专题8.6 几何体与球切、接、截的问题（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1.通过考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
2.结合三视图、直观图，主要考查几何体与球的组合体的识辨，几何体与球切、接、截等问题计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
知识点一
多面体的结构特征
知识点二
旋转体的结构特征
知识点三
几何体的侧面积、表面积
圆柱的侧面积
圆柱的表面积
圆锥的侧面积
圆锥的表面积
圆台的侧面积
圆台的表面积
球体的表面积
柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.
把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.
知识点四
几何体的体积
圆柱的体积
圆锥的体积
圆台的体积
球体的体积
正方体的体积
正方体的体积
知识点五
球的性质
（1）过直径的两个端点可作无数个大圆；
（2）球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径；
（3）用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面．
知识点六
多面体的内切球与外接球常用的结论
多面体的内切球与外接球常用的结论
(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝.
(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝.
(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝，内切球半径r＝H＝，外接球半径R＝H＝.
常考题型剖析
题型一：球与球的外切问题
【典例分析】
例1-1．（2023秋·安徽·高三校联考阶段练习）直观想象是数学六大核心素养之一，某位教师为了培养学生的直观想象能力，在课堂上提出了这样一个问题：现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为a的正四面体盒子中，则a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例1-2.（2023·全国·高三专题练习）个半径为的中球上层个、下层个两两相切叠放在一起.
(1)有个空心大球能把个中球装在里面，求大球的半径至少是多少？
(2)在它们围成的空隙内有个小球与这个中球都外切，求小球的半径？
【规律方法】
1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．
2.球外切时，注意球心连线构成几何体的特征.
【变式训练】
变式1-1.（2023秋·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）将4个半径为的球堆放在一起，且两两相切，记与这4个球都内切的大球的半径为R，记与这4个球都外切的小球的半径为r，则 .
变式1-2.（2023·全国·高三专题练习）将个半径为的球和个半径为的球叠为两层放在桌面上，上层只放个较小的球，个球两两相切，求上层小球的最高点到桌面的距离.

题型二：球与正方体的球、接问题
例2-1.（2006·山东·高考真题）正方体的内切球和外接球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
例2-2.（2023·全国·统考高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ．
【总结提升】
（1）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；
（2）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；
（3）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
【变式训练】
变式2-1.（2016·全国·高考真题）体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
A．B．C．D．
变式2-2.（2023·全国·统考高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
题型三：球与长方体的切、接问题
【典例分析】
例3-1.【多选题】（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）在长方体中，，点在底面的边界及其内部运动，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若点满足，则
B．点到平面的距离范围为
C．若点满足，则不存在点使得
D．当时，四面体的外接球体积为
例3-2.（2017·全国·高考真题）长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 .
【规律方法】
（1）利用长方体的体对角线探索外接球半径；
（2）利用长方体的面对角线探索外接球半径；
【变式训练】
变式3-1.（2010·全国·高考真题）设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
A．3a2B．6a2C．12a2D．24a2
变式3-2.（2023秋·天津河北·高三天津二中校考开学考试）长方体的一个顶点上三条棱长是3，4，5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是（ ）
A．B．C．D．
题型四：球与三棱锥的切、接问题
例4-1.【多选题】（2023秋·广东广州·高三广州市培英中学校考阶段练习）已知四面体的所有棱长均为，则下列结论正确的是（ ）
A．异面直线与所成角为B．点到平面的距离为
C．四面体的外接球体积为D．四面体的内切球表面积为
例4-2.（2023·全国·统考高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
【规律方法】
1.棱锥与外接球问题，首先要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．
2.若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解；
3.尝试利用底面三角形与侧面三角形的外心探索球心.
【变式训练】
变式4-1.（2021·全国·统考高考真题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
变式4-2.（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）在菱形中，，将沿折起，使得点到平面的距离最大，此时四面体的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
题型五：球与四棱锥的切、接问题
【典例分析】
例5-1.【多选题】（2023秋·新疆巴音郭楞·高三校考开学考试）（多选）正四棱锥的底面边长是4，侧棱长为，则（ ）
A．正四棱锥的体积为B．侧棱与底面所成角为
C．其外接球的半径为D．其内切球的半径为
例5-2.（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；
（2）利用直棱柱上下底面外接圆圆心的连线确定球心；
【变式训练】
变式5-1.（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．B．C．D．
变式5-2.（2023秋·山东·高三校联考开学考试）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，分别为，，的中点，点在棱上，且平面，则三棱锥的外接球的表面积为 .

题型六：球与棱柱的切、接问题
【典例分析】
例6-1.（2014·湖南·高考真题）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于
A．1B．2C．3D．4
例6-2. （2020·海南·统考高考真题）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 ．
【变式训练】
变式6-1.（2007·辽宁·高考真题）若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有定点都在一个球的面上，则此球的体积是 ．
变式6-2．（2023·全国·高三专题练习）已知正三棱柱的六个顶点在球上，又球与此三棱柱的个面都相切，则球与球的体积比与表面积之比分别为 .
题型七：球与棱台的切、接问题
【典例分析】
例7-1.（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例7-2.【多选题】（2023·河北唐山·模拟预测）如图，在三棱台中，表示体积，下列说法正确的是（ ）

A．
B．成等比数列
C．若该三棱台存在内切球，则
D．若该三棱台存在外接球，则
【变式训练】
变式7-1.（2022秋·广东深圳·高三校联考期中）已知正四棱台的体积为，记侧面与底面的夹角为，且，记正四棱台的侧面积为，底面积为，且，若正四棱台所有顶点都在同一球面上，则该球的体积为 .
变式7-2．（2023·全国·校联考二模）在正四棱台中，上､下底面边长分别为，该正四棱台的外接球的表面积为，则该正四棱台的高为 .
题型八：球与圆柱的切、接问题
【典例分析】
例8-1.（2023秋·四川眉山·高三校考阶段练习）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
例8-2. （2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为 .

【总结提升】
解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.球与旋转体切、接问题，要充分利用对称性、轴截面.
【变式训练】
变式8-1.（2023·全国·高三专题练习）把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上､下底面和侧面相切，则该球称为圆柱的内切球；如果一个圆柱的上､下底面圆上的点均在同一个球上，则该球称为圆柱的外接球.若一个圆柱的表面积为，内切球的表面积为，外接球的表面积为，则为（ ）
A．B．C．D．
变式8-2．（2023春·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱， 圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球， 、为圆柱上、下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，有以下三个命题：
①四面体体积的取值范围为；
②球的表面积是圆柱的表面积的；
③若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为．
其中所有正确的命题序号为 .

题型九：球与圆锥的切、接问题
【典例分析】
例9-1.（2023秋·山西大同·高三统考开学考试）暑假期间，同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评．其中甲的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例9-2. （2024秋·江西·高三校联考阶段练习）已知圆锥的体积为，若球在圆锥内部，则球体积的最大值为 .此时圆锥的底面圆的半径为 .
【变式训练】
变式9-1.（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（ ）

A．B．
C．D．
变式9-2．（2023·全国·高三专题练习）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为 .
题型十：球与圆台的切、接问题
【典例分析】
例10-1.【多选题】（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，轴截面ABCD为等腰梯形，且满足.下列说法正确的是（ ）

A．该圆台轴截面ABCD的面积为
B．该圆台的表面积为
C．该圆台的体积为
D．该圆台有内切球，且半径为
例10-2. （2022·全国·高三专题练习）已知某圆台的体积为，其上底面和下底面的面积分别为，且该圆台两个底面的圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
变式10-1.（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知一个装满水的圆台形容器的上底半径为6，下底半径为1，高为，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入的铁球的表面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式10-2．（2022秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知某圆台的上、下底面面积分别为和，高为2，上、下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
一、单选题
1.（2023秋·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考阶段练习）已知A､B是球O的球面上两点，且，C为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.（2011·重庆·高考真题）高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（ ）
A．B．C．1D．
3.（2012·全国·高考真题）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
4.（2018·全国·高考真题）设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A．B．C．D．
5.（2016·全国·高考真题）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，，则该球体积V的最大值是（ ）
A．B．C．D．
6.（2023秋·江苏·高三校联考开学考试）已知正方体的棱长为2，则以点为球心，为半径的球面与平面的交线长为（ ）
A． B． C． D．
7.（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）已知正三棱台的上､下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，以下底面顶点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）如图，在三棱锥中，平面平面，，，则（ ）

A．三棱锥的体积为
B．点到直线的距离为
C．二面角的正切值为
D．三棱锥外接球的球心到平面的距离为
三、填空题
9.（2017·天津·高考真题）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .
10.（2023秋·河北·高三统考阶段练习）已知某正三棱柱既有内切球又有外接球，外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为 .
11．（2023春·江苏苏州·高一校考阶段练习）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图是一个圆柱容球，、为圆柱两个底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则
①平面DEF截得球的截面面积最小值为 ；
②若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 ．
四、解答题
12．（2023春·高一课时练习）以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的内切圆柱，以正棱柱两个底面的外接圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的外接圆柱．
(1)求正三棱柱与它的外接圆柱的体积之比；
(2)若正三棱柱的高为6，其内切圆柱的体积为，求该正三棱柱的底面边长．
多面体
结构特征
棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等
棱锥
有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱台
棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
旋转
图形
矩形
直角三角形
直角梯形
半圆形
旋转轴
任一边所在的直线
任一直角边所在的直线
垂直于底边的腰所在的直线
直径所在的直线
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环