AB=12cm，则△DBE的周长等于 ．
【答案】12cm
【分析】根据角平分线的性质得到DE=DC，AC=AE，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∵AD=AD
∴△ACD≌△AED
∴AC=AE
∵AC=BC，
∴BC=AE，
∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BC+BE=AE+BE=AB=12cm，
故答案为：12cm．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
举一反三1在△ABC中，点D在边AB的延长线上，∠BAC的平分线与∠CBD的平分线交于点E，AE与BC交于点H．
(1)如图1，当∠C=80°时，求∠E的度数．
(2)如图2，连接CE，延长AC至点G，过点E作EF⊥AD，垂足为F，过点E作EM⊥AG，垂足为M，求证：BC=CM+BF；
【答案】(1)40°
(2)见详解
【分析】（1）根据角平分线的性质及三角形的外角定理即可；
（2）过点E作EI⊥BC于点I，再根据角平分线的性质与判定，三角形的全等的判定与性质即可．
【详解】（1）解：∵∠BAC的平分线与∠CBD的平分线交于点E，
∴∠CAB=2∠EAB,∠CBD=2∠EBD,
∵∠CBD=∠CAB+∠C①,∠EBD=∠EAB+∠E②
②×2−①得，∠E=12∠C=12×80°=40°，
故∠E的度数为40°；
（2）证明：过点E作EI⊥BC于点I，
∵∠BAC的平分线与∠CBD的平分线交于点E，EF⊥AD，EM⊥AG，
∴EF=EI,EF=EM，
∴EI=EM，
∵ EI⊥BC，EM⊥AG，
∴CE平分∠BCM，∠EIC=∠EMC=90°，
∵CE=CE，
∴Rt△CIE≌Rt△CME(HL)，
∴CI=CM，
同理可证：BI=BF，
BC=CI+BI=CM+BF．
【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定、三角形的外角定理、三角形的全等的判定与性质等知识点，通过作辅助线得出全等三角形是解题的关键．
举一反三2 （2023春·上海浦东新区校考期末）如图1，AD是∠BAC的角平分线，P为AD上任意一点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N．
(1)垂线段PM、PN是否相等？请说明理由；
(2)如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB=5，AC=3，求BDDC的值；
(3)如图3，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，AD交BC的延长于点D，当AB=5，AC=3时，求BC与CD的数量关系．
【答案】(1)PM=PN；
(2)53；
(3)23．
【分析】（1）根据角平分线的定义可知∠MAP=∠NAP，再证△AMP≌△ANPAAS，由全等三角形的性质即可；
（2）由（1）得：DE=DF，利用等面积即可求出S△ABDS△ACD=12BD·ℎ12CD·ℎ=12AB·DE12AC·DF，则可求出BDCD=ABAC=53；
（3）同（2）理可以求出BDCD=ABAC=53，则BCCD=23．
【详解】（1）垂线段PM、PN相等，理由：
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠MAP=∠NAP，
∵PM⊥AB， PN⊥AC，
∴∠AMP=∠ANP=90°，
∵AP=AP，
∴△AMP≌△ANPAAS，
∴PM=PN；
（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴由（1）得：DE=DF，
设点A到BC得距离为ℎ，
∴S△ABDS△ACD=12BD·ℎ12CD·ℎ=12AB·DE12AC·DF，
则有BDCD=ABAC=53，
（3）如图，过DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC交AC的延长线于F，过A作AH⊥BC于 H，
由（1）得：DE=DF
∴S△ABDS△ACD=12BD·AH12CD·AH=12AB·DE12AC·DF，
则有BDCD=ABAC=53，即BC+CDCD=53，
∴BCCD=23．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，角平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
题型二 利用角平分线的性质证明角之间的关系
例2 （2023秋·北京海淀·八年级北京市师达中学校考开学考试）点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=56°，则∠BOC= ．
【答案】118°/118度
【分析】根据到三边的距离相等得到点O是角平分线的交点，即可得到∠OBC+∠OCB=12∠ABC+∠ACB，再利用三角形内角和进行角度计算即可．
【详解】∵ ∠A=56°，
∴∠ACB+∠ABC=180°−∠A=124°，
∵点O到三边的距离相等，
∴点O是角平分线的交点，
∴ ∠OBC+∠OCB=12∠ABC+∠ACB=62°，
∴ ∠BOC=180°−∠OBC+∠OCB=118°．
故答案为：118°．
【点睛】本题考查角平分线的判定以及角平分线性质的运用；得到点O是三角形角平分线的交点是解题关键．
举一反三1如图，已知DB⊥AE于点B,DC⊥AF于点C，且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°，则∠DGF= ．
【答案】150°/150度
【分析】先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．
【详解】解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DC=DB，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD=20，
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°．
故答案为：150°．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，仔细分析图形是解题的关键．
举一反三2 在“图形与几何”的学习中，我们遇到这样一个题目：“如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD，求证：∠B+∠ADC=180°．”结合学过的知识，可以分析如下：首先根据角平分线的性质构造相等线段，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决．请根据上述的思路，完成题目的证明
【答案】见解析
【分析】分别过点C作CM⊥AB于点M，CN⊥AD的延长线于点N，根据角平分线的性质得到CM=CN，利用HL证明Rt△BCM≌Rt△DCN，可得∠B=∠CDN，再根据∠CDN+∠ADC=180°，等量代换可得结果．
【详解】解：证明：分别过点C作CM⊥AB于点M，CN⊥AD交AD的延长线于点N，
∵AC平分∠BAD，
∴CM=CN，
∵BC=CD，
∴Rt△BCM≌Rt△DCNHL，
∴∠B=∠CDN，
∵∠CDN+∠ADC=180°，
∴∠B+∠ADC=180°．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和角平分线的性质．
题型三 角平分线性质的实际应用
例3 如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则满足条件的油库的位置有（ ）
A．1处B．2处C．3处D．4处
【答案】D
【分析】根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论．
【详解】解：∵三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等，
∴油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示．
故选D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
举一反三1 （2023春·四川成都·八年级校考期中）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三条高所在直线的交点D．三角形三条中线的交点
【答案】B
【分析】根据题意，凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置在三角形三条角平分线的交点，据此即可求解．
【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等，
∴凉亭的位置在三角形三条角平分线的交点，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
举一反三2如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，现决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．三角形三个内角的角平分线的交点B．三角形三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
题型四 角平分线的判定的应用
例4已知在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A=α．
(1)如图①，若∠A=50°，求∠BOC的度数．
图①
(2)如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC.
图②
(3)如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证：OC⊥PC．
图③
【答案】(1)115°
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用三角形的内角和先求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分的定义求出∠OBC与∠OCB的和即可解答；
（2）根据角平分线的性质定理，想到过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，证出OE=OF即可解答；
（3）根据角平分的定义求出∠OCP=90°即可解答．
【详解】（1）解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=130°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=65°，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=115°；
（2）证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OD=OE，OD=OF，
∴OE=OF，
∴OA平分∠BAC；
（3）证明：∵OC平分∠ACB，CP平分∠ACD，
∴∠ACO=12∠ACB，∠ACP=12∠ACD，
∴∠OCP=∠ACO+∠ACP
=12∠ACB+12∠ACD
=12∠BCD
=12×180°
=90°，
∴OC⊥CP．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义和角平分线的性质定理是解题的关键．
举一反三1 如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=50°．
(1)求∠ACE的度数；
(2)求证：AE平分∠CAF；
(3)若AC+CD=14，AB=10，且S△ACD=21，求△ABE的面积．
【答案】(1)40°
(2)见解析
(3)15
【分析】（1）根据邻补角的定义和垂直的定义可得∠ACD=80°、∠CHE=90°，进而得到∠ECH=40°,然后根据∠ACE=∠ACD−∠ECH即可解答；
（2）如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得EM＝EH、CE平分∠ACD、EN=EH，最后根据角平分线的判定定理即可解答；
（3）根据S△ACD=S△ACE+S△CED结合已知条件可得EM=3，最后运用三角形的面积公式即可解答．
【详解】（1）解：∵∠ACB=100°，
∴∠ACD=180°−100°=80°，
∵EH⊥BD，
∴∠CHE=90°，
∵∠CEH=50°，
∴∠ECH=90°−50°=40°，
∴∠ACE=∠ACD−∠ECH=80°−40°=40°．
（2）证明：如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE=∠ECH=40°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN=EH，
∴EM=EN，
∴AE平分∠CAF．
（3）解：∵AC+CD=14，S△ACD=21，EM=EN=EH，
∴S△ACD=S△ACE+S△CED=12AC⋅EN+12CD⋅EH=12(AC+CD)⋅EM=21，
即12×14⋅EM=21，解得EM=3，
∵AB=10，
∴S△ABE=12AB⋅EM=15．
【点睛】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
举一反三2 如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；
②∠BPC=12∠BAC；
③∠APC=90°−12∠ABC；
④S△APM+S△CPN>S△APC．
其中结论正确的是（填写结论的编号）（ ）
A．①②③B．①②③④C．②③④D．①③④
【答案】A
【分析】作PD⊥AC于点D，根据角平分线的判定定理和性质定理，即可判断①结论；根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可判断②结论；先根据四边形内角和，得出∠MPN=180°−∠ABC，再证明Rt△AMP≌Rt△ADPHL，Rt△CDP≌Rt△CNPHL，得到∠APD=12∠MPD，∠CPD=12∠NPD，即可判断③结论；根据全等三角形面积相等，即可判断④结论．
【详解】解：①作PD⊥AC于点D，
∵BP平分∠ABC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PN
∵AP平分∠EAC，PM⊥BE，PD⊥AC
∴PM=PD，
∴PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，
∴CP平分∠ACF，①结论正确；
②∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACF，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACF=2∠PCF，
∵∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠PCF=∠PBC+∠BPC，
∴∠ABC+∠BAC=2∠PBC+∠BPC，
∴2∠PBC+∠BAC=2∠PBC+2∠BPC，
∴∠BAC=2∠BPC，
∴∠BPC=12∠BAC，②结论正确；
③∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠AMP=∠CNP=90°，
∵∠ABC+∠CNP+∠MPN+∠AMP=360°，
∴∠MPN=360°−90°−90°−∠ABC=180°−∠ABC，
∵PM=PN=PD，
在Rt△AMP和Rt△ADP中，
AP=APPM=PD，
∴Rt△AMP≌Rt△ADPHL，
同理可证，Rt△CDP≌Rt△CNPHL，
∴∠APD=∠APM=12∠MPD，∠CPD=∠CPN=12∠NPD，
∴∠APC=∠APD+∠CPD=12∠MPD+∠NPD=12∠MPN=12180°−∠ABC=90°−12∠ABC，故③结论正确；
④∵Rt△AMP≌Rt△ADP，Rt△CDP≌Rt△CNP
∴S△AMP=S△ADP，S△CDP=S△CNP，
∴S△AMP+S△CNP=S△ADP+S△CDP=S△APC，故④结论不正确；
综上所述，正确的结论是①②③，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，三角形外角的定义，四边形内角和，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
题型五 角平分线的性质在开放探究题型中的应用
例5 已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O．
(1)如图1，求证：∠BOC=90°+12∠BAC．
(2)如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC．
(3)如图3，若∠BAC=60°，BD=4，CE=2，求ODOC的值．
【答案】(1)见解析
(2)详见解析
(3)23
【分析】（1）由角平分线的性质得出∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，由三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，代入即可得出结论；
（2）过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，OK⊥AC于K，证明OM=OK，则点O在∠BAC的平分线上，即可得出结论；
（3）过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，过点O作OF平分∠BOC交BC于点F，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，证明∠BOF=∠BOD，∠COF=∠COE，由角平分线的性质得出∠OBF=∠OBD，∠OCF=∠OCE，由ASA证得△BOF≌△BOD，BF=BD=4，由ASA证得△COF≌△COE，CF=CE=2，求出BC=6，由S△BOD:S△BOC=12OD⋅BH:12OC⋅BH=OD:OC，S△BOD:S△BOC=12BD⋅OM:12BC⋅ON=BD:BC，进行计算即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC，
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°−∠OBC+∠OCB
=180°−12∠ABC+12∠ACB
=180°−12∠ABC+∠ACB
=180°−12180°−∠BAC
=180°−90°+12∠BAC
=90°+12∠BAC；
（2）证明：如图，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，OK⊥AC于K，
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴OM=ON，ON=OK，
∴OM=OK，
∴点O在∠BAC的平分线上，
∴OA平分∠BAC；
（3）解：如图，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，过点O作OF平分∠BOC交BC于点F，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=90°+12∠BAC=120°，
∴∠BOD=∠COE=180°−∠BOC=180°−120°=60°，
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOF=∠COF=12∠BOC=60°，
∴∠BOF=∠BOD，∠COF=∠COE，
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠OBF=∠OBD，∠OCF=∠OCE，
在△BOF和△BOD中，
∠OBF=∠OBDBO=BO∠BOF=∠BOD，
∴△BOF≌△BODASA，
∴BF=BD=4，
在△COF和△COE中，
∠OCF=∠OCECO=CO∠COF=∠COE，
∴△COF≌△COEASA，
∴CF=CE=2，
∴BC=BF+CF=4+2=6，
∵S△BOD:S△BOC=12OD⋅BH:12OC⋅BH=OD:OC，S△BOD:S△BOC=12BD⋅OM:12BC⋅ON=BD:BC，
∴ODOC=BDBC=46=23．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形面积的计算等知识，熟练掌握角平分线的性质与判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
举一反三1 如图（1），点C、点D在直线l1上，点A、点B在直线l2上，且l1∥l2，连接AC、AD、BC、BD．
(1)请在图（1）中，找出三对面积相等的三角形： ；
(2)利用（1）中的结论解决下面两个问题：
①将图（1）中的△ABC、△ABD进行以下操作：
第一步，分别复制△ABC、△ABD，粘贴，如图（2）所示的△A1B1C、△A2B2D．
第二步，先将图（2）中的△A1B1C、△A2B2D的顶点C、D重合，再将△A2B2D绕点C旋转到如图（3）所示位置．
若直线A2B2与A1B1相交于点E，连接CE．求证：CE平分∠A1EA2．
②如图（4），折线型小路P﹣M﹣Q，将四边形ABCD苗圃分成甲、乙两块，为了方便管理，要将折线型小路P﹣M﹣Q改为经过点P的直线型小路，使得甲、乙的面积前后不发生改变．请你在图（4）中画出直线型小路PN（不需要尺规作图，但要规范，并简单说明作图的关键步骤）．
【答案】(1)△ABD和△ABC；△ACD和△BCD；△AOD和△BOC
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）根据两条平行线之间的距离相等，即可可得出答案；
（2）①过点D分别作DG⊥A1B1于G，DF⊥A2B2于F，根据题意可知A1B1=A2B2，△A1B1C的面积=△A2B2D的面积，根据面积公式可得DG=DF，即可得出结论；
②连接PQ，过点M做PQ的平行线交BC于点N，则PN为所求的直路，根据两条平行线之间的距离相等，可得S△PMQ=S△PNQ．
【详解】（1）解：∵l1∥l2，
∴l1、l2间的距离相等，
设l1、l2间的距离为ℎ，
∴S△ABC=12AB⋅ℎ，S△ABD=12AB⋅ℎ，S△ACD=12CD⋅ℎ，S△BCD=12CD⋅ℎ，
∴S△ABC=S△ABD，S△ACD=S△BCD，
∴S△ABC−S△AOB=S△ABD−S△AOB，
∴S△AOD=S△BOC，
故答案为：△ABD和△ABC；△ACD和△BCD；△AOD和△BOC．
（2）①证明：过点D分别作DG⊥A1B1于G，DF⊥A2B2于F，如图：
根据题意可知A1B1=A2B2，△A1B1C的面积=△A2B2D的面积，
∵△A1B1C的面积=12A1B1⋅DG，△A2B2D的面积=12A2B2•DF，
∴12A1B1⋅DG=12A2B2⋅DF，
∴DG=DF，
∵DG⊥A1B1，DF⊥A2B2，
∴CE平分∠A1EA2；
②解：步骤：连接PQ，过点M做PQ的平行线交BC于点N，则PN为所求的直路．
如图：
证明：∵PQ∥MN，
∴S△PMQ=S△PNQ，
∴S甲=S四边形ABQP−S△PMQ=S四边形ABQP−S△PNQ，S乙=S四边形PQCD+S△PMQ=S四边形ABQP+S△PNQ，
∴甲、乙的面积前后不发生改变．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的面积公式，角平分线的判定，四边形的面积，解题的关键是掌握两条平行线之间的距离相等，利用面积法求解．
举一反三2 在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°．
(1)如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：AE=BD，AE⊥BD；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG的大小固定吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)是，∠AFG=45°
【分析】（1）证明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，由对顶角相等得到∠3=∠4，所以∠BFE=∠ACE=90°，即可解答；
（2）证明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，又由∠3=∠4，得到∠BFA=∠BCA=90°，即可解答；
（3）∠AFG=45°，如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，由△ACE≌△BCD，得到S△ACE=S△BCD，AE=BD，证明得到CM=CN，得到CF平分∠BFE，由AF⊥BD，得到∠BFE=90°，所以∠EFC=45°，根据对顶角相等得到∠AFG=45°．
【详解】（1）解：证明：如图1，
在△ACE和△BCD中，
∵ AC=BC∠ACB=∠ECD=90°EC=DC，
∴△ACE≌△BCDSAS，
∴∠1=∠2，AE=BD，
∵∠3=∠4，
∴∠BFE=∠ACE=90°，
∴AE⊥BD；
（2）成立，证明：如图2，
∵∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDEC=DC，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠1=∠2，AE=BD，
∵∠3=∠4，
∴∠BFA=∠BCA=90°，
∴AF⊥BD．
（3）∠AFG=45°，
如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，
∵△ACE≌△BCD，
∴S△ACE=S△BCD，AE=BD，
∵S△ACE=12AE⋅CN，
S△BCD=12BD⋅CM，
∴CM=CN，
∵CM⊥BD，CN⊥AE，
∴CF平分∠BFE，
∵AF⊥BD，
∴∠BFE=90°，
∴∠EFC=45°，
∴∠AFG=45°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明△ACE≌△BCD，得到三角形的面积相等，对应边相等．
一、单选题
1．（2022秋·上海·八年级上海市民办上宝中学校考期中）①到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；
②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；
③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等；
④线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据角平分线的判定定理，垂直平分线的性质定理，全等三角形的判断定理逐项判断即可．
【详解】解：①角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，故该项错误；
②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等，故该说法正确；
③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，故该项错误；
④线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等，故该项正确．
故选：B．
【点睛】此题主要考查角平分线的判定定理，垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定定理，正确理解判定定理是解题关键．
2．（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）如图所示，点是内一点，要使点到、的距离相等，且，点是（ ）
A．的角平分线与边上中线的交点
B．的角平分线与边上中线的交点
C．的角平分线与边上中线的交点
D．的角平分线与边上中线的交点
【答案】A
【分析】根据点到、的距离相等可得点在的角平分线上，由可得边上的中线上，即可求解．
【详解】解：由点到、的距离相等可得点在的角平分线上，
由可得边上的中线上，
则点是的角平分线与边上中线的交点，
故选：A
【点睛】此题考查了角平分线的判定以及三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
3．（2022秋·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）如图，已知，按照以下步骤作图：
①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于、两点，连接；
②分别以点、为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接、；
③连接交于点．
下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．．
【答案】D
【分析】利用基本作图可知，为的平分线，又，可得出，从而可得出；由，得出垂直平分，根据等腰三角形的性质可得出；根据已知条件不能判断．
【详解】解：由作图步骤可得：是的角平分线，则，
又
∴，
∴，，故A正确；
∵，
∴垂直平分，则，，
故B，C选项正确，
没有条件能得出，
故选：D．
【点睛】本题考查了基本作图-作已知角的角平分线，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图的步骤是解题的关键．
二、填空题
4．（2021秋·上海青浦·八年级统考期中）如图所示，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为 ．
【答案】3
【分析】过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，，根据，，求得即可求解．
【详解】解：如图，过点D作于点E，
，是的角平分线，
，
，，
，
，
点到的距离为，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
5．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，已知：中，平分交于D，，则D点到的距离是 ．
【答案】15
【分析】先求出的长，再根据角平分线的性质即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴．
∵平分交于D，
∴D点到的距离是15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
6．（2022秋·上海·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，，M为边BC上的点，连接AM，如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是 ．
【答案】2
【分析】过点M作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，先求出AC的长，根据角平分线的性质可证ME=MF，然后利用面积法求解即可．
【详解】解：设AC的中点为B'，过点M作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，
∵将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点B'处，
∴∠BAM=∠CAM=45°，AB=AB'=3，
∵点恰好落在边AC的中点处，
∴AC=6，
∵∠BAM=∠CAM=45°，ME⊥AC，MF⊥AB，
∴ME=MF，
∴S△ABC=AB•AC=•（AB+AC）•ME，
∴ME=2，
所以点M到AC的距离是2，
故答案为为：2．
【点睛】本题考查了翻折变换，角平分线的性质，三角形的面积公式，利用面积法求ME的长是本题的关键．
7．（2022秋·上海闵行·八年级上海市实验学校西校校考期中）如图，已知△ABC，的平分线交于点，，且，如果点是边的中点，那么的长为 ．
【答案】4
【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质得出，从而有，再利用线段中点即可得出答案．
【详解】∵CD平分 ，
．
，
，
，
．
∵点E为AC中点，，
，
．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握角平分线的定义，平行线的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
三、解答题
8．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线．
【答案】证明过程见详解
【分析】依据角平分线上的点到角两边的距离相等的性质构造EF⊥AD，从而得出EC=EF．再通过E是BC的中点，得出EF=EB，最终得出结论．
【详解】证明：过点E作EF⊥AD，垂足为F．
∵∠B=∠C=90°，
∴BC⊥CD，CB⊥AB．
∵DE平分∠ADC，
∴EC=EF．
∵E为BC的中点，
∴EC=EB，
∴EF=EB，
∵EF⊥AD，CB⊥AB，
∴AE平分∠DAB．
【点睛】本题考查角平分线的性质及判定方法，能熟记并运用角平分线上的点到角两边的距离相等，并以此判定角平分线是解题关键．
9．（2022秋·上海闵行·八年级统考期中）已知：如图，在中，，的平分线交于点E，交于点F，，垂足为点D．
(1)求证：；
(2)过点E作交于点G，过点F作，垂足为点H．
①请判断与的数量关系，并说明理由；
②当时，设，试用含有x的式子表示的长．
【答案】(1)见解析
(2)①，理由见解析；②．
【分析】（1）根据，，得，从而；
（2）①由角平分线的性质知，由（1）知，则，再利用证明，得，即可证明；
②由等腰三角形的性质可得，可证，可得结论．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：
∵平分，，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，得到是解题的关键．
10．（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）已知，是一条角平分线．
(1)【探究发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：．
小红的解法如下：
过点作于点，于点，过点作于点，
是的角平分线，且，，
_________________，（_________________________________________）
______________，，
(2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点．
求证：
(3)【拓展应用】如图3所示，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是__________．
【答案】(1)，角平分线的性质；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据三角形的面积公式以及角平分线的性质求解即可；
（2）过点D作于N，过点D作于M．过点A作于点P．利用角平分线的性质及等面积法证明即可；
（3）在上取点G，使得，连接，先利用全等三角形的判定得出，再由其性质及前面的结论求解即可．
【详解】（1）解：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，
∵是的角平分线，且，
∴（角平分线的性质）
∴，
又∵，
∴，
故答案为：，角平分线的性质；；
（2）证明：过点D作于N，过点D作于．过点A作于点P．
∵平分，
∴．
∴，，
∴；
（3）在BC上取点G，使得，连接，
∵分别是的角平分线且相交于点D，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
由（1）知，，
设，，则，，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查角平分线的性质及全等三角形的判定和性质，三角形等面积法等，理解题意，熟练掌握运算角平分线的性质是解题关键．
11．（2020秋·上海松江·八年级校考阶段练习）如图，已知∠AOB及点E、F，在∠AOB的内部求作点P，使点P到OA、OB的距离相等，且PE=PF．（请尺规作图，保留作图痕迹，并写结论）
【答案】见解析图
【分析】分别作∠AOB的角平分线以及线段EF的中垂线，两条线的交点即为所求．
【详解】如图所示，先作出∠AOB的角平分线OQ，根据角平分线的性质可知，在OQ上的所有点均满足到OA、OB的距离相等，
再作线段EF的中垂线MN，根据中垂线的性质可知，MN上的所有点均满足到E，F的距离相等，
此时OQ与MN 交点，既满足到OA、OB的距离相等，也满足到E，F的距离相等，即为所求的点P．
【点睛】本题考查角平分线及垂直平分线的画法及实际应用，理解它们的性质是解题关键．
12．（2018秋·上海浦东新·八年级统考期末）已知：如图，，平分,平分，交于点，于点，求证：点到与的距离相等．
【答案】见解析．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DOC=90°，进一步得到△CDO≌△CBO(ASA)，得出DO=BO，则CE是BD的垂直平分线，根据等腰三角形的三线合一的性质得出EC平分∠BED，从而得证．
【详解】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ODC+∠OCD==90°，
∴∠DOC=90°，
又CE平分∠BCD，
∴∠DCO=∠BCO，
∵CO=CO，∠COD=∠COB，
∴△CDO≌△CBO(ASA)，
∴DO=BO，
∴CE是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，又∠DOC=90°，
∴EC平分∠BED，
∴点O到EB与ED的距离相等．
【点睛】本题考查的是平行线的性质、角平分线的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
13．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）如图，在中，是的平分线．
(1)在线段上任意取一点，过点作，交于点，交于点，通过这样的作图能得到结论，那么依据是_________．
(2)如果，平分交于点，且、相交于点，求证：．
(3)如果，在边上截取一点，连接，使，连接．请直接写出的度数．
【答案】(1)三线合一
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题意可得，得出，根据等腰三角形的性质即可求解；
（2）过点作，垂足分别为，连接，证明，即可得证；
（3）设，，根据三角形的外角的性质得出， ，延长至，过点分别作的垂线，垂直分别为，证明平分，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵是的平分线，，
∴
∴
∴
∵
∴（三线合一），
故答案为：三线合一；
（2）过点作，垂足分别为，连接
∵平分，是的平分线，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∵
，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（3）
∵是的平分线，
∴，
设，
∵，
∵，
∴，
∴
，
如图，延长至，过点分别作的垂线，垂直分别为，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
又，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
掌握角的平分线的性质和判定,会应用角的平分线的性质和判定解决相关问题.
通过作三角形的角平分线，了解三条角平分线交于一点的事实.
知识点一 作已知角的平分线
用尺规作已知角的平分线
已知:∠AOB.求:∠AOB的平分线.
作法:如图所示
(1)以点 0为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB 于点N
(2)分别以点 M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧∠AOB的内部相交于点 C
(3)画射线OC,射线OC即为所求.
作图依据
构造，根据全等三角形的对应角相等,找到角的平分线.
注意：
(1)画“射线 OC”不能叙述为“连接 OC”因为角的平分线是一条射线，而不是线段
(2)两弧的交点应在角的内部找,因为要作的是角的平分线
即学即练 阅读并填空．
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：如图所示，
①以点_________为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
②分别以点_________，_________为圆心，大于_________的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；
③画射线_________．
射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是_________．
【答案】①O；②M N 12MN OC；③SSS
【分析】根据角的平分线基本作图步骤完成填空即可．
【详解】解：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；
③画射线OC．
射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是SSS，
故答案为：O；M， N， 12MN， OC；SSS．
【点睛】本题考查了角的平分线的基本作图，熟练掌握角的平分线的基本作图是解题的关键．
知识点二 角的平分线的性质
角的平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
书写格式
提示:
(1)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,不需要再通过证全等三角形得到相等线段;
(2)已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段,常添加辅助线由角平分线上的已知点向另一边作垂线段，即构造“角的平分线性质”的基本图形,得到相等的两条垂线段.
即学即练1如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD=BD，BF=AC，有下列结论：①△ADC≌△BDF；②BE⊥AC；③连接DE，则∠AED=135°．其中正确的结论有 ．
【答案】①②③
【分析】①根据HL证明△ADC≌△BDF；②由△ADC≌△BDF，得到角相等，从而推出BE⊥AC；③连接DE，过点D作DG⊥BE，过点D作DH⊥AC，根据角平分线的性质，即可判断．
【详解】解：∵在Rt△ADC与Rt△BDF中，AD=BD，BF=AC，
∴Rt△ADC≌Rt△BDFHL故①正确；
∴∠DAC=∠CBE，
∵∠DAC+∠ACD=90°，
∴，∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥AC故②正确；
如图，连接DE，过点D作DG⊥BE，过点D作DH⊥AC，
∵Rt△ADC≌Rt△BDFHL，
∴S△ADC=S△BDF，
∵S△ADC=12AC⋅DH，S△BDF=12BF⋅DG，BF=AC，
∴DG=DH，
∵DG⊥BE，DH⊥AC，DG=DH，
∴DE是∠BEC的角平分线，
∵∠BEC=90°，
∴∠BED=45°，
∴∠AED=90°+45°=135°故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查几何问题，涉及到角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键．
即学即练2 如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO:S△BCO:S△CAO等于（ ）．
A．1:1:1B．1:2:3C．2:3:4D．3:4:5
【答案】C
【分析】过点O分别作AB，BC，CA的垂线，可得OD=OE=OF，从而可证S△ABO:S△BCO:S△CAO =AB:BC:CA，即可求解．
【详解】解：如图，过点O分别作AB，BC，CA的垂线，垂足分别为点F，D，E，
由角平分线的性质定理得：OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，
∴S△ABO:S△BCO:S△CAO
=12AB⋅OF:12BC⋅OD:12CA⋅OE
=AB:BC:CA
=20:30:40
=2:3:4．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键．
知识点三 角平分线性质定理的逆定理
1.逆定理
在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上
2.书写格式
如图所示,
即学即练1如图，点B、C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF,BD=CD．求证：点D在∠BAC的平分线上．
【答案】见解析
【分析】证明Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)，得DE=DF，再根据角平分线的性质即可解决．
【详解】证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC，
∠DEB=∠DFC=90°，
∵BE=CF,BD=CD，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB,DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题关键是得到Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)．
知识点四 三角形角平分线的性质
三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等
即学即练（2018秋·上海浦东新·八年级校联考期末）已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．
【答案】证明见解析.
【分析】作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质得到PM=PD，PN=PD，得到PM=PN，根据角平分线的判定定理证明即可．
【详解】证明：作PD⊥BC于点D，
∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，
∴PM=PD，
同理，PN=PD，
∴PM=PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PA平分∠MAN．
【点睛】考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
题型一 利用角平分线的性质解决线段问题
例1 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AB=12cm，则△DBE的周长等于 ．
【答案】12cm
【分析】根据角平分线的性质得到DE=DC，AC=AE，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∵AD=AD
∴△ACD≌△AED
∴AC=AE
∵AC=BC，
∴BC=AE，
∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BC+BE=AE+BE=AB=12cm，
故答案为：12cm．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
举一反三1在△ABC中，点D在边AB的延长线上，∠BAC的平分线与∠CBD的平分线交于点E，AE与BC交于点H．
(1)如图1，当∠C=80°时，求∠E的度数．
(2)如图2，连接CE，延长AC至点G，过点E作EF⊥AD，垂足为F，过点E作EM⊥AG，垂足为M，求证：BC=CM+BF；
【答案】(1)40°
(2)见详解
【分析】（1）根据角平分线的性质及三角形的外角定理即可；
（2）过点E作EI⊥BC于点I，再根据角平分线的性质与判定，三角形的全等的判定与性质即可．
【详解】（1）解：∵∠BAC的平分线与∠CBD的平分线交于点E，
∴∠CAB=2∠EAB,∠CBD=2∠EBD,
∵∠CBD=∠CAB+∠C①,∠EBD=∠EAB+∠E②
②×2−①得，∠E=12∠C=12×80°=40°，
故∠E的度数为40°；
（2）证明：过点E作EI⊥BC于点I，
∵∠BAC的平分线与∠CBD的平分线交于点E，EF⊥AD，EM⊥AG，
∴EF=EI,EF=EM，
∴EI=EM，
∵ EI⊥BC，EM⊥AG，
∴CE平分∠BCM，∠EIC=∠EMC=90°，
∵CE=CE，
∴Rt△CIE≌Rt△CME(HL)，
∴CI=CM，
同理可证：BI=BF，
BC=CI+BI=CM+BF．
【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定、三角形的外角定理、三角形的全等的判定与性质等知识点，通过作辅助线得出全等三角形是解题的关键．
举一反三2 （2023春·上海浦东新区校考期末）如图1，AD是∠BAC的角平分线，P为AD上任意一点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N．
(1)垂线段PM、PN是否相等？请说明理由；
(2)如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB=5，AC=3，求BDDC的值；
(3)如图3，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，AD交BC的延长于点D，当AB=5，AC=3时，求BC与CD的数量关系．
【答案】(1)PM=PN；
(2)53；
(3)23．
【分析】（1）根据角平分线的定义可知∠MAP=∠NAP，再证△AMP≌△ANPAAS，由全等三角形的性质即可；
（2）由（1）得：DE=DF，利用等面积即可求出S△ABDS△ACD=12BD·ℎ12CD·ℎ=12AB·DE12AC·DF，则可求出BDCD=ABAC=53；
（3）同（2）理可以求出BDCD=ABAC=53，则BCCD=23．
【详解】（1）垂线段PM、PN相等，理由：
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠MAP=∠NAP，
∵PM⊥AB， PN⊥AC，
∴∠AMP=∠ANP=90°，
∵AP=AP，
∴△AMP≌△ANPAAS，
∴PM=PN；
（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴由（1）得：DE=DF，
设点A到BC得距离为ℎ，
∴S△ABDS△ACD=12BD·ℎ12CD·ℎ=12AB·DE12AC·DF，
则有BDCD=ABAC=53，
（3）如图，过DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC交AC的延长线于F，过A作AH⊥BC于 H，
由（1）得：DE=DF
∴S△ABDS△ACD=12BD·AH12CD·AH=12AB·DE12AC·DF，
则有BDCD=ABAC=53，即BC+CDCD=53，
∴BCCD=23．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，角平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
题型二 利用角平分线的性质证明角之间的关系
例2 （2023秋·北京海淀·八年级北京市师达中学校考开学考试）点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=56°，则∠BOC= ．
【答案】118°/118度
【分析】根据到三边的距离相等得到点O是角平分线的交点，即可得到∠OBC+∠OCB=12∠ABC+∠ACB，再利用三角形内角和进行角度计算即可．
【详解】∵ ∠A=56°，
∴∠ACB+∠ABC=180°−∠A=124°，
∵点O到三边的距离相等，
∴点O是角平分线的交点，
∴ ∠OBC+∠OCB=12∠ABC+∠ACB=62°，
∴ ∠BOC=180°−∠OBC+∠OCB=118°．
故答案为：118°．
【点睛】本题考查角平分线的判定以及角平分线性质的运用；得到点O是三角形角平分线的交点是解题关键．
举一反三1如图，已知DB⊥AE于点B,DC⊥AF于点C，且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°，则∠DGF= ．
【答案】150°/150度
【分析】先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．
【详解】解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DC=DB，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD=20，
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°．
故答案为：150°．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，仔细分析图形是解题的关键．
举一反三2 在“图形与几何”的学习中，我们遇到这样一个题目：“如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD，求证：∠B+∠ADC=180°．”结合学过的知识，可以分析如下：首先根据角平分线的性质构造相等线段，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决．请根据上述的思路，完成题目的证明
【答案】见解析
【分析】分别过点C作CM⊥AB于点M，CN⊥AD的延长线于点N，根据角平分线的性质得到CM=CN，利用HL证明Rt△BCM≌Rt△DCN，可得∠B=∠CDN，再根据∠CDN+∠ADC=180°，等量代换可得结果．
【详解】解：证明：分别过点C作CM⊥AB于点M，CN⊥AD交AD的延长线于点N，
∵AC平分∠BAD，
∴CM=CN，
∵BC=CD，
∴Rt△BCM≌Rt△DCNHL，
∴∠B=∠CDN，
∵∠CDN+∠ADC=180°，
∴∠B+∠ADC=180°．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和角平分线的性质．
题型三 角平分线性质的实际应用
例3 如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则满足条件的油库的位置有（ ）
A．1处B．2处C．3处D．4处
【答案】D
【分析】根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论．
【详解】解：∵三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等，
∴油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示．
故选D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
举一反三1 （2023春·四川成都·八年级校考期中）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三条高所在直线的交点D．三角形三条中线的交点
【答案】B
【分析】根据题意，凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置在三角形三条角平分线的交点，据此即可求解．
【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等，
∴凉亭的位置在三角形三条角平分线的交点，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
举一反三2如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，现决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．三角形三个内角的角平分线的交点B．三角形三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
题型四 角平分线的判定的应用
例4已知在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A=α．
(1)如图①，若∠A=50°，求∠BOC的度数．
图①
(2)如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC.
图②
(3)如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证：OC⊥PC．
图③
【答案】(1)115°
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用三角形的内角和先求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分的定义求出∠OBC与∠OCB的和即可解答；
（2）根据角平分线的性质定理，想到过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，证出OE=OF即可解答；
（3）根据角平分的定义求出∠OCP=90°即可解答．
【详解】（1）解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=130°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=65°，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=115°；
（2）证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OD=OE，OD=OF，
∴OE=OF，
∴OA平分∠BAC；
（3）证明：∵OC平分∠ACB，CP平分∠ACD，
∴∠ACO=12∠ACB，∠ACP=12∠ACD，
∴∠OCP=∠ACO+∠ACP
=12∠ACB+12∠ACD
=12∠BCD
=12×180°
=90°，
∴OC⊥CP．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义和角平分线的性质定理是解题的关键．
举一反三1 如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=50°．
(1)求∠ACE的度数；
(2)求证：AE平分∠CAF；
(3)若AC+CD=14，AB=10，且S△ACD=21，求△ABE的面积．
【答案】(1)40°
(2)见解析
(3)15
【分析】（1）根据邻补角的定义和垂直的定义可得∠ACD=80°、∠CHE=90°，进而得到∠ECH=40°,然后根据∠ACE=∠ACD−∠ECH即可解答；
（2）如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得EM＝EH、CE平分∠ACD、EN=EH，最后根据角平分线的判定定理即可解答；
（3）根据S△ACD=S△ACE+S△CED结合已知条件可得EM=3，最后运用三角形的面积公式即可解答．
【详解】（1）解：∵∠ACB=100°，
∴∠ACD=180°−100°=80°，
∵EH⊥BD，
∴∠CHE=90°，
∵∠CEH=50°，
∴∠ECH=90°−50°=40°，
∴∠ACE=∠ACD−∠ECH=80°−40°=40°．
（2）证明：如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE=∠ECH=40°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN=EH，
∴EM=EN，
∴AE平分∠CAF．
（3）解：∵AC+CD=14，S△ACD=21，EM=EN=EH，
∴S△ACD=S△ACE+S△CED=12AC⋅EN+12CD⋅EH=12(AC+CD)⋅EM=21，
即12×14⋅EM=21，解得EM=3，
∵AB=10，
∴S△ABE=12AB⋅EM=15．
【点睛】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
举一反三2 如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；
②∠BPC=12∠BAC；
③∠APC=90°−12∠ABC；
④S△APM+S△CPN>S△APC．
其中结论正确的是（填写结论的编号）（ ）
A．①②③B．①②③④C．②③④D．①③④
【答案】A
【分析】作PD⊥AC于点D，根据角平分线的判定定理和性质定理，即可判断①结论；根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可判断②结论；先根据四边形内角和，得出∠MPN=180°−∠ABC，再证明Rt△AMP≌Rt△ADPHL，Rt△CDP≌Rt△CNPHL，得到∠APD=12∠MPD，∠CPD=12∠NPD，即可判断③结论；根据全等三角形面积相等，即可判断④结论．
【详解】解：①作PD⊥AC于点D，
∵BP平分∠ABC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PN
∵AP平分∠EAC，PM⊥BE，PD⊥AC
∴PM=PD，
∴PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，
∴CP平分∠ACF，①结论正确；
②∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACF，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACF=2∠PCF，
∵∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠PCF=∠PBC+∠BPC，
∴∠ABC+∠BAC=2∠PBC+∠BPC，
∴2∠PBC+∠BAC=2∠PBC+2∠BPC，
∴∠BAC=2∠BPC，
∴∠BPC=12∠BAC，②结论正确；
③∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠AMP=∠CNP=90°，
∵∠ABC+∠CNP+∠MPN+∠AMP=360°，
∴∠MPN=360°−90°−90°−∠ABC=180°−∠ABC，
∵PM=PN=PD，
在Rt△AMP和Rt△ADP中，
AP=APPM=PD，
∴Rt△AMP≌Rt△ADPHL，
同理可证，Rt△CDP≌Rt△CNPHL，
∴∠APD=∠APM=12∠MPD，∠CPD=∠CPN=12∠NPD，
∴∠APC=∠APD+∠CPD=12∠MPD+∠NPD=12∠MPN=12180°−∠ABC=90°−12∠ABC，故③结论正确；
④∵Rt△AMP≌Rt△ADP，Rt△CDP≌Rt△CNP
∴S△AMP=S△ADP，S△CDP=S△CNP，
∴S△AMP+S△CNP=S△ADP+S△CDP=S△APC，故④结论不正确；
综上所述，正确的结论是①②③，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，三角形外角的定义，四边形内角和，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
题型五 角平分线的性质在开放探究题型中的应用
例5 已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O．
(1)如图1，求证：∠BOC=90°+12∠BAC．
(2)如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC．
(3)如图3，若∠BAC=60°，BD=4，CE=2，求ODOC的值．
【答案】(1)见解析
(2)详见解析
(3)23
【分析】（1）由角平分线的性质得出∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，由三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，代入即可得出结论；
（2）过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，OK⊥AC于K，证明OM=OK，则点O在∠BAC的平分线上，即可得出结论；
（3）过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，过点O作OF平分∠BOC交BC于点F，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，证明∠BOF=∠BOD，∠COF=∠COE，由角平分线的性质得出∠OBF=∠OBD，∠OCF=∠OCE，由ASA证得△BOF≌△BOD，BF=BD=4，由ASA证得△COF≌△COE，CF=CE=2，求出BC=6，由S△BOD:S△BOC=12OD⋅BH:12OC⋅BH=OD:OC，S△BOD:S△BOC=12BD⋅OM:12BC⋅ON=BD:BC，进行计算即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC，
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°−∠OBC+∠OCB
=180°−12∠ABC+12∠ACB
=180°−12∠ABC+∠ACB
=180°−12180°−∠BAC
=180°−90°+12∠BAC
=90°+12∠BAC；
（2）证明：如图，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，OK⊥AC于K，
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴OM=ON，ON=OK，
∴OM=OK，
∴点O在∠BAC的平分线上，
∴OA平分∠BAC；
（3）解：如图，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，过点O作OF平分∠BOC交BC于点F，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=90°+12∠BAC=120°，
∴∠BOD=∠COE=180°−∠BOC=180°−120°=60°，
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOF=∠COF=12∠BOC=60°，
∴∠BOF=∠BOD，∠COF=∠COE，
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠OBF=∠OBD，∠OCF=∠OCE，
在△BOF和△BOD中，
∠OBF=∠OBDBO=BO∠BOF=∠BOD，
∴△BOF≌△BODASA，
∴BF=BD=4，
在△COF和△COE中，
∠OCF=∠OCECO=CO∠COF=∠COE，
∴△COF≌△COEASA，
∴CF=CE=2，
∴BC=BF+CF=4+2=6，
∵S△BOD:S△BOC=12OD⋅BH:12OC⋅BH=OD:OC，S△BOD:S△BOC=12BD⋅OM:12BC⋅ON=BD:BC，
∴ODOC=BDBC=46=23．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形面积的计算等知识，熟练掌握角平分线的性质与判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
举一反三1 如图（1），点C、点D在直线l1上，点A、点B在直线l2上，且l1∥l2，连接AC、AD、BC、BD．
(1)请在图（1）中，找出三对面积相等的三角形： ；
(2)利用（1）中的结论解决下面两个问题：
①将图（1）中的△ABC、△ABD进行以下操作：
第一步，分别复制△ABC、△ABD，粘贴，如图（2）所示的△A1B1C、△A2B2D．
第二步，先将图（2）中的△A1B1C、△A2B2D的顶点C、D重合，再将△A2B2D绕点C旋转到如图（3）所示位置．
若直线A2B2与A1B1相交于点E，连接CE．求证：CE平分∠A1EA2．
②如图（4），折线型小路P﹣M﹣Q，将四边形ABCD苗圃分成甲、乙两块，为了方便管理，要将折线型小路P﹣M﹣Q改为经过点P的直线型小路，使得甲、乙的面积前后不发生改变．请你在图（4）中画出直线型小路PN（不需要尺规作图，但要规范，并简单说明作图的关键步骤）．
【答案】(1)△ABD和△ABC；△ACD和△BCD；△AOD和△BOC
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）根据两条平行线之间的距离相等，即可可得出答案；
（2）①过点D分别作DG⊥A1B1于G，DF⊥A2B2于F，根据题意可知A1B1=A2B2，△A1B1C的面积=△A2B2D的面积，根据面积公式可得DG=DF，即可得出结论；
②连接PQ，过点M做PQ的平行线交BC于点N，则PN为所求的直路，根据两条平行线之间的距离相等，可得S△PMQ=S△PNQ．
【详解】（1）解：∵l1∥l2，
∴l1、l2间的距离相等，
设l1、l2间的距离为ℎ，
∴S△ABC=12AB⋅ℎ，S△ABD=12AB⋅ℎ，S△ACD=12CD⋅ℎ，S△BCD=12CD⋅ℎ，
∴S△ABC=S△ABD，S△ACD=S△BCD，
∴S△ABC−S△AOB=S△ABD−S△AOB，
∴S△AOD=S△BOC，
故答案为：△ABD和△ABC；△ACD和△BCD；△AOD和△BOC．
（2）①证明：过点D分别作DG⊥A1B1于G，DF⊥A2B2于F，如图：
根据题意可知A1B1=A2B2，△A1B1C的面积=△A2B2D的面积，
∵△A1B1C的面积=12A1B1⋅DG，△A2B2D的面积=12A2B2•DF，
∴12A1B1⋅DG=12A2B2⋅DF，
∴DG=DF，
∵DG⊥A1B1，DF⊥A2B2，
∴CE平分∠A1EA2；
②解：步骤：连接PQ，过点M做PQ的平行线交BC于点N，则PN为所求的直路．
如图：
证明：∵PQ∥MN，
∴S△PMQ=S△PNQ，
∴S甲=S四边形ABQP−S△PMQ=S四边形ABQP−S△PNQ，S乙=S四边形PQCD+S△PMQ=S四边形ABQP+S△PNQ，
∴甲、乙的面积前后不发生改变．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的面积公式，角平分线的判定，四边形的面积，解题的关键是掌握两条平行线之间的距离相等，利用面积法求解．
举一反三2 在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°．
(1)如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：AE=BD，AE⊥BD；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG的大小固定吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)是，∠AFG=45°
【分析】（1）证明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，由对顶角相等得到∠3=∠4，所以∠BFE=∠ACE=90°，即可解答；
（2）证明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，又由∠3=∠4，得到∠BFA=∠BCA=90°，即可解答；
（3）∠AFG=45°，如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，由△ACE≌△BCD，得到S△ACE=S△BCD，AE=BD，证明得到CM=CN，得到CF平分∠BFE，由AF⊥BD，得到∠BFE=90°，所以∠EFC=45°，根据对顶角相等得到∠AFG=45°．
【详解】（1）解：证明：如图1，
在△ACE和△BCD中，
∵ AC=BC∠ACB=∠ECD=90°EC=DC，
∴△ACE≌△BCDSAS，
∴∠1=∠2，AE=BD，
∵∠3=∠4，
∴∠BFE=∠ACE=90°，
∴AE⊥BD；
（2）成立，证明：如图2，
∵∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDEC=DC，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠1=∠2，AE=BD，
∵∠3=∠4，
∴∠BFA=∠BCA=90°，
∴AF⊥BD．
（3）∠AFG=45°，
如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，
∵△ACE≌△BCD，
∴S△ACE=S△BCD，AE=BD，
∵S△ACE=12AE⋅CN，
S△BCD=12BD⋅CM，
∴CM=CN，
∵CM⊥BD，CN⊥AE，
∴CF平分∠BFE，
∵AF⊥BD，
∴∠BFE=90°，
∴∠EFC=45°，
∴∠AFG=45°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明△ACE≌△BCD，得到三角形的面积相等，对应边相等．
一、单选题
1．（2022秋·上海·八年级上海市民办上宝中学校考期中）①到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；
②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；
③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等；
④线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据角平分线的判定定理，垂直平分线的性质定理，全等三角形的判断定理逐项判断即可．
【详解】解：①角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，故该项错误；
②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等，故该说法正确；
③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，故该项错误；
④线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等，故该项正确．
故选：B．
【点睛】此题主要考查角平分线的判定定理，垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定定理，正确理解判定定理是解题关键．
2．（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）如图所示，点是内一点，要使点到、的距离相等，且，点是（ ）
A．的角平分线与边上中线的交点
B．的角平分线与边上中线的交点
C．的角平分线与边上中线的交点
D．的角平分线与边上中线的交点
【答案】A
【分析】根据点到、的距离相等可得点在的角平分线上，由可得边上的中线上，即可求解．
【详解】解：由点到、的距离相等可得点在的角平分线上，
由可得边上的中线上，
则点是的角平分线与边上中线的交点，
故选：A
【点睛】此题考查了角平分线的判定以及三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
3．（2022秋·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）如图，已知，按照以下步骤作图：
①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于、两点，连接；
②分别以点、为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接、；
③连接交于点．
下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．．
【答案】D
【分析】利用基本作图可知，为的平分线，又，可得出，从而可得出；由，得出垂直平分，根据等腰三角形的性质可得出；根据已知条件不能判断．
【详解】解：由作图步骤可得：是的角平分线，则，
又
∴，
∴，，故A正确；
∵，
∴垂直平分，则，，
故B，C选项正确，
没有条件能得出，
故选：D．
【点睛】本题考查了基本作图-作已知角的角平分线，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图的步骤是解题的关键．
二、填空题
4．（2021秋·上海青浦·八年级统考期中）如图所示，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为 ．
【答案】3
【分析】过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，，根据，，求得即可求解．
【详解】解：如图，过点D作于点E，
，是的角平分线，
，
，，
，
，
点到的距离为，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
5．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，已知：中，平分交于D，，则D点到的距离是 ．
【答案】15
【分析】先求出的长，再根据角平分线的性质即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴．
∵平分交于D，
∴D点到的距离是15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
6．（2022秋·上海·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，，M为边BC上的点，连接AM，如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是 ．
【答案】2
【分析】过点M作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，先求出AC的长，根据角平分线的性质可证ME=MF，然后利用面积法求解即可．
【详解】解：设AC的中点为B'，过点M作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，
∵将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点B'处，
∴∠BAM=∠CAM=45°，AB=AB'=3，
∵点恰好落在边AC的中点处，
∴AC=6，
∵∠BAM=∠CAM=45°，ME⊥AC，MF⊥AB，
∴ME=MF，
∴S△ABC=AB•AC=•（AB+AC）•ME，
∴ME=2，
所以点M到AC的距离是2，
故答案为为：2．
【点睛】本题考查了翻折变换，角平分线的性质，三角形的面积公式，利用面积法求ME的长是本题的关键．
7．（2022秋·上海闵行·八年级上海市实验学校西校校考期中）如图，已知△ABC，的平分线交于点，，且，如果点是边的中点，那么的长为 ．
【答案】4
【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质得出，从而有，再利用线段中点即可得出答案．
【详解】∵CD平分 ，
．
，
，
，
．
∵点E为AC中点，，
，
．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握角平分线的定义，平行线的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
三、解答题
8．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线．
【答案】证明过程见详解
【分析】依据角平分线上的点到角两边的距离相等的性质构造EF⊥AD，从而得出EC=EF．再通过E是BC的中点，得出EF=EB，最终得出结论．
【详解】证明：过点E作EF⊥AD，垂足为F．
∵∠B=∠C=90°，
∴BC⊥CD，CB⊥AB．
∵DE平分∠ADC，
∴EC=EF．
∵E为BC的中点，
∴EC=EB，
∴EF=EB，
∵EF⊥AD，CB⊥AB，
∴AE平分∠DAB．
【点睛】本题考查角平分线的性质及判定方法，能熟记并运用角平分线上的点到角两边的距离相等，并以此判定角平分线是解题关键．
9．（2022秋·上海闵行·八年级统考期中）已知：如图，在中，，的平分线交于点E，交于点F，，垂足为点D．
(1)求证：；
(2)过点E作交于点G，过点F作，垂足为点H．
①请判断与的数量关系，并说明理由；
②当时，设，试用含有x的式子表示的长．
【答案】(1)见解析
(2)①，理由见解析；②．
【分析】（1）根据，，得，从而；
（2）①由角平分线的性质知，由（1）知，则，再利用证明，得，即可证明；
②由等腰三角形的性质可得，可证，可得结论．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：
∵平分，，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，得到是解题的关键．
10．（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）已知，是一条角平分线．
(1)【探究发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：．
小红的解法如下：
过点作于点，于点，过点作于点，
是的角平分线，且，，
_________________，（_________________________________________）
______________，，
(2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点．
求证：
(3)【拓展应用】如图3所示，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是__________．
【答案】(1)，角平分线的性质；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据三角形的面积公式以及角平分线的性质求解即可；
（2）过点D作于N，过点D作于M．过点A作于点P．利用角平分线的性质及等面积法证明即可；
（3）在上取点G，使得，连接，先利用全等三角形的判定得出，再由其性质及前面的结论求解即可．
【详解】（1）解：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，
∵是的角平分线，且，
∴（角平分线的性质）
∴，
又∵，
∴，
故答案为：，角平分线的性质；；
（2）证明：过点D作于N，过点D作于．过点A作于点P．
∵平分，
∴．
∴，，
∴；
（3）在BC上取点G，使得，连接，
∵分别是的角平分线且相交于点D，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
由（1）知，，
设，，则，，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查角平分线的性质及全等三角形的判定和性质，三角形等面积法等，理解题意，熟练掌握运算角平分线的性质是解题关键．
11．（2020秋·上海松江·八年级校考阶段练习）如图，已知∠AOB及点E、F，在∠AOB的内部求作点P，使点P到OA、OB的距离相等，且PE=PF．（请尺规作图，保留作图痕迹，并写结论）
【答案】见解析图
【分析】分别作∠AOB的角平分线以及线段EF的中垂线，两条线的交点即为所求．
【详解】如图所示，先作出∠AOB的角平分线OQ，根据角平分线的性质可知，在OQ上的所有点均满足到OA、OB的距离相等，
再作线段EF的中垂线MN，根据中垂线的性质可知，MN上的所有点均满足到E，F的距离相等，
此时OQ与MN 交点，既满足到OA、OB的距离相等，也满足到E，F的距离相等，即为所求的点P．
【点睛】本题考查角平分线及垂直平分线的画法及实际应用，理解它们的性质是解题关键．
12．（2018秋·上海浦东新·八年级统考期末）已知：如图，，平分,平分，交于点，于点，求证：点到与的距离相等．
【答案】见解析．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DOC=90°，进一步得到△CDO≌△CBO(ASA)，得出DO=BO，则CE是BD的垂直平分线，根据等腰三角形的三线合一的性质得出EC平分∠BED，从而得证．
【详解】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ODC+∠OCD==90°，
∴∠DOC=90°，
又CE平分∠BCD，
∴∠DCO=∠BCO，
∵CO=CO，∠COD=∠COB，
∴△CDO≌△CBO(ASA)，
∴DO=BO，
∴CE是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，又∠DOC=90°，
∴EC平分∠BED，
∴点O到EB与ED的距离相等．
【点睛】本题考查的是平行线的性质、角平分线的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
13．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）如图，在中，是的平分线．
(1)在线段上任意取一点，过点作，交于点，交于点，通过这样的作图能得到结论，那么依据是_________．
(2)如果，平分交于点，且、相交于点，求证：．
(3)如果，在边上截取一点，连接，使，连接．请直接写出的度数．
【答案】(1)三线合一
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题意可得，得出，根据等腰三角形的性质即可求解；
（2）过点作，垂足分别为，连接，证明，即可得证；
（3）设，，根据三角形的外角的性质得出， ，延长至，过点分别作的垂线，垂直分别为，证明平分，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵是的平分线，，
∴
∴
∴
∵
∴（三线合一），
故答案为：三线合一；
（2）过点作，垂足分别为，连接
∵平分，是的平分线，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∵
，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（3）
∵是的平分线，
∴，
设，
∵，
∵，
∴，
∴
，
如图，延长至，过点分别作的垂线，垂直分别为，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
又，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
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