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专题28 三角形的存在性综合问题-中考数学重难点专项突破(全国通用)
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(1)若点C的坐标(k,0),求点D的坐标(用含k的式子表示);
(2)连接BD、BC,若三角形BCD的面积为5,求k的值;
(3)如图2,分别作∠ABC和∠ADC的平分线,它们交于点P,请写出∠A、和∠P和∠BCD之间的一个等量关系,并说明理由.
解:(1)∵点A(﹣4,﹣1)、B(﹣2,1),C(k,0),将线段AB平移至线段CD,
∴点B向上平移一个单位,向右平移(k+4)个单位到点D,
∴D(k+2,2);
(2)如图1,过点B作BE⊥x轴于点E,过点D作DF⊥x轴于点F,
∵A(﹣4,﹣1)、B(﹣2,1),C(k,0),D(k+2,2),
∴BE=1,CE=k+2,DF=2,EF=k+4,CF=2,
∵S四边形BEFD=S△BEC+S△DCF+S△BCD,
∴=+,
解得:k=2.
(3)∠BPD=∠BCD+∠A;理由如下:
过点P作PE∥AB,如图2所示:
∴∠PBA=∠EPB,
∵线段AB平移至线段CD,
∴AB∥CD,
∴PE∥CD,∠ADC=∠A,∠ABC=∠BCD,
∴∠EPD=∠PDC,
∴∠BPD=∠PBA+∠PDC,
∵BP平分∠ABC,DP平分∠ADC,
∴∠PBA=∠ABC,∠PDC=∠ADC,
∴∠BPD=∠ABC+∠ADC=∠BCD+∠A.
2、在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为θ(0°<θ<180°),得到△A'B'C.
(1)如图1,当AB∥CB'时,设A'B'与CB相交于点D,求证△A'CD是等边三角形;
(2)如图2,设AC中点为E,A'B'中点为P,AC=a,连接EP.在旋转过程中,线段EP的长度是否存在最大值?如果存在,请求出这个最大值并说明此时旋转角θ的度数,如果不存在,请说明理由.
(1)证明:∵AB∥CB',
∴∠BCB'=∠ABC=30°,
∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转,
∴∠ACA'=30°.
又∵∠ACB=90°,
∴∠A'CD=60°.
又∵∠CA'B'=∠CAB=60°,
∴△A'CD是等边三角形.
(2)当θ=120°时,EP的长度最大,EP的最大值为a.
解:如图,连接CP,当△ABC旋转到E、C、P三点共线时,EP最长,
此时θ=∠ACA′=120°,
∵∠B′=30°,∠A′CB′=90°,
∴A′C=AC=A′B′=a,
∵AC中点为E,A′B′中点为P,∠A′CB′=90°
∴CP=A′B′=a,EC=a,
∴EP=EC+CP=a+a=a.
3、如图,等腰△ABC中,BA=BC,AO=3CO=6.动点F在BA上以每分钟5个单位长度的速度从B点出发向A点移动,过F作FE∥BC交AC边于E点,连结FO、EO.设F点移动的时间为t.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)计算:当△EFO面积最大时,t的值;
(3)在(2)的条件下,边BC上是否还存在一个点D,使得△EFD≌△FEO?若存在,请直接写出D点的坐标;若不存在,试说明理由.
解:(1)∵CO=2,
∴C(2,0).
又∵AO=3OC=6,
∴A(0,6),
可设BO=x,且x>0;
则:BC2=(2+x)2,AB2=AO2+OB2=36+x2;
又∵BC=AB,
∴(2+x)2=36+x2,故:x=8,
∴B(﹣8,0);
(2)过F点作FK⊥BC于K,
可设F点移动的时间为t,且0<t<2,
则:BF=5t,TO=FK=3t;
∴AT=6﹣3t,
又∵FE∥BC,
∴△AFE∽△ABC,
而AO⊥BC交EF于T,则:=,
∴=,
即:EF=10﹣5t,
故:S△EFO=EF×TO=(10﹣5t)×3t,
即:S△EFO=﹣(t﹣2)t=,
∴当t=1时,△EFO的面积达到最大值;
(3)在(2)的基础上,E、F分别是AC、AB的中点,
若使D为BC的中点时,===,
又∵==,
∴FO=ED,EO=FD,EF=FE,
∴△EFD≌△FEO(SSS),
∵C(2,0),B(﹣8,0)
∴D(﹣3,0).
故:存在满足条件的D点,其坐标为(﹣3,0).
4、如图,在平面直角坐标系xOy中,A(a,0),B(0,b),C(c,0).且满足:+(c+1)2+(b+2c)2=0.
(1)求证:△ABC是直角三角形;
(2)在y轴上是否存在点P,使得△ABP为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在y轴上是否存在点D,使得∠BCD=45°?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)证明:∵+(c+1)2+(b+2c)2=0,≥0,(c+1)2≥0,(b+2c)2≥0,
∴a﹣4=0,c+1=0,b+2c=0,
解得,a=4,b=2,c=﹣1,
∴BC2=12+22=5,AB2=22+42=20,AC2=25,
∴BC2+AB2=AC2.
∴△ABC是直角三角形;
(2)解:AB==2,
当BA=BP,点P在点B的上方时,OP=2+2,
此时,点P的坐标为(0,2+2),
当BA=BP,点P在点B的下方时,OP=2﹣2,
此时,点P的坐标为(0,2﹣2),
当AB=AP时,∵OA⊥BP,
∴OP=OB=2,
此时,点P的坐标为(0,2),
当PA=PB时,设点P的坐标为(y,0),
PB=2﹣x,PA=,
则2﹣x=,
解得,x=﹣3,
此时,点P的坐标为(0,﹣3),
综上所述,△ABP为等腰三角形时,点P的坐标为(0,2+2)或(0,2﹣2)或(0,2)或(0,﹣3);
(3)解:假设存在点D,使得∠BCD=45°,点D的坐标为(0,b),
作DH⊥BC于H,
CD=,BD=2﹣b,
在Rt△CDH中,∠BCD=45°,
∴CH=DH=CD=,
∴BH=﹣,
在Rt△BHD中,BH2+DH2=BD2.即(﹣)2+()2=(2﹣b)2.
解得,x1=(舍去),x2=,
∴点D的坐标为(0,).
5、已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点.
(1)问题发现
如图①,若点E、F分别是AB,AC的中点,连接DE,DF,EF,则线段DE与DF的数量关系是 ,线段DE与DF的位置关系是 ;
(2)拓展探究
如图②,若点E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,连接DE,DF,EF,上述结论是否依然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)解决问题
当点E,F分别为AB,CA延长线上的点,且BE=AF=AB=2,连接DE,DF,EF,直接写出△DEF的面积.
解:(1)结论:DE=DF,DE⊥DF.
理由:连接AD,
∵AB=AC,∠BAC=90°,BD=CD,
∴AD⊥BC,
∴AD=BD=CD,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∵AE=EB,AF=FC,
∴DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=AB,DF=AC,
∴DE=DF.
∵∠DEA=∠EAF=∠DFA=90°,
∴∠EDF=90°,
∴DE⊥DF,
故答案为:DE=DF,DE⊥DF.
(2)结论成立,DE=DF;DE⊥DF.
证明:如解图①,连接AD,
∵AB=AC,∠BAC=90°,点D为BC的中点,
∴,且AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=45°,
在△BDE和△ADF中,
∴△BDE≌△ADF(SAS),
∴DE=DF,∠BDE=∠ADF,
∵∠BDE+∠ADE=90°,
∴∠ADF+∠ADE=90°,
即∠EDF=90°,
即DE⊥DF;
(3)如图③,连接AD,
∵AB=AC,
∴△ABC为等腰三角形,
∵∠BAC=90°,点D为BC的中点,
∴AD=BD,AD⊥BC,
∴∠DAC=∠ABD=45°,
∴∠DAF=∠DBE=135°,
又∵AF=BE,
∴△DAF≌△DBE(SAS),
∴DF=DE,∠FDA=∠EDB,
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°,
∴△DEF为等腰直角三角形,
∵,
∴AE=CF=2+4=6,
在Rt△AEF中,EF2=AF2+AE2=22+62=40,
∴,
∴.
6、在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB,点D为射线BC上任意一点,在射线CM上截取CE=BD,连接AD、DE、AE.
(1)如图1,当点D落在线段BC的延长线上时,∠ADE的度数为 .
(2)如图2,当点D落在线段BC(不含边界)上时,AC与DE交于点F,请问(1)中的结论是否仍成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若AB=12,求CF的最大值.
解:(1)如图1中,设AD交EC于点O,
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠ACB=30°,
∵BA=CA,∠ACE=∠ACB=∠B,BD=CE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,
∴∠DAE=∠BAC=120°,
∴∠ADE=∠AED=(180°﹣120°)=30°,
故答案为30°.
(2)(1)中的结论还成立.
理由:如图2中,
∵∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=30°,
又∵∠ACM=∠ACB,
∴∠B=∠ACM=30°,
又∵CE=BD,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴AD=AE,∠1=∠2,
∴∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=120°,即∠DAE=120°,
又∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=30°.
(3)∵AB=AC,AB=12,
∴AC=12,
∵∠ADE=∠ACB=30°且∠DAF=∠CAD,
∴△ADF∽△ACD,
∴,
∴AD2=AF•AC,
∴AD2=12AF,
∴,
∴当AD最短时,AF最短、CF最长,
易得当AD⊥BC时,AF最短、CF最长,
此时.,
∴CF=AC﹣AF=12﹣3=9,
∴CF的最大值为9.
7、等腰直角△ABC和等腰直角△ACD,M、N分别在直线BC、CD上.
(1)如图1所示,M、N分别在线段BC、CD上,若AM⊥MN,求证:AM=MN.
(2)若M、N分别在线段BC、CD外(还在直线BC、CD上),根据题意,画出图形,那么(1)的结论是否依然成立,若成立,写出证明过程;若不成立,说明原因;
(3)如图2,若AM=MN,求证:AM⊥MN.
解:(1)延长DC,交AB的延长线于H,连接HM,
∵AM⊥MN,
∴∠NMC+∠AMB=90°,
∵∠ABC=90°,
∴∠BAM+∠AMB=90°,
∴∠NMC=∠BAM,
∵等腰直角△ABC和等腰直角△ACD,
∴∠MCD=135°,
∴∠BCH=45°,
∴△BHC为等腰直角三角形,
∴BC=BH,
∵AB=BC,
∴AB=BH,
∴BC是AH的垂直平分线,
∴AM=BH,
∴∠BHM=∠BAM,
∴∠NMC=∠BHM,
∵∠NMC+∠MNC=45°,∠BHM+∠MHC=45°,
∴∠MHC=∠MNC,
∴HM=MN,
∴AM=MN;
(2)(1)的结论依然成立,
第一种情况:如图3所示,延长DC,交AB的延长线于H,连接HM;
由(1)可知,MC是AH的垂直平分线,
∴AM=MH,
∴∠BAM=∠BHM,
∵AM⊥MN,
∴∠NMC+∠AMB=90°,
∵∠ABC=90°,
∴∠BAM+∠AMB=90°,
∴∠NMC=∠BAM,
∴∠BHM=∠NMC,
∵∠MHN=∠BHM+45°,∠MNH=∠NMC+45°,
∴∠MHN=∠MNH,
∴MN=MH,
∴AM=MN;
第二种情况:如图4所示,
仿照第一种情况的证明方法,可以证明AM=MN;
(3)如图2,延长DC,交AB的延长线于H,连接HM,
由(1)可得BC是AH的垂直平分线,
∴HM=AM=MN,
∴∠MAB=∠MHB,∠MHC=∠MNC
∵∠MHB+∠MHC=45°,∠MNC+∠NMC=45°,
∴∠MHB=∠NMC,
∵∠MHB=∠MAB,
∴∠BAM=∠NMC,
∵∠BAM+∠AMB=90°,
∴∠AMB+∠NMC=90°,
∴∠AMN=90°,
∴AM⊥MN.
8、如图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D、E分别在AC、BC上,连接AE、BD交于点O,且CD=CE.
(1)如图1,求证:AO=BO.
(2)如图2,F是BD的中点,试探讨AE与CF的位置关系.
(3)如图3,F、G分别是BD、AE的中点,若AC=,CE=,求△CGF的面积.
解:(1)如图1中,
在△ACE和△BCD中,
,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴∠CAE=∠CBD,
∵CA=CB,
∴∠CAB=∠CBA,
∴∠OAB=∠OBA,
∴OA=OB.
(2)如图2,设AE与CF的交点为M,
在Rt△BCD中,点F是BD的中点,
∴CF=BF,
∴∠BCF=∠CBF,
由(1)知,∠CAE=∠CBD,
∴∠BCF=∠CAE,
∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠ACB=90°,
∴∠AMC=90°,
∴AE⊥CF;
(3)如图3,设AE与CF的交点为M,
∵AC=,
∴BC=AC=,
∵CE=,
∴CD=CE=,
在Rt△BCD中,根据勾股定理得,BD==,
∵点F是BD中点,
∴CF=DF=BD=,
同理:EG=AE=,
连接EF,过点F作FH⊥BC,
∵∠ACB=90°,点F是BD的中点,
∴FH=CD=,
∴S△CEF=CE•FH=××=,
由(2)知,AE⊥CF,
∴S△CEF=CF•ME=×ME=ME,
∴ME=,
∴ME=,
∴GM=EG﹣ME=﹣=,
∴S△CFG=CF•GM=××=.
9、如图,在平面直角坐标系中,点A在y轴上,点B、C在x轴上,∠ABO=30°,AB=2,OB=OC.
(1)如图1,求点A、B、C的坐标;
(2)如图2,若点D在第一象限且满足AD=AC,∠DAC=90°,线段BD交y轴于点G,求线段BG的长;
(3)如图3,在(2)的条件下,若在第四象限有一点E,满足∠BEC=∠BDC.请探究BE、CE、AE之间的数量关系.
解:(1)∵∠AOB=90°,∠ABO=30°,AB=2,
∴OA=1,OB=,
∴A(0,1),B(﹣,0),
∵OB=OC,
∴OC=,
∴C(,0).
(2)过点D作DM⊥y轴于点M,过点D作DN⊥x轴于点N,
由题意,y轴是线段BC的垂直平分线,
∴AB=AC,
∴∠ABO=∠ACO=30°,
∵∠DAC=90°,x轴⊥y轴,
∴∠DAM=∠ACO=30°,
又AD=AC,∠AMD=∠CAO,
∴△AMD≌△COA(AAS),
∴DM=AO,AM=CO,
∵AO=1,CO=,
∴DM=ON=1,AM=,
∴D(1,+1),
∴DN=+1,
又BN=OB+ON=+1,
∴DN=BN,
∴△BND是等腰直角三角形,
∴∠DBN=45°,
∴△GBO是等腰直角三角形,
∴BG=OB==;
(3)由(2)可知:∠DBN=45°,∠DCB=30°+45°=75°,
∴∠BDC=180°﹣45°﹣75°=60°,
∵∠BEC=∠BDC,
∴∠BEC=60°,
延长EB至F,使BF=CE,连接AF,
∵∠ABC=∠ACB=30°,
∴∠BAC=120°,
∴∠ACE+∠ABE=180°,
∵∠ABF+∠ABE=180°,
∴∠ABF=∠ACE,
又∵AB=AC,BF=CE,
∴△ABF≌△ACE(SAS),
∴AF=AE,∠BAF=∠CAB,
∴∠FAE=∠BAC=120°,
∴FE=AE,
∴BE+CE=BE+BF=FE=AE,
即BE+CE=AE.
11、已知:点B、C在∠MAN的边AM、AN上,AB=AC,点E,F在∠MAN内部的射线AD上
(1)特殊情况:如图1,当∠MAN=90°时,BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F.求证:△ABE≌△CAF.
(2)一般情况:如图2,当∠MAN为任意锐角时,若∠BED=∠CFD=∠MAN,则(1)式结论是否仍然成立?若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
证明:(1)如图①中,
∵∠MAN=90°,
∴∠BAE+∠CAF=90°,
∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠BEA=∠AFC=90°,
∴∠BAE+∠EBA=90°,
∴∠CAF=∠EBA,
∵AB=AC,
∴△BAE≌△ACF(AAS).
(2)如图2,(1)中结论仍然成立,
理由:如图②中,
∵∠1=∠BAE+∠ABE,∠1=∠BAC,
∴∠BAC=∠BAE+∠ABE,
∵∠BAC=∠BAE+∠CAF,
∴∠ABE=∠CAF,
∵∠1=∠BAE+∠ABE,∠2=∠CAF+∠ACF,∠1=∠2,
∴∠BAE=∠ACF,
∵AB=AC,
∴△BAE≌△ACF(ASA).
11、(1)如图1,AD∥BC,AD=BC,AC与BD相交于点O,求证:△AOD≌△BOC;
(2)如图2,过线段AB的两个端点作射线AM,BN,使AM∥BN.
①作∠MAB,∠NBA的平分线交于点E,∠AEB是什么角?为什么?
②过点E任作一条直线,交AM于点D,交BN于点C.
证明:DE=CE;
③试说明无论DC的两个端点在AM,BN上如何移动,只要DC经过点E,AD+BC的值就不变.
解:(1)∵AD∥BC,
∴∠D=∠B,∠A=∠C,
∵AD=BC,
∴△AOD≌△BOC(ASA);
(2)①∵AM∥BN,
∴∠MAB+∠ABN=180°,
又AE,BE分别为∠MAB、∠NBA的平分线,
∴∠BAE+∠ABE=(∠MAB+∠ABN)=90°,
∴∠AEB=180°﹣∠BAE﹣∠ABE=90°,
即∠AEB为直角;
②延长AE,交BN于点F,
∵AM∥BN,
∴∠MAF=∠AFB,
∵∠MAE=∠BAE,
∴∠BAF=∠AFB,
∴BA=FB,
∵∠AEB为直角,
∴AE=EF,
∵∠DAE=∠EFC,∠AED=∠CEF,
∴△DAE≌△CFE(ASA),
∴ED=EC;
③由②中结论可知,AB=BF,无论DC的两端点在AM、BN如何移动,只要DC经过点E,
总有△DAE≌△CFE,总有AD=CF;
所以总有AD+BC=2EF=AB.
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