专题9.2 直线与圆的位置关系（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1．考查圆的方程，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养．
2．考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
3.与圆锥曲线相结合考查，凸显数学运算、直观想象、数学应用的核心素养．
知识点一
圆的定义
圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．
知识点二
圆的标准方程
1.圆的标准方程
(1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．
(2) 方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．
2.点与⊙C的位置关系
(1)|AC|r⇔点A在圆外⇔.
知识点三
圆的一般方程
圆的一般方程
(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．
(2) 对方程：.
①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆；
②若，则方程只表示一个点，；
③若，则方程不表示任何图形．
知识点四
直线与圆相切
1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；
2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即；
3.代数法：，方程组有一组不同的解.
知识点五
直线与圆相交及弦长
1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；
2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即；
3.代数法：，方程组有两组不同的解.
4.弦长求法：
（1）几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为线段AB的中点．如图所示，在Rt△OCB中，|BC|2＝r2－d2，则弦长|AB|＝2|BC|＝2eq \r(r2－d2)．
（2）代数法：解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋by＋c＝0,x－x02＋y－y02＝r2))，消元后可得关于x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2的关系式，则|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq \r(1＋\f(1,k2)[y1＋y22－4y1y2])．
知识点六
圆与圆的位置关系
设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、().
(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.
(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解.
(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解.
(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.
(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.
知识点七
常用结论
1．圆的三个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
3．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．
4．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半eq \f (1,2)l满足关系式r2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,2)l))eq \s\up12(2).
5．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
常考题型剖析
题型一： 求圆的方程
【典例分析】
例1-1．（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
例1-2.（2022·全国·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
【规律方法】
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
【变式训练】
变式1-1.（2020·山东高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
变式1-2.（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆经过抛物线与轴的交点，且过点，则圆的方程为 .
题型二：圆心、半径及直线过圆心问题
例2-1.（2022·北京·统考高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．1D．
例2-2.（2020·北京·统考高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4B．5C．6D．7
【总结提升】
涉及圆的方程问题，常用到圆的以下几何性质：
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任一弦的垂直平分线上．
【变式训练】
变式2-1.（2023·全国·高三专题练习）当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ）
A．B．C．D．
变式2-2.（2016·天津·高考真题（文））已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.
题型三：二元二次方程与圆的关系
【典例分析】
例3-1.（2022秋·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）若圆：过坐标原点，则实数的值为（ ）
A．2或1B．-2或-1C．2D．-1
例3-2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数且的图像恒过定点，且点在圆外，则符合条件的整数的取值可以为 .（写出一个值即可）
【总结提升】
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：①由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0，则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解．
【变式训练】
变式3-1.（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知p：，q：关于x，y的方程表示圆，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式3-2.（2023·全国·高三专题练习）已知关于x，y的二元二次方程，当t为 时，方程表示的圆的半径最大．
题型四： 点与圆的位置关系
例4-1.（2020·北京·统考高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4B．5C．6D．7
例4-2.【多选题】（2021·全国·统考高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【变式训练】
变式4-1.（2022秋·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）若圆：过坐标原点，则实数的值为（ ）
A．2或1B．-2或-1C．2D．-1
变式4-2.【多选题】（2022·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知圆，点在直线上，若在圆上存在一点，使得，则满足条件的的值可能为（ ）
A．0B．1C．2D．
题型五： 直线与圆相切
例5-1.（2023·全国·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
例5-2.（2020·全国·统考高考真题）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数．
(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0．
(2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x＝x0．
【变式训练】
变式5-1.（2020·全国·统考高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
变式5-2.（2020·全国·统考高考真题）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
题型六： 直线与圆相交及弦长
例6-1.（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
例6-2.（2022·天津·统考高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
【规律方法】
1.弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2).
【变式训练】
变式6-1.（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）直线与直线垂直，且被圆截得的弦长为，则直线的一个方程为 .（写出一个方程即可）
变式6-2.（2020·天津·统考高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为 ．
题型七： 直线与圆有公共点问题
例7-1.（2023秋·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）已知直线，点与点关于原点对称，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例7-2.（2023·全国·统考高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
【总结提升】
1.直线与圆有两个公共点⇔直线与圆相交；直线与圆只有一个公共点⇔直线与圆相切；直线与圆没有公共点⇔直线与圆相离．
2.处理直线与圆的位置关系问题有几何法（即比较圆心到直线的距离和半径长的大小）；代数法（联立方程
，研究方程组解的个数）.
【变式训练】
变式7-1.（2023·福建龙岩·统考二模）已知M是圆上一个动点，且直线：与直线：（，）相交于点P，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
变式7-2.（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
题型八： 直线与圆无公共点问题
例8-1.（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知直线：与圆：，则上各点到距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例8-2.（北京·高考真题）已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为 ．
【规律方法】
d>r⇔圆与直线相离；
Δ