高考数学二轮专题回顾9 计数原理、概率、随机变量及其分布列

这是一份高考数学二轮专题回顾9 计数原理、概率、随机变量及其分布列，共4页。试卷主要包含了求解排列、组合问题的依据是，二项式定理，古典概型，正态分布等内容，欢迎下载使用。
解排列、组合问题的方法：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配分步法；综合问题先选后排法；至多至少问题间接法.
(1)排列数公式
Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]＝eq \f(n！,（n－m）！)，其中m，n∈N*，且m≤n.当m＝n时，Aeq \\al(n,n)＝n·(n－1)·…·2·1＝n！，规定0！＝1.
(2)组合数公式
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(Aeq \\al(m,n),Aeq \\al(m,m))＝eq \f(n（n－1）（n－2）…[n－（m－1）],m！)＝eq \f(n！,m！（n－m）！)，其中m，n∈N*，m≤n.规定Ceq \\al(0,n)＝1.
(3)组合数性质
Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)，Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)＝Ceq \\al(m,n＋1)，其中m，n∈N*，m≤n.
[检验1] (1)甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排.甲、乙要相邻.且甲不站在两端，则不同的排法种数为________.
(2)将甲、乙、丙、丁四人安排到A，B，C三所学校工作，每校至少安排一人，每人只能到一所学校，且甲不能到A学校工作，则不同的安排方法共有________种.
答案 (1)36 (2)24
解析 (1)由题意，甲只能从中间三个位置选一个站，乙要与甲相邻只有两个位置可选择，甲、乙站好后其他三人位置随便站，故有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)＝36种不同的排法种数.
(2)由题意，将4人安排到3个学校工作，每校至少安排一人，可得其中一个学校去2人，另外两个学校各去1人，若甲单独去一个学校工作，共有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)＝12种不同的分法；
若甲和乙、丙、丁中的其中一人去一个学校工作，共有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)＝12种不同的分法，
由分类加法计数原理可得，不同的安排方法共有12＋12＝24种不同的分法.
2.二项式定理
(1)定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq \\al(n－1,n)abn－1＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*).
通项(展开式的第r＋1项)：Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr，其中Ceq \\al(r,n)(r＝0，1，…，n)叫做二项式系数.
(2)二项式系数的性质
①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即Ceq \\al(0,n)＝Ceq \\al(n,n)，
Ceq \\al(1,n)＝Ceq \\al(n－1,n)，Ceq \\al(2,n)＝Ceq \\al(n－2,n)，…，Ceq \\al(r,n)＝Ceq \\al(n－r,n).
②二项式系数的和等于2n(组合数公式)，即
Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
③在二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝2n－1.
注意 二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，往往因为概念不清导致出错.
[检验2] 已知(eq \r(3,x2)＋3x2)n的二项展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则n＝________.
答案 5
解析 由题意4n－2n＝992，(2n＋31)(2n－32)＝0，所以2n＝32，n＝5.
3.互斥事件有一个发生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B).
(1)公式适用条件：事件A与B互斥.
(2)P(eq \(A,\s\up6(－)))＝1－P(A).
[检验3] 某大型工程遇到一个技术难题，工程总部将这个问题分别让甲研究所和乙研究所进行独立研究，已知甲研究所独立研究并解决这个问题的概率为0.6，乙研究所独立研究并解决这个问题的概率为0.7，这个技术难题最终能被解决的概率为________.
答案 0.88
解析 设事件A为“这个技术难题最终能被解决”，所以P(eq \(A,\s\up6(－)))＝(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12，
所以P(A)＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))＝1－0.12＝0.88.
4.古典概型
P(A)＝eq \f(m,n)(其中，n为试验中可能出现的结果总数，m为事件A在试验中包含的基本事件个数).
[检验4] 已知某班数学建模兴趣小组有4名男生和3名女生，从中任选3人参加该校的数学建模比赛，则恰有1名女生被选到的概率是________.
答案 eq \f(18,35)
解析 设从中任选3人参加该校的数学建模比赛，则恰有1名女生被选到为事件A，
则P(A)＝eq \f(Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4),Ceq \\al(3,7))＝eq \f(18,35).
5.求分布列
要检验概率的和是否为1，如果不是，要重新检查修正.还要注意识别独立重复试验和二项分布，然后用公式.
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k.
[检验5] 已知随机变量X的分布列如下：
其中x，y，z成等差数列，若E(X)＝eq \f(2,3)，则D(X)＝________.
答案 eq \f(5,9)
解析 因为x，y，z成等差数列，所以x＋z＝2y，因为x＋y＋z＝1，所以y＝eq \f(1,3)，
又因为E(X)＝0×x＋1×y＋2×z＝eq \f(2,3)，所以z＝eq \f(1,6)，x＝eq \f(1,2)，
所以D(X)＝(0－eq \f(2,3))2×eq \f(1,2)＋(1－eq \f(2,3))2×eq \f(1,3)＋(2－eq \f(2,3))2×eq \f(1,6)＝eq \f(5,9).
6.正态分布
如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2).
满足正态分布的三个基本概率的值是
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
[检验6] 正态分布N(1，σ2)的正态密度曲线如图所示，则下列选项中，不可以表示图中阴影部分面积的是( )
A.eq \f(1,2)－P(X≤0)B.eq \f(1,2)－P(X≥2)
C.eq \f(1,2)P(X≤2)－eq \f(1,2)P(X≤0)D.eq \f(1,2)－P(1≤X≤2)
答案 D
X
0
1
2
P
x
y
z